Квадратичная алгебра Ли

Квадратичная алгебра Ли — это алгебра Ли вместе с совместимой симметричной билинейной формой . Совместимость означает, что оно инвариантно относительно присоединенного представления . Примерами таких являются полупростые алгебры Ли , такие как su( n ) и sl( n , R ) .

Определение

Квадратичная алгебра Ли — это алгебра Ли ( g ,[.,.]) вместе с невырожденной симметричной билинейной формой $(.,.)\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$ инвариантный относительно присоединенного действия, т.е.

([ X , Y ], Z )+( Y ,[ X , Z ])=0

где X,Y,Z — элементы алгебры Ли g .Локализация/обобщение — это концепция алгеброида Куранта , в которой векторное пространство g заменяется (разделами) векторным расслоением .

Примеры

В качестве первого примера рассмотрим R ^н с нулевой скобкой и стандартным внутренним произведением

$((x_{1},\dots ,x_{n}),(y_{1},\dots ,y_{n})):=\sum _{j}x_{j}y_{j}$.

Поскольку скобка тривиальна, инвариантность тривиально выполняется.

В качестве более сложного примера рассмотрим so(3) , т.е. R ³ с основанием X,Y,Z , стандартным внутренним произведением и скобкой Ли

$[X,Y]=Z,\quad [Y,Z]=X,\quad [Z,X]=Y$.

Непосредственные вычисления показывают, что внутренний продукт действительно сохраняется. Обобщение следующее.

Полупростые алгебры Ли

Большая группа примеров относится к категории полупростых алгебр Ли, т. е. алгебр Ли, присоединенное представление которых является точным. Примерами являются sl(n,R) и su(n) , а также прямые суммы их . Пусть, таким образом, g — полупростая алгебра Ли с присоединенным представлением ad , т. е.

$\mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}}):X\mapsto (\mathrm {ad} _{X}\colon Y\mapsto [X,Y])$.

Определите теперь форму убийства

$k\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} :X\otimes Y\mapsto -\mathrm {tr} (\mathrm {ad} _{X}\circ \mathrm {ad} _{Y})$.

По критерию Картана форма Киллинга невырождена тогда и только тогда, когда алгебра Ли полупроста.

Если g, кроме того, является простой алгеброй Ли , то форма Киллинга сводится к изменению масштаба единственной инвариантной симметричной билинейной формы.

Ссылки

Эта статья включает в себя материал из квадратичной алгебры Ли на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .