Геминепрерывность

В математике понятие непрерывности функций не и распространяется непосредственно на функции двумя множествами A многозначные B. между Двойные концепции верхней геминепрерывности и нижней геминепрерывности облегчают такое расширение. Многозначная функция, обладающая обоими свойствами, называется непрерывной по аналогии с одноименным свойством однозначных функций.

Чтобы объяснить оба понятия, рассмотрим последовательность точек a в области и последовательность точек b в диапазоне. Мы говорим, что b соответствует a , если каждая точка b содержится в образе соответствующей точки a .

• Верхняя геминепрерывность требует, чтобы для любой сходящейся последовательности a в области и для любой сходящейся последовательности b , соответствующей a , образ предела a содержал предел b .
• Нижняя геминепрерывность требует, чтобы для любой сходящейся последовательности a в области и для любой точки x в образе предела a существовала последовательность b , соответствующая подпоследовательности a , которая сходится к x .

Примеры

Эта многозначная функция всюду полунепрерывна сверху, но не полунепрерывна снизу в точках. $x$ : для последовательности точек $\left(x_{m}\right)$ который сходится к $x,$ у нас есть $y$ ( $y\in f(x)$) такой, что никакая последовательность $\left(y_{m}\right)$ сходится к $y$ где каждый $y_{m}$ находится в $f\left(x_{m}\right).$

Эта многозначная функция всюду полунепрерывна снизу, но не полунепрерывна сверху. $x,$ потому что граф (множество) не замкнут.

Изображение справа показывает функцию, которая не является полунепрерывной снизу в точке x . Чтобы убедиться в этом, пусть a — последовательность, сходящаяся к x слева. Изображение x — это вертикальная линия, содержащая некоторую точку ( x , y ). Но каждая последовательность b , соответствующая a, содержится в нижней горизонтальной строке, поэтому она не может сходиться к y . Напротив, функция всюду полунепрерывна сверху. Например, если рассматривать любую последовательность a, которая сходится к x слева или справа, и любую соответствующую последовательность b , предел b содержится в вертикальной линии, которая является образом предела a .

Изображение слева показывает функцию, которая не является полунепрерывной сверху в точке x . Чтобы убедиться в этом, пусть a — последовательность, сходящаяся к x справа. Изображение a содержит вертикальные линии, поэтому существует соответствующая последовательность b, в которой все элементы отделены от f ( x ). Образ предела a содержит одну точку f ( x ), поэтому он не содержит предела b . Напротив, эта функция всюду геминепрерывна снизу. Например, для любой последовательности a, которая сходится к x слева или справа, f ( x ) содержит одну точку, и существует соответствующая последовательность b, которая сходится к f ( x ).

: верхняя

Функция с множеством значений $\Gamma :A\to B$ называется полунепрерывным сверху в точке $a$ если для любого открытого $V\subset B$ с $\Gamma (a)\subset V$, существует окрестность $U$ из $a$ такой, что для всех $x\in U,$ $\Gamma (x)$ является подмножеством $V.$

Последовательная характеристика

Для многозначной функции $\Gamma :A\to B$ с закрытыми значениями, если $\Gamma :A\to B$ является верхней геминепрерывной при $a\in A$ тогда для всех последовательностей $a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ в $A$ и все последовательности $\left(b_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ такой, что $b_{m}\in \Gamma \left(a_{m}\right),$

если $\lim _{m\to \infty }a_{m}=a$ и $\lim _{m\to \infty }b_{m}=b$ затем $b\in \Gamma (a).$

В качестве примера посмотрим на изображение справа и рассмотрим последовательность a в области, сходящейся к x (слева или справа). Тогда любая последовательность b , удовлетворяющая требованиям, сходится к некоторой точке из f ( x ).

Если B компактно, верно и обратное.

замкнутом

График многозначной функции $\Gamma :A\to B$ это набор, определяемый $Gr(\Gamma )=\{(a,b)\in A\times B:b\in \Gamma (a)\}.$

Если $\Gamma :A\to B$ — полунепрерывная сверху многозначная функция с замкнутой областью определения (т. е. множество точек $a\in A$ где $\Gamma (a)$ не пустое множество, закрыто) и закрытые значения (т.е. $\Gamma (a)$ закрыто для всех $a\in A$), затем $\operatorname {Gr} (\Gamma )$ закрыт. Если $B$ компактно, то верно и обратное.

:

Функция с множеством значений $\Gamma :A\to B$ называется полунепрерывным снизу в точке $a$ если для любого открытого множества $V$ пересекающийся $\Gamma (a)$ существует район $U$ из $a$ такой, что $\Gamma (x)$ пересекает $V$ для всех $x\in U.$ (Здесь $V$ пересекает $S$ означает непустое пересечение $V\cap S\neq \varnothing$).

