Полунепрерывность

Понятие верхней или нижней полунепрерывной множественной функции см. в разделе «Полунепрерывность» .

В анализе математическом полунепрерывность (или полунепрерывность ) — свойство расширенных вещественных функций , более слабое, чем непрерывность . Расширенная действительная функция $f$ является сверху (соответственно снизу ) полунепрерывным в точке $x_{0}$ если, грубо говоря, значения функции для аргументов вблизи $x_{0}$ ненамного выше (соответственно ниже), чем $f\left(x_{0}\right).$

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке $x_{0}$ к $f\left(x_{0}\right)+c$ для некоторых $c>0$, то результат полунепрерывен сверху; если мы уменьшим его значение до $f\left(x_{0}\right)-c$ тогда результат полунепрерывен снизу.

Полунепрерывная сверху функция, не являющаяся полунепрерывной снизу. Сплошная синяя точка указывает $f\left(x_{0}\right).$

Полунепрерывная снизу функция, не являющаяся полунепрерывной сверху. Сплошная синяя точка указывает $f\left(x_{0}\right).$

Понятие полунепрерывной сверху и снизу функции было впервые введено и изучено Рене Бэром в его диссертации в 1899 году.

Определения

Предположим, что на протяжении всего этого $X$ является топологическим пространством и $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ это функция со значениями в расширенных действительных числах ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]$.

Верхняя полунепрерывность

Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ называется полунепрерывным сверху в точке $x_{0}\in X$ если для каждого настоящего $y>f\left(x_{0}\right)$ существует район $U$ из $x_{0}$ такой, что $f(x)<y$ для всех $x\in U$. Эквивалентно, $f$ полунепрерывен сверху при $x_{0}$ тогда и только тогда, когда $$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})$$ где lim sup — верхний предел функции $f$ в точку $x_{0}$.

Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ называется полунепрерывным сверху, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

(1) Функция полунепрерывна сверху в каждой точке своей области определения .

(2) Для каждого $y\in \mathbb {R}$, набор $f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}$ открыт ​ в $X$, где $[-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}$.

(3) Для каждого $y\in \mathbb {R}$, $y$- набор суперуровня $f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}$ закрыт ​ в $X$.

(4) Гипограф $\{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}$ закрыт в $X\times \mathbb {R}$.

(5) Функция $f$ непрерывен, когда кодомен ${\overline {\mathbb {R} }}$ задана топология левого порядка . Это всего лишь переформулировка условия (2), поскольку топология левого порядка порождается всеми интервалами $[-\infty ,y)$.

Нижняя полунепрерывность

Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ называется полунепрерывным снизу в точке $x_{0}\in X$ если для каждого настоящего $y<f\left(x_{0}\right)$ существует район $U$ из $x_{0}$ такой, что $f(x)>y$ для всех $x\in U$. Эквивалентно, $f$ является полунепрерывным снизу при $x_{0}$ тогда и только тогда, когда $$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})$$ где $\liminf$ является нижним пределом функции $f$ в точку $x_{0}$.

Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ называется полунепрерывным снизу, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

(1) Функция полунепрерывна снизу в каждой точке своей области определения .

(2) Для каждого $y\in \mathbb {R}$, набор $f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}$ открыт ​ в $X$, где $(y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}$.

(3) Для каждого $y\in \mathbb {R}$, $y$- набор подуровней $f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}$ закрыт ​ в $X$.

(4) Эпиграф $\{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}$ закрыт в $X\times \mathbb {R}$.

(5) Функция $f$ непрерывен, когда кодомен ${\overline {\mathbb {R} }}$ задана топология правильного порядка . Это всего лишь повторная формулировка условия (2), поскольку топология правого порядка порождается всеми интервалами $(y,\infty ]$.

Полунепрерывность в метрических пространствах

Когда $X$ является метрическим пространством, то полунепрерывность сверху и снизу можно сформулировать с помощью $\delta$- $\varepsilon$ формулировка, подобная непрерывности. В частности, если $X$ является метрическим пространством, то $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$ является полунепрерывным сверху при $x_{0}\in X$ если для всех $\varepsilon >0,$ существует $\delta >0$ такой, что $$\forall x\in B\left(x_{0},\delta \right),\quad f(x_{0})+\varepsilon \geq f(x),$$ где $B\left(x_{0},\delta \right)$ представляет собой шар радиуса $\delta$ (относительно метрики) с центром в $x_{0}.$

Сходным образом, $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ является полунепрерывным снизу при $x_{0}\in X$ если для всех $\varepsilon >0,$ существует $\delta >0$ такой, что $$\forall x\in B\left(x_{0},\delta \right),\quad f(x_{0})-\varepsilon \leq f(x),$$ где $B\left(x_{0},\delta \right)$ представляет собой шар радиуса $\delta$ (относительно метрики) с центром в $x_{0}.$

Примеры

Рассмотрим функцию $f,$ кусочно определяется: $$f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}$$ Эта функция полунепрерывна сверху при $x_{0}=0,$ но не нижний полунепрерывный.

Функция пола $f(x)=\lfloor x\rfloor ,$ который возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному действительному числу $x,$ всюду полунепрерывна сверху. Аналогично, функция потолка $f(x)=\lceil x\rceil$ является полунепрерывным снизу.

Полунепрерывность сверху и снизу не имеет никакого отношения к непрерывности слева или справа для функций действительной переменной. Полунепрерывность определяется с точки зрения упорядочения в области значений функций, а не в области определения. Например, функция $$f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}$$ полунепрерывен сверху при $x=0$ тогда как пределы функции слева или справа в нуле даже не существуют.

Если $X=\mathbb {R} ^{n}$ является евклидовым пространством (или, в более общем плане, метрическим пространством) и $\Gamma =C([0,1],X)$ это пространство кривых в $X$ (с супремумным расстоянием $d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}$), то функционал длины $L:\Gamma \to [0,+\infty ],$ который присваивает каждой кривой $\alpha$ его длина $L(\alpha ),$ является полунепрерывным снизу. В качестве примера рассмотрим аппроксимацию диагонали единичного квадрата лестницей снизу. Лестница всегда имеет длину 2, а диагональная линия имеет только длину. ${\sqrt {2}}$.

Позволять $(X,\mu )$ — пространство с мерой и пусть $L^{+}(X,\mu )$ обозначим множество положительных измеримых функций, наделенных топология сходимости по мере относительно $\mu .$ Тогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из $L^{+}(X,\mu )$ к $[-\infty ,+\infty ]$ является полунепрерывным снизу.

Теорема Тонелли в функциональном анализе характеризует слабую полунепрерывность снизу нелинейных функционалов на L ^п пространства в терминах выпуклости другой функции.

Характеристики

Если не указано иное, все приведенные ниже функции взяты из топологического пространства. $X$ к расширенным действительным числам ${\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].$ Некоторые результаты верны для полунепрерывности в конкретной точке, но для краткости они сформулированы только для полунепрерывности во всей области.

• Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ непрерывно тогда и только тогда , когда оно полунепрерывно сверху и снизу.
• Характеристическая функция или индикаторная функция множества $A\subset X$ (определено $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ если $x\in A$ и $0$ если $x\notin A$) полунепрерывен сверху тогда и только тогда, когда $A$ представляет собой закрытое множество . Оно полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда $A$ представляет собой открытое множество .
• В области выпуклого анализа характеристическая функция множества $A\subset X$ определяется по-другому, так как $\chi _{A}(x)=0$ если $x\in A$ и $\chi _{A}(x)=\infty$ если $x\notin A$. Согласно этому определению, характеристическая функция любого замкнутого множества полунепрерывна снизу, а характеристическая функция любого открытого множества полунепрерывна сверху.

Бинарные операции над полунепрерывными функциями

Позволять $f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$.

