уравнение Марченко

В математической физике , точнее, в одномерной обратной задаче рассеяния , уравнение Марченко (или уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко или уравнение GLM ), названное в честь Израиля Гельфанда , Бориса Левитана и Владимира Марченко , получается путем вычисления Фурье преобразования соотношение рассеяния:

$K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0$

Где $g(r,r^{\prime })\,$— симметричное ядро ​​такое, что $g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,$которое вычисляется по данным рассеяния. Решая уравнение Марченко, получаем ядро ​​оператора преобразования $K(r,r^{\prime })$ из которого можно считать потенциал. Это уравнение получено из интегрального уравнения Гельфанда–Левитана с использованием представления Повзнера–Левитана .

Приложение к теории рассеяния

Предположим, что для потенциала $u(x)$ для оператора Шрёдингера $L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)$, имеются рассеяния данные $(r(k),\{\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}\})$, где $r(k)$ – коэффициенты отражения от непрерывного рассеяния, заданные как функция $r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$, а реальные параметры $\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0$ принадлежат дискретному ограниченному спектру.

Затем определяя $$F(x)=\sum _{n=1}^{N}\beta _{n}e^{-\chi _{n}x}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }r(k)e^{ikx}dk,$$ где $\beta _{n}$ являются ненулевыми константами, решающими уравнение GLM $$K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }K(x,z)F(z+y)dz=0$$ для $K$ позволяет восстановить потенциал по формуле $$u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).$$

См. также

• Слабая пара

Ссылки

• Дунайский, Мацей (2009). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд; Нью-Йорк: ОУП Оксфорд. ISBN  978-0-19-857063-9 . ОСЛК   320199531 .
• Марченко, В.А. (2011). Операторы и приложения Штурма – Лиувилля (2-е изд.). Провиденс: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-5316-0 . МР   2798059 .
• Кей, Ирвин В. (1955). Обратная задача рассеяния . Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта, Нью-Йоркский университет. OCLC   1046812324 .
• Левинсон, Норман (1953). «Некоторые явные взаимосвязи между фазовым сдвигом и потенциалом рассеяния». Физический обзор . 89 (4): 755–757. Бибкод : 1953PhRv...89..755L . дои : 10.1103/PhysRev.89.755 . ISSN   0031-899X .