Структура Дирака

В математике структура Дирака — это геометрическая конструкция, обобщающая как симплектические структуры , так и структуры Пуассона и имеющая несколько приложений в механике. Он основан на понятии ограничения скобки Дирака , введенном Полем Дираком и впервые введенном Тедом Курантом и Аланом Вайнштейном .

Более подробно, пусть V — вещественное векторное пространство, а V* — его двойственное. (Линейная) структура Дирака на V — это линейное подпространство D пространства $V\times V^{*}$ удовлетворяющий

• для всех $(v,\alpha )\in D$ у одного есть $\left\langle \alpha ,\,v\right\rangle =0$,
• D является максимальным по этому свойству.

В частности, если V конечномерно, то второй критерий удовлетворяется, если $\dim D=\dim V$. (Аналогичные определения можно дать для векторных пространств над другими полями.)

Часто используется альтернативное (эквивалентное) определение: $D$ удовлетворяет $D=D^{\perp }$, где ортогональность относится к симметричной билинейной форме на $V\times V^{*}$ данный ${\bigl \langle }(u,\alpha ),\,(v,\beta ){\bigr \rangle }=\left\langle \alpha ,v\right\rangle +\left\langle \beta ,u\right\rangle .$

Примеры

1. Если $U\subset V$ является векторным подпространством, то $D=U\times U^{\circ }$ представляет собой структуру Дирака на $V$, где $U^{\circ }$ является разрушителем $U$; то есть, $U^{\circ }=\left\{\alpha \in V^{*}\mid \alpha _{\vert U}=0\right\}$.
2. Позволять $\omega :V\to V^{*}$ — кососимметричное линейное отображение, то график $\omega$ представляет собой структуру Дирака.
3. Аналогично, если $\Pi :V^{*}\to V$ является кососимметричным линейным отображением, то его график является структурой Дирака.

Структура Дирака ${\mathfrak {D}}$ на многообразии M является назначением (линейной) структуры Дирака на касательном пространстве к M в точке m для каждого $m\in M$. То есть,

• для каждого $m\in M$, подпространство Дирака $D_{m}$ пространства $T_{m}M\times T_{m}^{*}M$.

Многие авторы, особенно в геометрии, а не в механике, требуют, чтобы структура Дирака удовлетворяла дополнительному условию интегрируемости следующим образом:

• предполагать $(X_{i},\alpha _{i})$ являются сечениями расслоения Дирака ( $i=1,2,3$) затем $\left\langle L_{X_{1}}(\alpha _{2}),\,X_{3}\right\rangle +\left\langle L_{X_{2}}(\alpha _{3}),\,X_{1}\right\rangle +\left\langle L_{X_{3}}(\alpha _{1}),\,X_{2}\right\rangle =0.$

В литературе по механике это называется закрытой или интегрируемой структурой Дирака.

Примеры

1. Позволять $\Delta$ — гладкое распределение постоянного ранга на многообразии M и для каждого $m\in M$ позволять $D_{m}=\{(u,\alpha )\in T_{m}M\times T_{m}^{*}M\mid u\in \Delta (m),\,\alpha \in \Delta (m)^{\circ }\}$, тогда объединение этих подпространств над m образует структуру Дирака на M .
2. Позволять $\omega$ быть симплектической формой на многообразии $M$, то его граф является (замкнутой) структурой Дирака. В более общем смысле это верно для любой закрытой 2-формы. Если 2-форма не замкнута, то полученная структура Дирака не замкнута (интегрируема).
3. Позволять $\Pi$ быть структурой Пуассона на многообразии $M$, то его граф является (замкнутой) структурой Дирака.

Ссылки

• Х. Бурштын, Краткое введение в многообразия Дирака. Геометрические и топологические методы квантовой теории поля, 4–38, Cambridge Univ. Пресс, Кембридж, 2013.

• Бурштын, Энрике; Крайник, Мариус (2005). «Структуры Дирака, отображения импульса и квазипуассоновские многообразия». Широта симплектической и пуассоновской геометрии . Прогресс в математике. Том. 232. Биркхаузер-Верлаг. стр. 1–40.

• Курант, Теодор (1990). «Многообразия Дирака» . Труды Американского математического общества . 319 (2): 631–661. дои : 10.1090/S0002-9947-1990-0998124-1 .

• Текущий, Теодор ; Вайнштейн, Алан (1988). «За пределами пуассоновских структур». Семинар по геометрии Южной Роны VIII . Работа в процессе. Полет. 27. Париж: Германн.

• Дорфман, Ирен (1993). Структуры Дирака и интегрируемость нелинейных эволюционных уравнений . Уайли.

• Гей-Бальмаз, Франсуа; Ёсимура, Хироаки (2020). «Структуры Дирака в неравновесной термодинамике простых открытых систем». Журнал математической физики . 61 (9): 092701 (45 стр.). arXiv : 1907.13211 . Бибкод : 2020JMP....61i2701G . дои : 10.1063/1.5120390 . S2CID   199001204 .

• ван дер Шафт, Арьян ; Машке, Бернхард М. (2002). «Гамильтонова формулировка систем с распределенными параметрами с граничным потоком энергии» (PDF) . Журнал геометрии и физики . 42 (1–2): 166–194. Бибкод : 2002JGP....42..166В . дои : 10.1016/S0393-0440(01)00083-3 .

• Ёсимура, Хироаки; Марсден, Джеррольд Э. (2006). «Структуры Дирака в лагранжевой механике. I. Неявные лагранжевы системы». Журнал геометрии и физики . 57 : 133–156. doi : 10.1016/j.geomphys.2006.02.009 .

• Ёсимура, Хироаки; Марсден, Джеррольд Э. (2006). «Структуры Дирака в лагранжевой механике. II. Вариационные структуры». Журнал геометрии и физики . 57 : 209–250. CiteSeerX   10.1.1.570.4792 . doi : 10.1016/j.geomphys.2006.02.012 .