• Если $f$ и $g$ полунепрерывны снизу, то сумма $f+g$ является полунепрерывным снизу (при условии, что сумма определена корректно, т.е. $f(x)+g(x)$ это не неопределенная форма $-\infty +\infty$). То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций.
• Если $f$ и $g$ полунепрерывны снизу и неотрицательны, то функция произведения $fg$ является полунепрерывным снизу. Соответствующий результат справедлив для полунепрерывных сверху функций.
• Функция $f$ полунепрерывен снизу тогда и только тогда, когда $-f$ является полунепрерывным сверху.
• Если $f$ и $g$ являются полунепрерывными сверху и $f$ не убывает , то композиция $f\circ g$ является полунепрерывным сверху. С другой стороны, если $f$ не является неубывающим, то $f\circ g$ не может быть полунепрерывным сверху.

• Если $f$ и $g$ полунепрерывны снизу, то функции $x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}$ и $x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}$ также полунепрерывны снизу. Аналогично, если $f$ и $g$ полунепрерывны сверху, то $x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}$ и $x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}$ являются полунепрерывными сверху.

• Множество всех полунепрерывных снизу функций из $X$ к ${\overline {\mathbb {R} }}$ (или чтобы $\mathbb {R}$) образует решетку . Это следует непосредственно из того, что каждая пара полунепрерывных снизу функций $f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ имеет максимум и минимум, которые также полунепрерывны снизу. Аналогично множество всех полунепрерывных сверху функций также образует решетку.

Оптимизация полунепрерывных функций.

• (поточечно) Супремум произвольного семейства $(f_{i})_{i\in I}$ полунепрерывных снизу функций $f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ (определено $f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}$) полунепрерывен снизу.

В частности, предел монотонно возрастающей последовательности $f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots$ непрерывных функций полунепрерывна снизу. (Приведенная ниже теорема Бэра обеспечивает частичное обратное.) Предельная функция, вообще говоря, будет только полунепрерывной снизу, а не непрерывной. Примером служат функции $f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}$ определено для $x\in [0,1]$ для $n=1,2,\ldots .$

Аналогично, нижняя грань произвольного семейства полунепрерывных сверху функций полунепрерывна сверху. А предел монотонно убывающей последовательности непрерывных функций полунепрерывен сверху.

• Если $C$ — компактное пространство (например, замкнутый ограниченный интервал $[a,b]$) и $f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}$ полунепрерывен сверху, то $f$ достигает максимума на $C.$ Если $f$ полунепрерывен снизу на $C,$ оно достигает минимума $C.$

( Доказательство для полунепрерывного сверху случая : По условию (5) определения $f$ является непрерывным, когда ${\overline {\mathbb {R} }}$ задана топология левого порядка. Итак, его образ $f(C)$ компактен в этой топологии. И компакты в этой топологии — это именно множества с максимумом. Альтернативное доказательство см. в статье о теореме об экстремальных значениях .)

Другие свойства

• ( Теорема Бэра ) Позволять $X$ быть метрическим пространством . Любая полунепрерывная снизу функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ является пределом поточечно возрастающей последовательности расширенных действительных непрерывных функций на $X.$ В частности, существует последовательность $\{f_{i}\}$ непрерывных функций $f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ такой, что

$$f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots$$ и

$$\lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.$$

Если $f$ не принимает значение $-\infty$, непрерывные функции можно считать вещественными.

При этом каждая полунепрерывная сверху функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ является пределом монотонно убывающей последовательности расширенных вещественнозначных непрерывных функций на $X;$ если $f$ не принимает значение $\infty ,$ непрерывные функции можно считать вещественными.

• Любая полунепрерывная сверху функция $f:X\to \mathbb {N}$ в произвольном топологическом пространстве $X$ локально постоянна на некотором плотном открытом подмножестве $X.$

Полунепрерывность множественных функций.

