Критерий Картана

В математике дает критерий Картана условия для того, чтобы алгебра Ли в характеристике 0 была разрешимой алгебры Ли , что подразумевает родственный критерий полупростости . Он основан на понятии формы Киллинга , симметричной билинейной формы на ${\mathfrak {g}}$ определяется формулой

B(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),

где tr обозначает след линейного оператора . Критерий был введен Эли Картаном ( 1894 ). ^{[ 1 ]}

Критерий Картана разрешимости

Критерий Картана разрешимости гласит:

Подалгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ эндоморфизмов конечномерного векторного пространства над полем разрешима нулевой характеристики тогда и только тогда, когда $\operatorname {tr} (ab)=0$ в любое время $a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].$

Тот факт, что $\operatorname {tr} (ab)=0$ в разрешимом случае следует из теоремы Ли, ставящей ${\mathfrak {g}}$ в верхнетреугольной форме над алгебраическим замыканием основного поля (след можно вычислить после расширения основного поля). Обратное можно вывести из критерия нильпотентности, основанного на разложении Жордана – Шевалле , как объяснено там.

Применение критерия Картана к присоединенному представлению дает:

Конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем разрешимо нулевой характеристики тогда и только тогда, когда $K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0$ (где K — форма Киллинга).

Критерий Картана полупростоты

Критерий Картана для полупростоты гласит:

Конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем полупроста нулевой характеристики тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена .

Жан Дьедонне ( 1953 ) дал очень краткое доказательство того, что если конечномерная алгебра Ли (в любой характеристике) имеет невырожденную инвариантную билинейную форму и не имеет ненулевых абелевых идеалов, и, в частности, если ее форма Киллинга невырождена , то это сумма простых алгебр Ли.

Наоборот, из критерия разрешимости Картана легко следует, что полупростая алгебра (в характеристике 0) имеет невырожденную форму Киллинга.

Примеры

Критерии Картана не соответствуют характеристикам $p>0$ ; например:

алгебра Ли $\operatorname {SL} _{p}(k)$ является простым, если k имеет характеристику, отличную от 2, и имеет исчезающую форму Киллинга, хотя у него есть ненулевая инвариантная билинейная форма, определяемая формулой $(a,b)=\operatorname {tr} (ab)$ .
алгебра Ли с базисом $a_{n}$ для $n\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ и скобка [ a _i , a _j ] = ( i − j ) a _{i + j} проста для $p>2$ но не имеет ненулевой инвариантной билинейной формы.
Если k имеет характеристику 2, то полупрямое произведение gl ₂ ( k ). к ² является разрешимой алгеброй Ли, но форма Киллинга не равна тождественному нулю на ее производной алгебре sl ₂ ( k ). к ².

Если конечномерная алгебра Ли нильпотентна, то форма Киллинга равна тождественному нулю (и, в более общем смысле, форма Киллинга обращается в нуль на любом нильпотентном идеале). Обратное неверно: существуют ненильпотентные алгебры Ли, форма Киллинга которых равна нулю. Примером может служить полупрямое произведение абелевой алгебры Ли V с одномерной алгеброй Ли, действующей на V как эндоморфизм b такой, что b не нильпотентен и Tr( b ²)=0.

В характеристике 0 каждая редуктивная алгебра Ли (представляющая собой сумму абелевых и простых алгебр Ли) имеет невырожденную инвариантную симметрическую билинейную форму. Однако обратное неверно: алгебра Ли с невырожденной инвариантной симметричной билинейной формой не обязательно должна быть суммой простых и абелевых алгебр Ли. Типичный контрпример: G = L [ t ]/ t ^нL [ t ] где n >1, L — простая комплексная алгебра Ли с билинейной формой (,), а билинейная форма на G задается взятием коэффициента при t ^{п -1} C t [ ] -значной билинейной формы на G, формой на L. индуцированной Билинейная форма невырождена, но алгебра Ли не является суммой простых и абелевых алгебр Ли.

Примечания

^ Картан, Глава IV, Теорема 1

Ссылки

Картан, Эли (1894), О строении конечных и непрерывных групп преобразований , Диссертация, Нони
Дьедонне, Жан (1953), «О полупростых алгебрах Ли», Труды Американского математического общества , 4 (6): 931–932, doi : 10.2307/2031832 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2031832 , MR 0059262
Серр, Жан-Пьер (2006) [1964], Алгебры Ли и группы Ли , Конспекты лекций по математике, том. 1500, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-540-70634-2 , ISBN. 978-3-540-55008-2 , МР 2179691

См. также

Модульная алгебра Ли

[1] Картан, Глава IV, Теорема 1

[ 1 ]