Обобщенная сложная структура

В области математики, известной как дифференциальная геометрия , обобщенная комплексная структура — это свойство дифференциального многообразия , которое включает в себя в качестве частных случаев комплексную структуру и симплектическую структуру . Обобщенные комплексные структуры были введены Найджелом Хитчиным в 2002 году и получили дальнейшее развитие его учениками Марко Гуалтьери и Хилом Кавальканти .

Эти структуры впервые возникли в программе Хитчина по описанию геометрических структур через функционалы дифференциальных форм , связь, которая легла в основу предложения Роберта Дейкграафа , Сергея Гукова , Эндрю Нейтцке и Камруна Вафы в 2004 году о том, что топологические теории струн являются частными случаями топологического M. -теория . Сегодня обобщенные комплексные структуры также играют ведущую роль в физической теории струн , поскольку суперсимметричные компактификации потока , которые связывают 10-мерную физику с 4-мерными мирами, подобными нашему, требуют (возможно, искривленных) обобщенных комплексных структур.

Определение

Обобщенное касательное расслоение

Рассмотрим N многообразие M. - Касательное расслоение к M , которое будет обозначаться T , — это векторное расслоение над M слои которого состоят из всех касательных векторов к M. , Сечение ​ T M является полем на . векторным Кокасательное расслоение к M , обозначаемое T ^* , — векторное расслоение над M , сечения которого являются одноформами на M .

В комплексной геометрии рассматриваются структуры на касательных расслоениях многообразий. Вместо этого в симплектической геометрии нас интересуют внешние степени коткасательного расслоения. Обобщенная геометрия объединяет эти два поля, рассматривая сечения обобщенного касательного расслоения , которое представляет собой прямую сумму $\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}$ касательных и котасательных расслоений, которые являются формальными суммами векторного поля и одной формы.

Волокна наделены натуральным внутренним продуктом с подписью ( N , N ). Если X и Y — векторные поля, а ξ и η — одноформы, то скалярное произведение X+ξ и Y+η определяется как

$\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).$

Обобщенная почти комплексная структура — это просто почти комплексная структура обобщенного касательного расслоения, сохраняющая натуральный скалярный продукт:

${\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\to \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}$

такой, что ${\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},$ и

$\langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle .$

Как и в случае обычной почти комплексной структуры , обобщенная почти комплексная структура однозначно определяется ее ${\sqrt {-1}}$- собственное расслоение , т.е. подрасслоение $L$ комплексифицированного обобщенного касательного расслоения $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C}$данный

$L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}$

Такое подрасслоение L удовлетворяет следующим свойствам:

1. пересечение с его комплексно-сопряженным элементом является нулевым сечением: $L\cap {\overline {L}}=0$;
2. L максимально изотропен , т.е. его комплексный ранг равен N и $\langle \ell ,\ell '\rangle =0$ для всех $\ell ,\ell '\in L.$

И наоборот, любое подрасслоение L, удовлетворяющее (i), (ii), является ${\sqrt {-1}}$-собственное расслоение единственной обобщенной почти комплексной структуры, так что свойства (i), (ii) можно рассматривать как альтернативное определение обобщенной почти комплексной структуры.

скобка Куранта

В обычной комплексной геометрии почти комплексная структура интегрируема в комплексную скобка тогда и только тогда, когда Ли двух секций голоморфного подрасслоения является другим секцией голоморфного подрасслоения.

В обобщенной комплексной геометрии нас интересуют не векторные поля, а формальные суммы векторных полей и одноформ. Своего рода скобка Ли для таких формальных сумм была введена в 1990 году и называется скобкой Куранта , которая определяется формулой

$[X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )$

где ${\mathcal {L}}_{X}$ — производная Ли вдоль векторного поля X , d — внешняя производная , а i — внутреннее произведение .

Определение

Обобщенная комплексная структура — это обобщенная почти комплексная структура такая, что пространство гладких сечений L замкнуто относительно скобки Куранта.

Максимальные изотропные подрасслоения

Классификация

Существует взаимно однозначное соответствие между максимальным подрасслоением изотропным $\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}$ и пары $(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ где E — подрасслоение T и $\varepsilon$ является 2-формой. Это соответствие непосредственно распространяется на сложный случай.

