Топологическая теория струн

В теоретической физике топологическая теория струн является разновидностью теории струн . Топологическая теория струн появилась в работах физиков-теоретиков, таких как Эдвард Виттен и Камрун Вафа , по аналогии с более ранней идеей Виттена о топологической квантовой теории поля .

Обзор

Существуют две основные версии топологической теории струн: топологическая А-модель и топологическая В-модель. Результаты вычислений в топологической теории струн в общем кодируют все голоморфные величины в рамках полной теории струн, значения которых защищены суперсимметрией пространства-времени . Различные вычисления в топологической теории струн тесно связаны с теорией Черна–Саймонса , инвариантами Громова–Виттена , зеркальной симметрией , геометрической программой Ленглендса и многими другими темами.

Операторы количество топологической теории струн представляют собой алгебру операторов полной теории струн, сохраняющих определенное ^{[ нужны разъяснения ]} суперсимметрии . Топологическая теория струн получается путем топологического изменения описания обычной теории струн на мировом листе : операторам присваиваются разные спины. Операция полностью аналогична построению топологической теории поля , которая является родственным понятием. Следовательно, в топологической теории струн нет локальных степеней свободы.

Допустимые пространства-времени

Фундаментальные струны теории струн представляют собой двумерные поверхности. квантовая теория поля, известная как N = (1,1) сигма-модель На каждой поверхности определена . Эта теория состоит из отображений поверхности в супермногообразие . Физически супермногообразие интерпретируется как пространство-время , а каждая карта интерпретируется как вложение строки в пространство-время.

Только специальные пространства-времени допускают топологические струны. Классически необходимо выбрать пространство-время такое, чтобы теория учитывала дополнительную пару суперсимметрий. ^{[ почему? ]}, превращая пространство-время в сигма-модель N = (2,2) ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}. Частным случаем этого является случай, когда пространство-время является кэлеровым многообразием и H-поток тождественно равен нулю. Обобщенные кэлеровы многообразия могут иметь нетривиальный H-поток.

Топологический поворот

Обычные струны на особом фоне никогда не являются топологическими. ^{[ почему? ]}. Чтобы сделать эти струны топологическими, необходимо изменить сигма-модель с помощью процедуры, называемой топологическим поворотом , которая была изобретена Эдвардом Виттеном в 1988 году. Центральное наблюдение ^{[ нужны разъяснения ]} это что эти ^{[ который? ]} теории имеют две симметрии U(1), известные как R-симметрии , а симметрия Лоренца может быть модифицирована. ^{[ нужны разъяснения ]} смешивая вращения и R-симметрии. Можно использовать любую из двух R-симметрий, что приводит к двум различным теориям, называемым моделью A и моделью B. После этого поворота действие теории становится BRST-точным. ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}, и в результате теория не имеет динамики. Вместо этого все наблюдаемые зависят от топологии конфигурации. Такие теории известны как топологические теории .

Классически эта процедура всегда возможна. ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

С квантовой механики симметрия U(1) может быть аномальной , что делает поворот невозможным. Например, в случае Кэлера при H = 0 ^{[ нужны разъяснения ]} поворот, ведущий к A-модели, всегда возможен, но поворот, ведущий к B-модели, возможен только тогда, когда первый класс Черна пространства-времени исчезает, а это означает, что пространство-время представляет собой пространство Калаби – Яу. ^{[ нужны разъяснения ]}. В более общем смысле (2,2) теории имеют две комплексные структуры , и модель B существует, когда сумма первых классов Черна связанных расслоений равна нулю, тогда как модель A существует, когда разница классов Черна равна нулю. В случае Кэлера две комплексные структуры одинаковы, поэтому разница всегда равна нулю, поэтому модель А всегда существует.

Нет никаких ограничений на количество измерений пространства-времени, за исключением того, что оно должно быть четным, поскольку пространство-время является обобщенным Кэлером. Однако все корреляционные функции с мировыми листами, которые не являются сферами, исчезают, если комплексная размерность пространства-времени не равна трем, и поэтому пространства-времени с комплексной размерностью три являются наиболее интересными. Это удача для феноменологии , поскольку феноменологические модели часто используют физическую теорию струн , компактизированную в трехмерном комплексном пространстве. Топологическая теория струн не эквивалентна физической теории струн даже в том же пространстве, но в определенных ^{[ который? ]} суперсимметричные величины согласуются в обеих теориях.

Объекты

А-модель

Топологическая A-модель имеет целевое пространство , которое представляет собой шестимерное обобщенное кэлерово пространство-время. В случае, когда пространство-время является кэлером, теория описывает два объекта. Существуют фундаментальные струны, которые обертывают две голоморфные кривые вещественной размерности. Амплитуды рассеяния этих струн зависят только от кэлеровой формы пространства-времени, а не от сложной структуры. Классически эти корреляционные функции определяются кольцом когомологий . Существуют квантово-механические инстантонные эффекты, которые исправляют их и дают инварианты Громова-Виттена , которые измеряют произведение чашки в деформированном кольце когомологий, называемом квантовыми когомологиями . Теория струнного поля замкнутых струн A-модели известна как кэлерова гравитация и была представлена Михаилом Бершадским и Владимиром Садовым в «Теории кэлеровой гравитации» .

Кроме того, существуют D2-браны, которые обертывают лагранжевы подмногообразия пространства-времени. Это подмногообразия, размеры которых вдвое меньше пространства-времени, и такие, что возврат кэлеровой формы к подмногообразию исчезает. Теория мирового объема на стеке N D2-бран — это струнная теория поля открытых струн A-модели, которая представляет собой U(N) -теорию Черна–Саймонса .

Фундаментальные топологические струны могут заканчиваться на D2-бранах. Если вложение струны зависит только от кэлеровой формы, то вложение бран полностью зависит от сложной структуры. В частности, когда струна заканчивается на бране, пересечение всегда будет ортогональным, поскольку произведение клина формы Кэлера и голоморфной 3-формы равно нулю. В физической струне это необходимо для устойчивости конфигурации, но здесь это свойство лагранжевых и голоморфных циклов на келеровом многообразии.

Могут также существовать коизотропные браны в различных измерениях, отличных от полуразмерностей лагранжевых подмногообразий . Впервые они были представлены Антоном Капустиным и Дмитрием Орловым в «Замечаниях об А-бранах, зеркальной симметрии и категории Фукая».

B-модель

B-модель также содержит фундаментальные струны, но амплитуды их рассеяния полностью зависят от сложной структуры и не зависят от кэлеровой структуры. В частности, они нечувствительны к инстантонным эффектам мирового листа и поэтому часто могут быть точно рассчитаны. Зеркальная симметрия затем связывает их с амплитудами модели A, что позволяет вычислять инварианты Громова – Виттена. Теория струнного поля замкнутых струн B-модели известна как теория гравитации Кодаиры-Спенсера и была развита Майклом Бершадским , Серджио Чекотти , Хироси Оогури и Кумруном Вафой в книге «Теория гравитации Кодайры-Спенсера и точные результаты для квантовых чисел». Струнные амплитуды .

B-модель также включает D(-1), D1, D3 и D5-браны, которые обертывают голоморфные 0, 2, 4 и 6-подмногообразия соответственно. 6-подмногообразие является связной компонентой пространства-времени. Теория D5-браны известна как голоморфная теория Черна–Саймонса . Плотность Лагранжа представляет собой клиновое произведение плотности обычной теории Черна–Саймонса с голоморфной (3,0)-формой, которая существует в случае Калаби–Яу. Лагранжевы плотности теорий на бранах нижних размерностей могут быть получены из голоморфной теории Черна–Саймонса путем размерных редукций.

Топологическая М-теория

Топологическая М-теория, использующая семимерное пространство-время, не является топологической теорией струн, поскольку не содержит топологических струн. Однако было высказано предположение, что топологическая М-теория на расслоении кругов над 6-многообразием эквивалентна топологической А-модели на этом 6-многообразии.

В частности, D2-браны A-модели поднимаются до точек вырождения расслоения окружностей, точнее, Калуцы–Клейна монополей . Фундаментальные струны А-модели поднимаются к мембранам, называемым М2-бранами в топологической М-теории.

Одним из особых случаев, вызвавших большой интерес, является топологическая М-теория в пространстве с голономией G ₂ и А-модель в пространстве Калаби–Яу. В этом случае М2-браны обертывают ассоциативные 3-циклы. Строго говоря, гипотеза топологической М-теории была выдвинута только в этом контексте, поскольку в этом случае функции, введенные Найджелом Хитчиным в книге «Геометрия трех форм в шести и семи измерениях и стабильных формах и специальных метриках», обеспечивают кандидата с низкой энергоэффективностью. действие.

