Зеркальная симметрия (теория струн)

Чтобы узнать о других значениях, см. Зеркальную симметрию .

В алгебраической геометрии и теоретической физике зеркальная симметрия — это связь между геометрическими объектами, называемыми многообразиями Калаби-Яу . Этот термин относится к ситуации, когда два многообразия Калаби-Яу выглядят очень разными геометрически, но, тем не менее, эквивалентны, когда используются в качестве дополнительных измерений теории струн .

Первые случаи зеркальной симметрии были открыты физиками. Математики заинтересовались этой взаимосвязью примерно в 1990 году, когда Филип Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс показали, что ее можно использовать в качестве инструмента в перечислительной геометрии — разделе математики, занимающемся подсчетом количества решений геометрических вопросов. . Канделас и его сотрудники показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета рациональных кривых на многообразии Калаби – Яу, решив тем самым давнюю проблему. Хотя первоначальный подход к зеркальной симметрии был основан на физических идеях, которые не были поняты математически точно, некоторые из его математических предсказаний с тех пор были строго доказаны .

Сегодня зеркальная симметрия является основной темой исследований в чистой математике , и математики работают над развитием математического понимания этой взаимосвязи, основанного на интуиции физиков. Зеркальная симметрия также является фундаментальным инструментом для проведения расчетов в теории струн и использовалась для понимания аспектов квантовой теории поля — формализма, который физики используют для описания элементарных частиц . Основные подходы к зеркальной симметрии включают гомологической зеркальной симметрии программу Максима Концевича и гипотезу SYZ Эндрю Строминджера , Шинг-Тунга Яу и Эрика Заслоу .

Обзор

Струны и компактификация

Основные статьи: Теория струн и компактификация (физика)

Фундаментальными объектами теории струн являются открытые и закрытые струны .

В физике теория струн представляет собой теоретическую основу , в которой точечные частицы заменяются физики элементарных частиц одномерными объектами, называемыми струнами . Эти струны выглядят как небольшие сегменты или петли обычной струны. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна будет выглядеть как обычная частица, чья масса , заряд и другие свойства определяются колебательным состоянием струны. Расщепление и рекомбинация струн соответствуют испусканию и поглощению частиц, что приводит к взаимодействиям между частицами.

Существуют заметные различия между миром, описываемым теорией струн, и повседневным миром. В повседневной жизни есть три привычных измерения пространства (вверх/вниз, влево/вправо и вперед/назад) и одно измерение времени (позже/раньше). Таким образом, на языке современной физики говорят, что пространство-время четырехмерно. Одной из особенностей теории струн является то, что требуются дополнительные измерения для ее математической непротиворечивости пространства-времени. В теории суперструн , версии теории, которая включает в себя теоретическую идею, называемую суперсимметрией , существует шесть дополнительных измерений пространства-времени в дополнение к четырем, которые известны из повседневного опыта.

Одной из целей текущих исследований в области теории струн является разработка моделей, в которых струны представляют собой частицы, наблюдаемые в экспериментах по физике высоких энергий. Чтобы такая модель соответствовала наблюдениям, ее пространство-время должно быть четырехмерным в соответствующих масштабах расстояний, поэтому необходимо искать способы ограничить дополнительные измерения меньшими масштабами. В наиболее реалистичных моделях физики, основанных на теории струн, это достигается с помощью процесса, называемого компактификацией , в котором предполагается, что дополнительные измерения «замыкаются» сами в себе, образуя круги. В пределе, когда эти свернутые измерения становятся очень маленькими, получается теория, в которой пространство-время фактически имеет меньшее количество измерений. Стандартная аналогия — рассмотреть многомерный объект, например садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение — длину. Однако, приближаясь к шлангу, мы обнаруживаем, что он содержит второе измерение — окружность. Таким образом, муравей, ползающий по поверхности шланга, будет двигаться в двух измерениях.

Многообразия Калаби–Яу

Основная статья: многообразие Калаби – Яу

Сечение многообразия Калаби – Яу пятой степени.

Компактификацию можно использовать для построения моделей, в которых пространство-время фактически четырехмерно. Однако не каждый способ компактификации дополнительных измерений создает модель с правильными свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики элементарных частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму многообразия Калаби–Яу . Многообразие Калаби–Яу — это особое пространство , которое в приложениях к теории струн обычно считается шестимерным. Он назван в честь математиков Эухенио Калаби и Шинг-Тунг Яу .

После того, как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений, многие физики начали изучать эти многообразия. В конце 1980-х годов Лэнс Диксон , Вольфганг Лерш, Камрун Вафа и Ник Уорнер заметили, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби–Яу. Вместо этого две разные версии теории струн, называемые теорией струн типа IIA и типа IIB, могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби – Яу, что приводит к одной и той же физике. В этой ситуации многообразия называются зеркальными многообразиями, а связь между двумя физическими теориями называется зеркальной симметрией.

Отношения зеркальной симметрии являются частным примером того, что физики называют физической двойственностью . В общем, термин « физическая двойственность» относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические теории оказываются нетривиальным образом эквивалентными. Если одну теорию можно преобразовать так, чтобы она выглядела точно так же, как другая теория, то говорят, что обе теории двойственны при таком преобразовании. Иными словами, две теории представляют собой математически разные описания одних и тех же явлений. Подобные дуальности играют важную роль в современной физике, особенно в теории струн.

Независимо от того, обеспечивают ли компактификации Калаби–Яу теории струн правильное описание природы, существование зеркальной двойственности между различными теориями струн имеет важные математические последствия. Многообразия Калаби-Яу, используемые в теории струн, представляют интерес для чистой математики , а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи перечислительной алгебраической геометрии , раздела математики, связанного с подсчетом количества решений геометрических вопросов. Классическая проблема перечислительной геометрии - перебор рациональных кривых на многообразии Калаби – Яу, таком как проиллюстрированное выше. Применив зеркальную симметрию, математики перевели эту проблему в эквивалентную задачу для зеркала Калаби-Яу, которую оказалось решить проще.

В физике зеркальная симметрия обоснована физическими соображениями. Однако математикам обычно требуются строгие доказательства , не требующие обращения к физической интуиции. С математической точки зрения описанная выше версия зеркальной симметрии пока является лишь гипотезой, но существует и другая версия зеркальной симметрии в контексте топологической теории струн , упрощенная версия теории струн, представленная Эдвардом Виттеном , что было строго доказано математиками. В контексте топологической теории струн зеркальная симметрия утверждает, что две теории, называемые A-моделью и B-моделью, эквивалентны в том смысле, что существует двойственность, связывающая их. Сегодня зеркальная симметрия является активной областью математических исследований, и математики работают над разработкой более полного математического понимания зеркальной симметрии, основанного на интуиции физиков.

История

Идея зеркальной симметрии восходит к середине 1980-х годов, когда было замечено, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса $R$ физически эквивалентен струне, распространяющейся по окружности радиуса $1/R$ в соответствующих единицах . Это явление теперь известно как Т-двойственность и считается тесно связанным с зеркальной симметрией. В статье 1985 года Филип Канделас , Гэри Горовиц , Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен показали, что путем компактификации теории струн на многообразии Калаби-Яу можно получить теорию, примерно аналогичную стандартной модели физики элементарных частиц , которая также последовательно включает в себя идею называется суперсимметрией. После этого многие физики начали изучать компактификации Калаби – Яу, надеясь построить реалистичные модели физики элементарных частиц на основе теории струн. Кумрун Вафа и другие заметили, что с помощью такой физической модели невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби – Яу. Вместо этого есть два многообразия Калаби–Яу, которые порождают одну и ту же физику.

Изучая связь между многообразиями Калаби–Яу и некоторыми конформными теориями поля , называемыми моделями Гепнера, Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркальных отношений. Дополнительные доказательства этой взаимосвязи были получены в работах Филипа Канделаса, Моники Линкер и Рольфа Шиммригка, которые исследовали большое количество многообразий Калаби-Яу с помощью компьютера и обнаружили, что они представляют собой зеркальные пары.