Учитывая пару $(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ можно построить максимально изотропное подрасслоение $L(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ из $\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}$ следующее. Элементами подрасслоения являются формальные суммы $X+\xi$ где векторное поле X является сечением E , а одноформа ξ ограничена дуальным пространством $\mathbf {E} ^{*}$ равен одной форме $\varepsilon (X).$

Чтобы увидеть это $L(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ изотропен, заметьте, что если Y — сечение E и $\xi$ ограничено $\mathbf {E} ^{*}$ является $\varepsilon (X)$ затем $\xi (Y)=\varepsilon (X,Y),$ как часть $\xi$ ортогонально $\mathbf {E} ^{*}$ уничтожает Y. ​Поэтому, если $X+\xi$ и $Y+\eta$ являются разделами $\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}$ затем

$\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0$

и так $L(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ является изотропным. Более того, $L(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ является максимальным, поскольку существуют $\dim(\mathbf {E} )$ (сложные) аспекты выбора для $\mathbf {E} ,$ и $\varepsilon$ не ограничено дополнении в $\mathbf {E} ^{*},$ который имеет (комплексную) размерность $n-\dim(\mathbf {E} ).$ Таким образом, общая (комплексная) размерность в n . Гуалтьери доказал, что все максимальные изотропные подрасслоения имеют вид $L(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ для некоторых $\mathbf {E}$ и $\varepsilon .$

Тип

Тип подрасслоения максимального изотропного $L(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ — это реальная размерность подрасслоения, уничтожающего E . Эквивалентно это 2 Н минус реальный проекции размер $L(\mathbf {E} ,\varepsilon )$ на касательное расслоение T . Другими словами, тип максимального изотропного подрасслоения — это коразмерность его проекции на касательное расслоение. В сложном случае используется комплексное измерение, а тип иногда называют комплексным типом . Хотя тип подрасслоения в принципе может быть любым целым числом от 0 до 2 N , обобщенные почти комплексные структуры не могут иметь тип больше N , поскольку сумма подрасслоения и его комплексно-сопряженного числа должна быть все из $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .$

Тип максимального изотропного подрасслоения инвариантен относительно диффеоморфизмов , а также относительно сдвигов B-поля , которые изометриями являются $\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}$ формы

$X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B$

где B — произвольная замкнутая 2-форма, называемая в литературе по теории струн B-полем .

Тип обобщенной почти комплексной структуры, вообще говоря, не постоянен, он может прыгать на любое четное целое число . Однако он полунепрерывен сверху , а это означает, что каждая точка имеет открытую окрестность, в которой тип не увеличивается. На практике это означает, что подмножества большего типа, чем окружающий тип, встречаются на подмногообразиях с положительной коразмерностью .

Реальный индекс

Действительный индекс r максимального изотропного подпространства L — это комплексная размерность пересечения L с . его комплексно-сопряженным Максимальное изотропное подпространство $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C}$ является обобщенной почти комплексной структурой тогда и только тогда, когда r = 0.

Канонический пакет

Как и в случае с обычной комплексной геометрией, существует соответствие между обобщенными почти комплексными структурами и комплексными линейными расслоениями . Комплексное линейное расслоение, соответствующее конкретной обобщенной почти комплексной структуре, часто называют каноническим расслоением , поскольку оно обобщает каноническое расслоение в обычном случае. Его иногда называют также чистым спинорным расслоением , так как его секции являются чистыми спинорами .

Обобщенные почти сложные структуры

Каноническое расслоение — это одномерное подрасслоение расслоения $\mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C}$ комплексных дифференциальных форм на M . Напомним, что гамма-матрицы определяют изоморфизм между дифференциальными формами и спинорами. В частности, четные и нечетные формы соответствуют двум киральности спиноров Вейля . Векторы действуют на дифференциальные формы, заданные внутренним произведением. Одноформы действуют на формы, заданные клиновым произведением. Таким образом, части пакета $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C}$ действуют на дифференциальные формы. Это действие является представлением действия алгебры Клиффорда на спиноры.

Спинор называется чистым спинором , если он аннулируется половиной множества образующих алгебры Клиффорда. Спиноры — это разделы нашего бандла. $\mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,$ а генераторы алгебры Клиффорда — слои другого нашего расслоения $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .$ , данный чистый спинор аннулируется полумерным подрасслоением E Следовательно $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .$ Такие подрасслоения всегда изотропны, поэтому для определения почти комплексной структуры нужно только предположить, что сумма E и его комплексно-сопряженного числа представляет собой все $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .$ Это верно всякий раз, когда клин-произведение чистого спинора и его комплексно-сопряженного компонента содержит компонент верхнего измерения. Такие чистые спиноры определяют обобщенные почти сложные структуры.

