Антиголоморфная функция

В математике антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими функциями) ) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями, но отличных от них .

Функция комплексной переменной $z$ определенное на открытом множестве в комплексной плоскости, называется антиголоморфным, если его производная по ${\bar {z}}$ существует в окрестности каждой точки этого множества, где ${\bar {z}}$ является комплексно- сопряженным $z$.

Определение антиголоморфной функции следующее:

"[а] функция $f(z)=u+iv$ одной или нескольких комплексных переменных $z=\left(z_{1},\dots ,z_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}$ [называется антиголоморфной, если (и только если) она] является комплексно-сопряженной голоморфной функцией ${\overline {f\left(z\right)}}=u-iv$."

Можно показать, что если $f(z)$ — голоморфная функция на открытом множестве $D$, затем $f({\bar {z}})$ является антиголоморфной функцией на ${\bar {D}}$, где ${\bar {D}}$ является отражением $D$ поперек действительной оси; другими словами, ${\bar {D}}$ представляет собой набор комплексно сопряженных элементов $D$. Более того, любую антиголоморфную функцию можно получить таким образом из голоморфной функции. Отсюда следует, что функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда ее можно разложить в степенной ряд по ${\bar {z}}$ в окрестности каждой точки своей области. Кроме того, функция $f(z)$ антиголоморфен на открытом множестве $D$ тогда и только тогда, когда функция ${\overline {f(z)}}$ голоморфен на $D$.

Если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой компоненте связности своей области определения.