Эти функции называются « функционалом Хитчина », а топологическая строка тесно связана с идеями Хитчина об обобщенной комплексной структуре , системе Хитчина , построении ADHM и т. д.

Наблюдаемые

Топологический поворот

Двумерная теория мирового листа представляет собой N = (2,2) суперсимметричную сигма-модель , (2,2) суперсимметрия означает, что фермионные генераторы алгебры суперсимметрии , называемые суперзарядами, могут быть собраны в один спинор Дирака , который состоит двух спиноров Майораны–Вейля каждой киральности. Эта сигма-модель топологически искривлена, что означает, что генераторы симметрии Лоренца , которые появляются в алгебре суперсимметрии, одновременно вращают физическое пространство-время, а также вращают фермионные направления посредством действия одной из R-симметрий . Группа R-симметрии двумерной теории поля N = (2,2) равна U(1) × U(1), повороты под действием двух разных факторов приводят к моделям A и B соответственно. Топологическая искривленная конструкция топологических теорий струн была представлена Эдвардом Виттеном в его статье 1988 года. ^{[ 1 ]}

От чего зависят корреляторы?

Топологический поворот приводит к топологической теории, поскольку тензор энергии-импульса можно записать как антикоммутатор суперзаряда и другого поля. Поскольку тензор энергии-импульса измеряет зависимость действия от метрического тензора , это означает, что все корреляционные функции Q-инвариантных операторов не зависят от метрики. В этом смысле теория топологична.

В более общем смысле, любой D-член в действии, который представляет собой любой член, который может быть выражен как интеграл по всему суперпространству , является антикоммутатором сверхзаряда и поэтому не влияет на топологические наблюдаемые. В более общем смысле, в модели B любой член, который можно записать в виде интеграла по фермионным числам ${\overline {\theta }}^{\pm }$ координаты не дает вклада, тогда как в А-модели любой член, являющийся интегралом по $\theta ^{-}$ или более ${\overline {\theta }}^{+}$ не способствует. Это означает, что наблюдаемые модели A не зависят от суперпотенциала ( поскольку его можно записать как интеграл по всего лишь ${\overline {\theta }}^{\pm }$ ), но голоморфно зависят от скрученного суперпотенциала , и наоборот для модели B.

Двойственности

Двойственность между TST

С вышеизложенными теориями связан ряд двойственностей. A-модель и B-модель на двух зеркальных многообразиях связаны зеркальной симметрией , которая описывается как T-двойственность на трехторе. Предполагается, что A-модель и B-модель на одном и том же многообразии связаны S-дуальностью , что предполагает существование нескольких новых бран, называемых NS-бранами по аналогии с NS5-браной , которые обертывают те же циклы, что и исходная. браны, но в противоположной теории. Также комбинация А-модели и суммы В-модели и ее сопряженной модели связана с топологической М-теорией своего рода размерной редукцией . Здесь степени свободы A-модели и B-моделей, по-видимому, не наблюдаются одновременно, а скорее имеют связь, аналогичную взаимосвязи между положением и импульсом в квантовой механике .

Голоморфная аномалия

Сумма B-модели и ее сопряженной модели появляется в вышеупомянутой двойственности, потому что это теория, эффективное действие которой при низкой энергии, как ожидается, будет описываться формализмом Хитчина. Это связано с тем, что B-модель страдает голоморфной аномалией , которая гласит, что зависимость от комплексных величин, будучи классически голоморфной, получает неголоморфные квантовые поправки. В книге «Независимость от квантового фона в теории струн » Эдвард Виттен утверждал, что эта структура аналогична структуре, которую можно обнаружить при геометрическом квантовании пространства сложных структур. Как только это пространство будет квантовано, только половина измерений коммутирует одновременно, и поэтому количество степеней свободы сократится вдвое. Это разделение пополам зависит от произвольного выбора, называемого поляризацией . Сопряженная модель содержит недостающие степени свободы, поэтому путем тензоризации B-модели и ее сопряженной модели вновь получаются все недостающие степени свободы, а также устраняется зависимость от произвольного выбора поляризации.