Учитывая обобщенную почти комплексную структуру, можно определить и чистый спинор с точностью до умножения на произвольную комплексную функцию . Эти выборы чистых спиноров определяются как сечения канонического расслоения.

Интегрируемость и другие структуры

Если чистый спинор, определяющий конкретную комплексную структуру , замкнут или, в более общем смысле, если его внешняя производная равна действию гамма-матрицы на себя, то почти комплексная структура интегрируема, и поэтому такие чистые спиноры соответствуют обобщенным комплексным структурам.

Если далее предположить, что каноническое расслоение голоморфно тривиально, то есть глобальные сечения являются замкнутыми формами, то оно определяет обобщенную структуру Калаби-Яу, и M называется обобщенным многообразием Калаби-Яу .

Местная классификация

Канонический пакет

Локально все чистые спиноры могут быть записаны в одной и той же форме в зависимости от целого числа k , 2-формы B-поля B , невырожденной симплектической формы ω и k -формы Ω. В локальной окрестности любой точки чистый спинор Ф, порождающий каноническое расслоение, всегда можно представить в виде

$\Phi =e^{B+i\omega }\Omega$

где Ω разложимо в клин-произведение одной формы.

Обычная точка

Определим подрасслоение E комплексифицированного касательного расслоения $\mathbf {T} \otimes \mathbb {C}$ быть проекцией голоморфного L подрасслоения $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C}$ к $\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .$ В определении обобщенной почти комплексной структуры мы установили, что пересечение L и сопряженной ему структуры содержит только начало координат, иначе они не смогли бы охватить всю структуру. $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .$ Однако пересечение их проекций не обязательно должно быть тривиальным. В общем случае это пересечение имеет вид

$E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C}$

для некоторого подрасслоения ∆. Точка, имеющая открытую окрестность , в которой размерность слоев Δ постоянна, называется регулярной точкой .

Теорема Дарбу

Основная статья: теорема Дарбу

Каждая регулярная точка в обобщенном комплексном многообразии имеет открытую окрестность, которая после диффеоморфизма и сдвига B-поля имеет ту же обобщенную комплексную структуру, что и декартово произведение комплексного векторного пространства. $\mathbb {C} ^{k}$ и стандартное симплектическое пространство $\mathbb {R} ^{2n-2k}$ со стандартной симплектической формой, которая представляет собой прямую сумму двух на две недиагональных матриц с элементами 1 и -1.

Локальная голоморфность

Вблизи нерегулярных точек приведенная выше классификационная теорема не применяется. Однако относительно любой точки обобщенное комплексное многообразие с точностью до диффеоморфизма и B-поля является произведением симплектического многообразия с обобщенным комплексным многообразием, имеющим комплексный тип в этой точке, во многом аналогично теореме Вайнштейна для локальной структуры Пуассона . коллекторы . Остающийся вопрос локальной структуры: как выглядит обобщенная комплексная структура вблизи точки комплексного типа? Фактически оно будет индуцировано голоморфной пуассоновской структурой .

Примеры

Сложные многообразия

Пространство комплексных дифференциальных форм $\mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C}$ имеет операцию комплексного сопряжения, заданную комплексным сопряжением в $\mathbb {C} .$ Это позволяет определить голоморфные и антиголоморфные одноформы и ( m , n )-формы, которые являются однородными многочленами в этих одноформах с m голоморфными факторами и n антиголоморфными факторами. В частности, все ( n , 0)-формы локально связаны умножением на комплексную функцию и поэтому образуют комплексное линейное расслоение.

( n , 0)-формы являются чистыми спинорами, поскольку они аннулируются антиголоморфными касательными векторами и голоморфными одно-формами. Таким образом, это линейное расслоение можно использовать как каноническое расслоение для определения обобщенной комплексной структуры. Ограничение аннигилятора от $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C}$ к комплексифицированному касательному расслоению получается подпространство антиголоморфных векторных полей. Следовательно, эта обобщенная сложная структура на $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C}$ определяет обычную комплексную структуру на касательном расслоении.