Последовательная характеристика

$\Gamma :A\to B$ является нижним геминепрерывным при $a$ тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ в $A$ такой, что $a_{\bullet }\to a$ в $A$ и все $b\in \Gamma (a),$ существует подпоследовательность $\left(a_{m_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ из $a_{\bullet }$ а также последовательность $b_{\bullet }=\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ такой, что $b_{\bullet }\to b$ и $b_{k}\in \Gamma \left(a_{m_{k}}\right)$ для каждого $k.$

открытом

Функция с множеством значений $\Gamma :A\to B$ иметь открытые нижние секции, если установлен $\Gamma ^{-1}(b)=\{a\in A:b\in \Gamma (a)\}$открыт в $A$ для каждого $b\in B.$ Если $\Gamma$ значения — это все открытые множества в $B,$ затем $\Gamma$ Говорят, что верхние части открыты .

Если $\Gamma$ имеет открытый график $\operatorname {Gr} (\Gamma ),$ затем $\Gamma$ имеет открытые верхнюю и нижнюю части и если $\Gamma$ имеет открытые нижние отделы, то является нижним полусплошным.

Теорема об открытом графе гласит, что если $\Gamma :A\to P\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ — многозначная функция с выпуклыми значениями и открытыми верхними секциями, тогда $\Gamma$ имеет открытый граф в $A\times \mathbb {R} ^{n}$ тогда и только тогда, когда $\Gamma$ является нижним геминепрерывным.

Свойства

Теоретико-множественные, алгебраические и топологические операции над многозначными функциями (такими как объединение, композиция, сумма, выпуклая оболочка, замыкание)обычно сохраняют тип непрерывности. Но к этому следует относиться с соответствующей осторожностью, так как, например, существует пара полунепрерывных снизу множественных функций, пересечение которых не является полунепрерывным снизу. Это можно исправить, усилив свойства непрерывности: если одна из этих полунепрерывных снизу мультифункций имеет открытый график, то их пересечение снова будет полунепрерывным снизу.

Решающее значение для многозначного анализа (с точки зрения приложений) имеет исследование однозначных выборок и приближений к многозначным функциям. Обычно нижние полунепрерывные многозначные функции допускают однозначный выбор ( теорема выбора Майкла , теорема о направленно непрерывном выборе Брессана-Коломбо, выбор разложимых карт Фрышковского). Аналогично, полунепрерывные сверху отображения допускают аппроксимации (например, теорема Анселя–Гранаса–Гурневича–Крышевского).

для

Если многозначная функция одновременно полунепрерывна сверху и полунепрерывна снизу, ее называют непрерывной. Непрерывная функция во всех случаях полунепрерывна как сверху, так и снизу.

концепции

Верхнюю и нижнюю геминепрерывность можно рассматривать как обычную непрерывность:

$\Gamma :A\to B$ ниже [соответственно. верхний] полунепрерывен тогда и только тогда, когда отображение $\Gamma :A\to P(B)$ является непрерывным там, где гиперпространство P(B) наделено нижним [соответственно. верхняя] Топология Виеториса .

(Для понятия гиперпространства сравните также степенное множество и функциональное пространство ).

Хаусдорфа, Используя нижнюю и верхнюю равномерность мы также можем определить так называемые верхние и нижние полунепрерывные отображения в смысле Хаусдорфа (также известные как метрически нижние/верхние полунепрерывные отображения ).

См. также

• Дифференциальное включение
• Расстояние Хаусдорфа - Расстояние между двумя подмножествами метрического пространства.
• Полунепрерывность — свойство функций, которое слабее, чем непрерывность. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-29587-7 . OCLC   262692874 .
• Обен, Жан-Пьер ; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения: многозначные отображения и теория жизнеспособности . Грундл. дер Мат. Висс. Том. 264. Берлин: Шпрингер. ISBN  0-387-13105-1 .
• Обен, Жан-Пьер ; Франковска, Хелен (1990). Многозначный анализ . Базель: Биркхойзер. ISBN  3-7643-3478-9 .
• Даймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения . Вальтер де Грюйтер. ISBN  3-11-013212-5 .
• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д .; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономический анализ . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 949–951. ISBN  0-19-507340-1 .
• Хорошо, Эфе А. (2007). Реальный анализ с экономическими приложениями . Издательство Принстонского университета. стр. 216–226. ISBN  978-0-691-11768-3 .