Математики заинтересовались зеркальной симметрией примерно в 1990 году, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для решения задач перечислительной геометрии. которая сопротивлялась решению в течение десятилетий или более. Эти результаты были представлены математикам на конференции в Научно-исследовательском институте математических наук (MSRI) в Беркли, Калифорния, в мае 1991 года. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, вычисленных Канделасом для подсчета рациональных кривых, не согласовывалось с число, полученное норвежскими математиками Гейром Эллингсрудом и Штейном Арильдом Стрёмме с использованием якобы более строгих методов. Многие математики, участвовавшие в конференции, полагали, что работа Канделаса содержит ошибку, поскольку не основана на строгих математических аргументах. Однако, изучив свое решение, Эллингсруд и Стрёмме обнаружили ошибку в своем компьютерном коде и, исправив код, получили ответ, совпадающий с ответом, полученным Канделасом и его сотрудниками.

В 1990 году Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн. упрощенную версию теории струн, а физики показали, что существует версия зеркальной симметрии для топологической теории струн. Это утверждение о топологической теории струн обычно воспринимается в математической литературе как определение зеркальной симметрии. Выступая на Международном конгрессе математиков в 1994 году, математик Максим Концевич представил новую математическую гипотезу, основанную на физической идее зеркальной симметрии в топологической теории струн. Эта гипотеза, известная как гомологическая зеркальная симметрия , формализует зеркальную симметрию как эквивалентность двух математических структур: производной категории когерентных пучков на многообразии Калаби – Яу и категории Фукая его зеркала.

Также примерно в 1995 году Концевич проанализировал результаты Канделаса, которые дали общую формулу для задачи подсчета рациональных кривых на тройном многообразии пятой степени , и переформулировал эти результаты как точную математическую гипотезу. В 1996 году Александр Гивенталь опубликовал статью, в которой утверждал, что доказывает эту гипотезу Концевича. Поначалу многим математикам эта статья показалась трудной для понимания, поэтому возникли сомнения в ее правильности. Впоследствии Бонг Лянь, Кефэн Лю и Шин-Дун Яу опубликовали независимое доказательство в серии статей. Несмотря на разногласия по поводу того, кто опубликовал первое доказательство, теперь все эти статьи рассматриваются как математическое доказательство результатов, первоначально полученных физиками с использованием зеркальной симметрии. В 2000 году Кентаро Хори и Кумрун Вафа предоставили еще одно физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на Т-дуальности.

Работа над зеркальной симметрией продолжается и сегодня, и в ней происходят важные разработки в области струн на поверхностях с границами. Кроме того, зеркальная симметрия связана со многими активными областями математических исследований, такими как соответствие Маккея , топологическая квантовая теория поля и теория условий устойчивости . В то же время базовые вопросы продолжают беспокоить. Например, математикам до сих пор не хватает понимания того, как строить примеры зеркальных пар Калаби–Яу, хотя прогресс в понимании этого вопроса уже достигнут.

Приложения

Перечислительная геометрия

Основная статья: Перечислительная геометрия

Круги Аполлония : восемь цветных кругов касаются трех черных кругов.

Многие из важных математических приложений зеркальной симметрии относятся к разделу математики, называемому перечислительной геометрией. В перечислительной геометрии интересуют подсчеты количества решений геометрических вопросов, обычно с использованием методов алгебраической геометрии . Одна из самых ранних задач перечислительной геометрии была поставлена ​​около 200 г. до н.э. древнегреческим математиком Аполлонием , который спросил, сколько кругов на плоскости касается трех данных кругов. В общем, решение проблемы Аполлония состоит в том, что таких кругов восемь.

Кубик Клебша

Перечислительные задачи в математике часто касаются класса геометрических объектов, называемых алгебраическими многообразиями , которые определяются обращением в нуль многочленов . Например, кубика Клебша (см. иллюстрацию) определяется с помощью некоторого полинома третьей степени от четырех переменных. Знаменитый результат математиков девятнадцатого века Артура Кэли и Джорджа Салмона гласит, что на такой поверхности полностью лежат ровно 27 прямых линий.

Обобщая эту проблему, можно спросить, сколько прямых можно нарисовать на многообразии Калаби – Яу пятой степени, таком как проиллюстрированное выше, которое определяется полиномом пятой степени. Эту задачу решил немецкий математик XIX века Герман Шуберт , который обнаружил, что таких линий ровно 2875. В 1986 году геометр Шелдон Кац доказал, что количество кривых, таких как круги, которые определяются полиномами второй степени и полностью лежат в квинтике, составляет 609 250.