Геометрические переходы

Существует также ряд дуальностей, связывающих конфигурации с D-бранами, описываемыми открытыми струнами, с конфигурациями с бранами, замененными потоком, и с геометрией, описываемой окологоризонтной геометрией утраченных бран. Последние описываются замкнутыми струнами.

Возможно, первой такой дуальностью является дуальность Гопакумара-Вафы, которая была введена Раджешем Гопакумаром и Кумруном Вафой в книге «О калибровочной теории/соответствии геометрии» . Это связывает стопку N D6-бран на 3-сфере в A-модели на деформированном конифолиде с замкнутой теорией струн A-модели на разрешенном конифолиде с полем B, равным N, умноженному на константу связи струн. Открытые струны в модели A описываются теорией Черна–Саймонса U(N), а теория замкнутых струн в модели A описывается кэлеровой гравитацией.

Хотя конифолд считается разрешенным, площадь раздутой двухсферы равна нулю, это только B-поле, которое часто считается комплексной частью площади, которое не обращается в нуль. Фактически, поскольку теория Черна – Саймонса является топологической, можно уменьшить объем деформированной трехсферы до нуля и таким образом прийти к той же геометрии, что и в дуальной теории.

Зеркальным двойником этой дуальности является другая дуальность, которая связывает открытые струны в B-модели на бране, обертывающей 2-цикл в разрешенном конифолде, с закрытыми струнами в B-модели на деформированном конифолде. Открытые струны в B-модели описываются размерными редукциями гомоломорфной теории Черна–Саймонса на бранах, на которых они заканчиваются, а закрытые струны в B-модели описываются гравитацией Кодайры–Спенсера.

Двойственность с другими теориями

Плавление кристаллов, квантовая пена и калибровочная теория U(1)

В статье « Квант Калаби-Яу и классические кристаллы » Андрей Окуньков , Николай Решетихин и Камрун Вафа предположили, что квантовая A-модель двойственна классическому плавящемуся кристаллу при температуре , равной обратной константе связи струны. Эта гипотеза была интерпретирована в книге «Квантовая пена и топологические струны » Амером Икбалом , Никитой Некрасовым , Андреем Окуньковым и Кумруном Вафой . Они утверждают, что статистическая сумма по плавящимся кристаллическим конфигурациям эквивалентна интегралу по путям по изменениям топологии пространства-времени, поддерживаемому в небольших областях с площадью порядка, равным произведению константы связи струны и α'.

Такие конфигурации с пространством-временем, полным множества маленьких пузырей, восходят к Джону Арчибальду Уиллеру в 1964 году, но редко появляются в теории струн , поскольку их очень сложно определить точно. Однако в этой двойственности авторы могут описать динамику квантовой пены знакомым языком топологически искривленной калибровочной теории U(1) , напряженность поля которой линейно связана с кэлеровой формой A-модели. В частности, это предполагает, что кэлерова форма А-модели должна быть квантована.

Приложения

Амплитуды топологической теории струн A-модели используются для вычисления препотенциалов в суперсимметричных калибровочных теориях N = 2 в четырех и пяти измерениях. Амплитуды топологической B-модели с потоками и/или бранами используются для вычисления суперпотенциалов в N = 1 суперсимметричных калибровочных теориях в четырех измерениях. В расчетах пертурбативной модели A также учитываются состояния BPS вращающихся черных дыр в пяти измерениях.

См. также

Ссылки

^ «Топологические сигма-модели». Коммун. Математика. Физ . Февраль 1988 года.

Нейцке, Эндрю; Вафа, Камрун (2004). «Топологические струны и их физические приложения». arXiv : hep-th/0410178 .
Дейкграаф, Робберт; Гуков, Сергей; Нейцке, Эндрю; Вафа, Камрун (2005). «Топологическая М-теория как объединение форм теорий гравитации». Адв. Теор. Математика. Физ . 9 (4): 603–665. arXiv : hep-th/0411073 . Бибкод : 2004hep.th...11073D . дои : 10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5 . S2CID 1204839 .
Топологическая теория струн на arxiv.org
Накви, Асад (2006). «Топологические строки» (PDF- Microsoft PowerPoint ) . Асад Накви – Университет Уэльса, Суонси , Великобритания . Национальный центр физики .

[Witten88-1] «Топологические сигма-модели». Коммун. Математика. Физ . Февраль 1988 года.

[ 1 ]