Для многозначных функций определены несколько понятий полунепрерывности, а именно верхняя , нижняя , внешняя и внутренняя полунепрерывность, а также верхняя и нижняя полунепрерывность . Функция с множеством значений $F$ из набора $A$ в набор $B$ написано $F:A\rightrightarrows B.$ Для каждого $x\in A,$ функция $F$ определяет набор $F(x)\subset B.$ Прообраз ​ набора $S\subset B$ под $F$ определяется как $$F^{-1}(S):=\{x\in A:F(x)\cap S\neq \varnothing \}.$$ То есть, $F^{-1}(S)$ это множество, содержащее каждую точку $x$ в $A$ такой, что $F(x)$ не является непересекающимся с $S$.

Верхняя и нижняя полунепрерывность

Карта с множеством значений $F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}$ полунепрерывен сверху при $x\in \mathbb {R} ^{m}$ если для каждого открытого множества $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $F(x)\subset U$, существует окрестность $V$ из $x$ такой, что $F(V)\subset U.$

Карта с множеством значений $F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}$ является полунепрерывным снизу при $x\in \mathbb {R} ^{m}$ если для каждого открытого множества $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $x\in F^{-1}(U),$ существует район $V$ из $x$ такой, что $V\subset F^{-1}(U).$

Верхняя и нижняя полунепрерывность множеств также определяются в более общем смысле для множественных отображений между топологическими пространствами путем замены $\mathbb {R} ^{m}$ и $\mathbb {R} ^{n}$ в приведенных выше определениях с произвольными топологическими пространствами.

Заметим, что прямого соответствия между однозначной нижней и верхней полунепрерывностью и многозначной нижней и верхней полунепрерывностью не существует. Полунепрерывная сверху однозначная функция не обязательно является полунепрерывной сверху, если рассматривать ее как многозначное отображение. Например, функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $$f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}$$ полунепрерывно сверху в однозначном смысле, но многозначное отображение $x\mapsto F(x):=\{f(x)\}$ не является полунепрерывным сверху в многозначном смысле.

Внутренняя и внешняя полунепрерывность

Функция с множеством значений $F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}$ называется внутренним полунепрерывным при $x$ если для каждого $y\in F(x)$ и каждая сходящаяся последовательность $(x_{i})$ в $\mathbb {R} ^{m}$ такой, что $x_{i}\to x$, существует последовательность $(y_{i})$ в $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что $y_{i}\to y$ и $y_{i}\in F\left(x_{i}\right)$ для всех достаточно больших $i\in \mathbb {N} .$

Функция с множеством значений $F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}$ называется внешним полунепрерывным при $x$ если для каждой последовательности сходимости $(x_{i})$ в $\mathbb {R} ^{m}$ такой, что $x_{i}\to x$ и каждая сходящаяся последовательность $(y_{i})$ в $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что $y_{i}\in F(x_{i})$ для каждого $i\in \mathbb {N} ,$ последовательность $(y_{i})$ сходится к точке в $F(x)$ (то есть, $\lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)$).

См. также

• Непрерывность направления – математическая функция без внезапных изменений. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Теорема вставки Катетова–Тонга . О существовании непрерывной функции между полунепрерывными верхними и нижними оценками.
• Геминепрерывность - полунепрерывность для функций с множеством значений.

Библиография

• Бенешова, Б.; Крузик, М. (2017). «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложений». Обзор СИАМ . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . дои : 10.1137/16M1060947 . S2CID   119668631 .
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы математики: Общая топология, 1–4 . Спрингер. ISBN  0-201-00636-7 .
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы математики: общая топология, 5–10 . Спрингер. ISBN  3-540-64563-2 .
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3-88538-006-4 .
• Гельбаум, Бернард Р.; Олмстед, Джон М.Х. (2003). Контрпримеры в анализе . Дуврские публикации. ISBN  0-486-42875-3 .
• Хайерс, Дональд Х.; Исак, Джордж; Рассиас, Фемистокл М. (1997). Темы нелинейного анализа и приложений . Всемирная научная. ISBN  981-02-2534-2 .
• Стромберг, Карл (1981). Введение в классический реальный анализ . Уодсворт. ISBN  978-0-534-98012-2 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .
• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .