Курантовский алгеброид

В области математики , известной как дифференциальная геометрия , геометрия Куранта была первоначально введена Чжан-Юй Лю, Аланом Вайнштейном и Пин Сюй в их исследовании двойников биалгеброидов Ли в 1997 году. Лю, Вайнштейн и Сюй назвали его в честь Куранта , который неявно разработал ранее в 1990 году стандартный прототип курантовского алгеброида благодаря открытию кососимметричной скобки на $TM\oplus T^{*}M$, называемая сегодня скобкой Куранта, которая не удовлетворяет тождеству Якоби. И этот стандартный пример, и двойник биалгебры Ли являются особыми случаями курантовских алгеброидов.

Определение

Алгеброид Куранта состоит из векторного расслоения данных. $E\to M$ с кронштейном $[.,.]:\Gamma E\times \Gamma E\to \Gamma E$, невырожденный послойный внутренний продукт $\langle .,.\rangle :E\times E\to M\times \mathbb {R}$и карта пакета $\rho :E\to TM$ при условии соблюдения следующих аксиом,

$[\phi ,[\chi ,\psi ]]=[[\phi ,\chi ],\psi ]+[\chi ,[\phi ,\psi ]]$

$[\phi ,f\psi ]=\rho (\phi )f\psi +f[\phi ,\psi ]$

$[\phi ,\phi ]={\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\phi \rangle$

$\rho (\phi )\langle \psi ,\psi \rangle =2\langle [\phi ,\psi ],\psi \rangle$

где $\phi ,\chi ,\psi$ являются сечениями E а f — гладкая функция на базовом многообразии M. , D – это комбинация $\kappa ^{-1}\rho ^{T}d$ с d дифференциал де Рама, $\rho ^{T}$ двойная карта $\rho$, а κ — отображение из E в $E^{*}$ индуцированный внутренним продуктом.

определение

Можно дать альтернативное определение, чтобы сделать скобку кососимметричной :

$[[\phi ,\psi ]]={\tfrac {1}{2}}{\big (}[\phi ,\psi ]-[\psi ,\phi ]{\big .})$

Это больше не удовлетворяет аксиоме тождества Якоби, приведенной выше. Вместо этого он удовлетворяет гомотопическому тождеству Якоби.

$[[\phi ,[[\psi ,\chi ]]\,]]+{\text{cycl.}}=DT(\phi ,\psi ,\chi )$

где Т ​

$T(\phi ,\psi ,\chi )={\frac {1}{3}}\langle [\phi ,\psi ],\chi \rangle +{\text{cycl.}}$

Правило Лейбница и инвариантность скалярного произведения модифицируются соотношением $[[\phi ,\psi ]]=[\phi ,\psi ]-{\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\psi \rangle$ и нарушение кососимметрии заменяется аксиомой

$\rho \circ D=0$

Кососимметрическая скобка вместе с дифференцированием D и якобиатором T образуют сильно гомотопическую алгебру Ли .

Свойства

Скобка не является кососимметричной, как это видно из третьей аксиомы. Вместо этого он удовлетворяет определенному тождеству Якоби (первая аксиома) и правилу Лейбница (вторая аксиома). Из этих двух аксиом можно вывести, что карта привязки ρ является морфизмом скобок:

$\rho [\phi ,\psi ]=[\rho (\phi ),\rho (\psi )].$

Четвертое правило — неизменность скалярного произведения под скобкой. Поляризация приводит к

$\rho (\phi )\langle \chi ,\psi \rangle =\langle [\phi ,\chi ],\psi \rangle +\langle \chi ,[\phi ,\psi ]\rangle .$

Примеры

Примером алгеброида Куранта является скобка Дорфмана. на прямую сумму $TM\oplus T^{*}M$ с изюминкой, представленной Шеверой, (1998) определяется как:

$[X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+({\mathcal {L}}_{X}\,\eta -i(Y)d\xi +i(X)i(Y)H)$

где X,Y — векторные поля, ξ,η — 1-формы, а H — замкнутая 3-форма, закручивающая скобку. Эта скобка используется для описания интегрируемости обобщенных комплексных структур .

Более общий пример возникает из алгеброида Ли A , индуцированный дифференциал которого на $A^{*}$ снова будет записано как d . Затем используйте ту же формулу, что и для скобки Дорфмана с H — A -3-формой, замкнутой относительно d .

Другим примером алгеброида Куранта является квадратичная алгебра Ли, т. е. алгебра Ли с инвариантным скалярным произведением. Здесь базовое многообразие — это просто точка, и поэтому карта привязки (и D ) тривиальны.

Пример, описанный в статье Weinstein et al. происходит от биалгеброида Ли, т. е. A — алгеброида Ли (с якорем $\rho _{A}$ и кронштейн $[.,.]_{A}$), а также его двойственность $A^{*}$ алгеброид Ли (индуцирующий дифференциал $d_{A^{*}}$ на $\wedge ^{*}A$) и $d_{A^{*}}[X,Y]_{A}=[d_{A^{*}}X,Y]_{A}+[X,d_{A^{*}}Y]_{A}$ (где на правой стороне вы расширяете A -кронштейн до $\wedge ^{*}A$ с использованием градуированного правила Лейбница). Это понятие симметрично относительно A и $A^{*}$ (см. Ройтенберг). Здесь $E=A\oplus A^{*}$ с якорем $\rho (X+\alpha )=\rho _{A}(X)+\rho _{A^{*}}(\alpha )$ а скобка представляет собой косую симметризацию вышеизложенного в X и α (эквивалентно в Y и β ):

$[X+\alpha ,Y+\beta ]=([X,Y]_{A}+{\mathcal {L}}_{\alpha }^{A^{*}}Y-i_{\beta }d_{A^{*}}X)+([\alpha ,\beta ]_{A^{*}}+{\mathcal {L}}_{X}^{A}\beta -i_{Y}d_{A}\alpha )$

Структуры Дирака

Дан алгеброид Куранта со внутренним произведением $\langle .,.\rangle$ разделенной подписи (например, стандартной $TM\oplus T^{*}M$), то структура Дирака представляет собой максимально изотропное интегрируемое векторное подрасслоение L → M , т.е.

$\langle L,L\rangle \equiv 0$,

$\mathrm {rk} \,L={\tfrac {1}{2}}\mathrm {rk} \,E$,

$[\Gamma L,\Gamma L]\subset \Gamma L$.

Примеры

Как обнаружил Курант и параллельно Дорфман, график 2-формы ω ∈ Ω ² ( M ) максимально изотропна и, более того, интегрируема тогда и только тогда, когда d ω = 0, т. е. 2-форма замкнута относительно дифференциала де Рама, т. е. является пресимплектической структурой.

Второй класс примеров возникает из бивекторов. $\Pi \in \Gamma (\wedge ^{2}TM)$ график которого максимально изотропен и интегрируем тогда и только тогда, когда [Π,Π] = 0, т. е. Π — бивектор Пуассона на M .

Обобщенные сложные структуры

(см. также основную статью обобщенная комплексная геометрия )

Дан алгеброид Куранта со внутренним произведением расщепленной сигнатуры. Обобщенная комплексная структура L → M является структурой Дирака в комплексифицированном алгеброиде Куранта с дополнительным свойством

$L\cap {\bar {L}}=0$

где ${\bar {\ }}$ означает комплексное сопряжение относительно стандартной комплексной структуры при комплексификации.

Как подробно изучил Гуальтьери обобщенные комплексные структуры позволяют изучать геометрию, аналогичную комплексной геометрии .

Примеры

Примерами являются, помимо пресимплектических и пуассоновских структур, также граф комплексной структуры J : TM → TM .

Дальнейшее чтение

• Дмитрий Ройтенберг: Курантовы алгеброиды, производные скобки и даже симплектические супермногообразия , Кандидатская диссертация Univ. Калифорнии Беркли (1999)