Поскольку только половина базиса векторных полей голоморфна, эти комплексные структуры относятся к N. типу Фактически комплексные многообразия и многообразия, полученные умножением чистого спинорного расслоения, определяющего комплексное многообразие, на комплексное, $\partial$-замкнутые (2,0)-формы являются единственными типа N. обобщенными комплексными многообразиями

Симплектические многообразия

Чистое спинорное расслоение, порожденное

$\phi =e^{i\omega }$

для невырожденной двухформы ω определяет симплектическую структуру в касательном пространстве. Таким образом, симплектические многообразия также являются обобщенными комплексными многообразиями.

Вышеупомянутый чистый спинор определен глобально, поэтому каноническое расслоение тривиально. Это означает, что симплектические многообразия являются не только обобщенными комплексными многообразиями, но фактически являются обобщенными многообразиями Калаби-Яу.

Чистый спинор $\phi$ связано с чистым спинором, который является просто числом, посредством мнимого сдвига B-поля, который является сдвигом кэлеровой формы . Следовательно, эти обобщенные комплексные структуры относятся к тому же типу, что и структуры, соответствующие скалярному чистому спинору. Скаляр аннулируется всем касательным пространством, поэтому эти структуры имеют тип 0 .

С точностью до сдвига B-поля, который соответствует умножению чистого спинора на экспоненту замкнутой вещественной 2-формы, симплектические многообразия являются единственными обобщенными комплексными многообразиями типа 0. Многообразия, симплектические с точностью до сдвига B-поля, иногда называют B-симплектическими .

Отношение к G-структурам

Некоторые из почти структур в обобщенной комплексной геометрии можно перефразировать на языке G-структур . Слово «почти» удаляется, если структура интегрируема.

Пакет $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C}$ с указанным выше внутренним продуктом представляет собой структуру O(2 n , 2 n ) . Обобщенная почти комплексная структура представляет собой сведение этой структуры к структуре U( n , n ) . Следовательно, пространство обобщенных комплексных структур является смежным классом

${\frac {O(2n,2n)}{U(n,n)}}.$

Обобщенная почти кэлерова структура — это пара коммутирующих обобщенных комплексных структур таких, что минус произведение соответствующих тензоров является положительно определенной метрикой на $(\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .$ Обобщенные кэлеровы структуры представляют собой редукцию структурной группы к $U(n)\times U(n).$ Обобщенные кэлеровы многообразия и их скрученные аналоги эквивалентны биэрмитовым многообразиям , открытым Сильвестром Джеймсом Гейтсом , Крисом Халлом и Мартином Рочеком в контексте двумерных суперсимметричных квантовых теорий поля в 1984 году.

Наконец, обобщенная почти метрическая структура Калаби-Яу представляет собой дальнейшее сведение структурной группы к $SU(n)\times SU(n).$

Калаби против метрики Калаби – Яу

Обратите внимание, что обобщенная метрическая структура Калаби, введенная Марко Гуалтьери, является более сильным условием, чем обобщенная структура Калаби-Яу, введенная Найджелом Хитчиным . В частности, обобщенная метрическая структура Калаби–Яу предполагает существование двух коммутирующих обобщенных почти комплексных структур.

Ссылки

• Хитчин, Найджел (2003). «Обобщенные многообразия Калаби-Яу». Ежеквартальный математический журнал . 54 (3): 281–308. дои : 10.1093/qmath/hag025 .
• Гуальтьери, Марко (2004). Обобщенная комплексная геометрия (кандидатская диссертация). arXiv : math.DG/0401221 .
• Гуальтьери, Марко (2011). «Обобщенная сложная геометрия» . Анналы математики . (2). 174 (1): 75–123. arXiv : 0911.0993 . дои : 10.4007/анналы.2011.174.1.3 .
• Гранья, Мариана (2006). «Компактификации потока в теории струн: подробный обзор». Физ. Представитель . 423 (3): 91–158. arXiv : hep-th/0509003 . дои : 10.1016/j.physrep.2005.10.008 . S2CID   119508517 .
• Дейкграаф, Робберт ; Гуков, Сергей ; Нейцке, Эндрю; Вафа, Камрун (2005). «Топологическая М-теория как объединение форм теорий гравитации» . Успехи теоретической и математической физики . 9 (4): 603–665. arXiv : hep-th/0411073 . дои : 10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5 .