К 1991 году большинство классических задач перечислительной геометрии было решено, и интерес к перечислительной геометрии начал уменьшаться. По словам математика Марка Гросса : «Поскольку старые проблемы были решены, люди вернулись, чтобы проверить числа Шуберта с помощью современных методов, но это уже довольно устарело». Эта область получила новый импульс в мае 1991 года, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета количества кривых третьей степени на квинтике Калаби – Яу. Канделас и его сотрудники обнаружили, что эти шестимерные многообразия Калаби–Яу могут содержать ровно 317 206 375 кривых третьей степени.

Помимо подсчета кривых третьей степени на тройном многообразии квинтики, Канделас и его сотрудники получили ряд более общих результатов для подсчета рациональных кривых, которые значительно превосходили результаты, полученные математиками. Хотя методы, использованные в этой работе, были основаны на физической интуиции, математики сумели строго доказать некоторые предсказания зеркальной симметрии. В частности, теперь строго доказаны многочисленные предсказания зеркальной симметрии.

Теоретическая физика

Помимо применения в перечислительной геометрии, зеркальная симметрия является фундаментальным инструментом для вычислений в теории струн. В А-модели топологической теории струн физически интересные величины выражаются через бесконечное число чисел, называемых инвариантами Громова–Виттена , которые чрезвычайно сложно вычислить. В B-модели расчеты сводятся к классическим интегралам и значительно проще. Применяя зеркальную симметрию, теоретики могут перевести сложные вычисления A-модели в эквивалентные, но технически более простые вычисления B-модели. Эти расчеты затем используются для определения вероятностей различных физических процессов в теории струн. Зеркальную симметрию можно комбинировать с другими дуальностями, чтобы перевести расчеты одной теории в эквивалентные расчеты другой теории. Передавая таким образом расчеты различным теориям, теоретики могут рассчитывать величины, которые невозможно вычислить без использования дуальностей.

За пределами теории струн зеркальная симметрия используется для понимания аспектов квантовой теории поля — формализма, который физики используют для описания элементарных частиц . Например, калибровочные теории — это класс высокосимметричных физических теорий, появляющихся в стандартной модели физики элементарных частиц и других разделах теоретической физики. Некоторые калибровочные теории, которые не являются частью стандартной модели, но, тем не менее, важны по теоретическим причинам, возникают на основе струн, распространяющихся на почти сингулярном фоне. Для таких теорий зеркальная симметрия является полезным вычислительным инструментом. Действительно, зеркальную симметрию можно использовать для выполнения вычислений в важной калибровочной теории в четырех измерениях пространства-времени, которая изучалась Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном и также известна в математике в контексте инвариантов Дональдсона . Существует также обобщение зеркальной симметрии, называемое трехмерной зеркальной симметрией , которое связывает пары квантовых теорий поля в трех измерениях пространства-времени.

Подходы

Гомологическая зеркальная симметрия

Основная статья: Гомологическая зеркальная симметрия

Открытые струны, прикрепленные к паре D-бран.

В теории струн и связанных с ней теориях физики брана — это физический объект, который обобщает понятие точечной частицы на более высокие измерения. Например, точечную частицу можно рассматривать как брану нулевого измерения, а струну — как брану первого измерения. Также можно рассмотреть браны более высокой размерности. Слово брана происходит от слова «мембрана», которое относится к двумерной бране.

В теории струн струна может быть открытой (образуя сегмент с двумя концами) или замкнутой (образуя замкнутый контур). D-браны — важный класс бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется в пространстве-времени, ее конечные точки должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к условию, которому она удовлетворяет, — граничному условию Дирихле .

Математически браны можно описать с помощью понятия категории . Это математическая структура, состоящая из объектов , а для любой пары объектов — набора морфизмов между ними. В большинстве примеров объекты представляют собой математические структуры (такие как множества , векторные пространства или топологические пространства ), а морфизмы — это функции между этими структурами. Можно также рассмотреть категории, в которых объектами являются D-браны, и морфизмы между двумя бранами. $\alpha$ и $\beta$ представляют собой состояния открытых струн, натянутых между $\alpha$ и $\beta$.

В B-модели топологической теории струн D-браны представляют собой комплексные подмногообразия Калаби–Яу вместе с дополнительными данными, которые физически возникают из-за наличия зарядов на концах струн. Интуитивно можно представить подмногообразие как поверхность, заключенную внутри Калаби–Яу, хотя подмногообразия могут существовать и в измерениях, отличных от двух. На математическом языке категория, объектами которой являются эти браны, известна как производная категория когерентных пучков Калаби–Яу. В A-модели D-браны снова можно рассматривать как подмногообразия многообразия Калаби–Яу. Грубо говоря, это то, что математики называют специальными лагранжевыми подмногообразиями . Это означает, среди прочего, что они имеют половину размера пространства, в котором они сидят, и минимизируют длину, площадь или объем. Категория, объектами которой являются эти браны, называется категорией Фукая.

Производная категория когерентных пучков создается с использованием инструментов комплексной геометрии — раздела математики, который описывает геометрические кривые в алгебраических терминах и решает геометрические задачи с помощью алгебраических уравнений . С другой стороны, категория Фукая строится с использованием симплектической геометрии — раздела математики, возникшего в результате исследований классической физики . Симплектическая геометрия изучает пространства, оснащенные симплектической формой — математическим инструментом, который можно использовать для вычисления площади в двумерных примерах.

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича утверждает, что производная категория когерентных пучков на одном многообразии Калаби–Яу в определенном смысле эквивалентна категории Фукая его зеркала. Эта эквивалентность обеспечивает точную математическую формулировку зеркальной симметрии в топологической теории струн. Кроме того, он обеспечивает неожиданный мост между двумя ветвями геометрии, а именно сложной и симплектической геометрией.

Гипотеза Строминджера – Яу – Заслоу

Основная статья: гипотеза SYZ

Тор бесконечного числа кругов , можно рассматривать как объединение таких как красный на рисунке. Каждой точке розового круга соответствует один такой круг.

Другой подход к пониманию зеркальной симметрии был предложен Эндрю Строминджером, Шинг-Тунг Яу и Эриком Заслоу в 1996 году. Согласно их гипотезе, теперь известной как гипотеза SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив многообразие Калаби–Яу на более простые части и затем преобразовав их, чтобы получить зеркало Калаби–Яу.

Простейшим примером многообразия Калаби – Яу является двумерный тор или форма пончика. Рассмотрим круг на этой поверхности, который проходит через отверстие бублика. Примером может служить красный кружок на рисунке. Таких кругов на торе бесконечно много; фактически вся поверхность представляет собой объединение таких кругов.

Можно выбрать вспомогательный круг $B$ (розовый круг на рисунке) такой, что каждый из бесконечного числа кругов, разлагающих тор, проходит через точку $B$. Говорят, что эта вспомогательная окружность параметризует окружности разложения, то есть существует соответствие между ними и точками разложения. $B$. Круг $B$ Однако это больше, чем просто список, поскольку он также определяет, как эти окружности расположены на торе. Это вспомогательное пространство играет важную роль в гипотезе SYZ.

Идею разделения тора на части, параметризованные вспомогательным пространством, можно обобщить. Увеличивая размерность с двух до четырех реальных измерений, Калаби-Яу становится поверхностью К3 . Точно так же, как тор был разложен на окружности, четырехмерная поверхность К3 может быть разложена на двумерные торы. В этом случае пространство $B$ это обычная сфера . Каждая точка на сфере соответствует одному из двумерных торов, за исключением двадцати четырех «плохих» точек, соответствующих «защемленным» или сингулярным торам.

Многообразия Калаби – Яу, представляющие основной интерес в теории струн, имеют шесть измерений. Такое многообразие можно разделить на 3-торы (трехмерные объекты, обобщающие понятие тора), параметризованные 3-сферой. $B$ (трехмерное обобщение сферы). Каждая точка $B$ соответствует 3-тору, за исключением бесконечного числа «плохих» точек, которые образуют сетку из сегментов на Калаби – Яу и соответствуют сингулярным торам.

Как только многообразие Калаби – Яу разложено на более простые части, зеркальную симметрию можно понять интуитивно-геометрическим способом. В качестве примера рассмотрим описанный выше тор. Представьте себе, что этот тор представляет собой «пространство-время» физической теории . Фундаментальными объектами этой теории будут струны, распространяющиеся в пространстве-времени согласно правилам квантовой механики . Одной из основных дуальностей теории струн является Т-дуальность, которая утверждает, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса $R$ эквивалентно струне, распространяющейся по окружности радиуса $1/R$ в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойственном описании. Например, струна имеет импульс при движении по окружности, а также может оборачиваться по окружности один или несколько раз. Число оборотов струны по окружности называется числом витков . Если струна имеет импульс $p$ и номер обмотки $n$ в одном описании он будет иметь импульс $n$ и номер обмотки $p$ в двойственном описании. При одновременном применении Т-дуальности ко всем кругам, разлагающим тор, радиусы этих кругов инвертируются, и остается новый тор, который «толще» или «тоньше», чем исходный. Этот тор является зеркалом исходного Калаби–Яу.

Т-дуальность может быть распространена с окружностей на двумерные торы, возникающие при разложении поверхности К3, или на трехмерные торы, возникающие при разложении шестимерного многообразия Калаби–Яу. В общем, гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению Т-дуальности к этим торам. В каждом случае пространство $B$ предоставляет своего рода схему, описывающую, как эти торы собираются в многообразие Калаби – Яу.

См. также

• Теория Дональдсона-Томаса
• Пересечение стен

Ссылки

• Аспинуолл, Пол; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин Антон; Мур, Грегори; Сигал, Грэм; Сзендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Браны Дирихле и зеркальная симметрия . Монографии Клэя по математике . Том. 4. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3848-8 .
• Канделас, Филип; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Паркс, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби – Яу как точно разрешимая суперконформная теория поля». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Бибкод : 1991НуФБ.359...21С . дои : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 .
• Канделас, Филип; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика Б . 258 : 46–74. Бибкод : 1985НуФБ.258...46С . дои : 10.1016/0550-3213(85)90602-9 .
• Канделас, Филип; Линкер, Моника; Шимригк, Рольф (1990). «Многообразия Калаби – Яу в взвешенном $\mathbb {P} _{4}$". Ядерная физика Б. 341 ( 1): 383–402. Бибкод : 1990NuPhB.341..383C . doi : 10.1016/0550-3213(90)90185-G .
• Диксон, Лэнс (1988). «Некоторые свойства мирового листа суперструнных компактификаций на орбифолдах и т. д.». ICTP Сер. Теория. Физ . 4 : 67–126. ISBN  978-9971-5-0452-6 .
• Гивенталь, Александр (1996). «Эквивариантные инварианты Громова-Виттена» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1996 (13): 613–663. дои : 10.1155/S1073792896000414 . S2CID   554844 .
• Гивенталь, Александр (1998). «Зеркальная теорема для торических полных пересечений». Топологическая теория поля, примитивные формы и смежные темы : 141–175. arXiv : alg-geom/9701016 . Бибкод : 1998tftp.conf..141G . дои : 10.1007/978-1-4612-0705-4_5 . ISBN  978-1-4612-6874-1 . S2CID   2884104 .
• Грин, Брайан (2000). Элегантная Вселенная: суперструны, скрытые измерения и поиск окончательной теории . Случайный дом. ISBN  978-0-9650888-0-0 .
• Грин, Брайан; Плессер, Ронен (1990). «Двойственность в пространстве модулей Калаби – Яу». Ядерная физика Б . 338 (1): 15–37. Бибкод : 1990НуФБ.338...15Г . дои : 10.1016/0550-3213(90)90622-К .
• Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Камрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF) . Монографии Клэя по математике . Том. 1. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2955-6 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 сентября 2006 г.
• Хори, Кентаро; Вафа, Камран (2000). «Зеркальная симметрия». arXiv : hep-th/0002222 .
• Интрилигатор, Кеннет; Зайберг, Натан (1996). «Зеркальная симметрия в трехмерных калибровочных теориях». Буквы по физике Б. 387 (3): 513–519. arXiv : hep-th/9607207 . Бибкод : 1996PhLB..387..513I . дои : 10.1016/0370-2693(96)01088-X . S2CID   13985843 .
• Киккава, Кейджи; Ямасаки, Масами (1984). «Эффекты Казимира в теориях суперструн». Буквы по физике Б. 149 (4): 357–360. Бибкод : 1984PhLB..149..357K . дои : 10.1016/0370-2693(84)90423-4 .
• Концевич, Максим (1995a), «Перечисление рациональных кривых посредством действий тора», Пространство модулей кривых , Биркхойзер, с. 335, arXiv : hep-th/9405035 , doi : 10.1007/978-1-4612-4264-2_12 , ISBN  978-1-4612-8714-8 , S2CID   16131978
• Концевич, Максим (1995б). «Гомологическая алгебра зеркальной симметрии». Материалы Международного конгресса математиков . стр. 120–139. arXiv : alg-geom/9411018 . Бибкод : 1994alg.geom.11018K . дои : 10.1007/978-3-0348-9078-6_11 . ISBN  978-3-0348-9897-3 . S2CID   16733945 .
• Лерхе, Вольфганг; Вафа, Камрун; Уорнер, Николас (1989). «Хиральные кольца в ${\mathcal {N}}=2$ суперконформные теории» (PDF) . Nuclear Physics B. 324 ( 2): 427–474. Бибкод : 1989NuPhB.324..427L . doi : 10.1016/0550-3213(89)90474-4 . S2CID   120175708 .
• Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1997). «Зеркальный принцип, Я». Азиатский математический журнал . 1 (4): 729–763. arXiv : alg-geom/9712011 . Бибкод : 1997alg.geom.12011L . дои : 10.4310/ajm.1997.v1.n4.a5 . S2CID   8035522 .
• Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1999а). «Зеркальный принцип II». Азиатский математический журнал . 3 : 109–146. arXiv : математика/9905006 . Бибкод : 1999math......5006L . дои : 10.4310/ajm.1999.v3.n1.a6 . S2CID   17837291 .
• Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1999b). «Зеркальный принцип III». Азиатский математический журнал . 3 (4): 771–800. arXiv : математика/9912038 . Бибкод : 1999math.....12038L . дои : 10.4310/ajm.1999.v3.n4.a4 .
• Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (2000). «Зеркальный принцип IV». Обзоры по дифференциальной геометрии . 7 : 475–496. arXiv : math/0007104 . Бибкод : 2000math......7104L . дои : 10.4310/sdg.2002.v7.n1.a15 . S2CID   1099024 .
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Спрингер. ISBN  978-0-387-98403-2 .
• Мур, Грегори (2005). «Что такое... брана?» (PDF) . Уведомления АМС . 52 :214 . Проверено 6 августа 2016 г.
• Сакаи, Нориске; Сенда, Икуо (1986). «Вакуумные энергии струны, компактифицированной на торе» . Успехи теоретической физики . 75 (3): 692–705. Бибкод : 1986PThPh..75..692S . дои : 10.1143/PTP.75.692 .
• Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия — это Т-двойственность». Ядерная физика Б . 479 (1): 243–259. arXiv : hep-th/9606040 . Бибкод : 1996НуФБ.479..243С . дои : 10.1016/0550-3213(96)00434-8 . S2CID   14586676 .
• Вафа, Камрун (1992). «Топологические зеркала и квантовые кольца». Очерки зеркальных многообразий : 96–119. arXiv : hep-th/9111017 . Бибкод : 1991hep.th...11017V . ISBN  978-962-7670-01-8 .
• Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5 .
• Виттен, Эдвард (1990). «О структуре топологической фазы двумерной гравитации». Ядерная физика Б . 340 (2–3): 281–332. Бибкод : 1990NuPhB.340..281W . дои : 10.1016/0550-3213(90)90449-Н .
• Виттен, Эдвард (1992). «Зеркальные многообразия и топологическая теория поля». Очерки зеркальных многообразий : 121–160. ISBN  978-962-7670-01-8 .
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги. ISBN  978-0-465-02023-2 .
• Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-11880-2 .
• Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88032-9 .

Дальнейшее чтение

Популяризации

• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги. ISBN  978-0-465-02023-2 .
• Заслоу, Эрик (2005). «Физматика». arXiv : физика/0506153 .
• Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-11880-2 .

Учебники

• Аспинуолл, Пол; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин Антон; Мур, Грегори; Сигал, Грэм; Сзендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Браны Дирихле и зеркальная симметрия . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3848-8 .
• Кокс, Дэвид; Кац, Шелдон (1999). Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2127-5 .
• Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Камрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF) . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2955-6 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 сентября 2006 г.