Гипотеза СИЗ

Гипотеза SYZ — это попытка понять гипотезу зеркальной симметрии , проблему теоретической физики и математики. Оригинальная гипотеза была предложена в статье Строминджера , Яу и Заслоу , озаглавленной «Зеркальная симметрия — это Т -дуальность».

Наряду с гипотезой гомологической зеркальной симметрии , это один из наиболее изученных инструментов, применяемых для понимания зеркальной симметрии в математических терминах. Хотя гомологическая зеркальная симметрия основана на гомологической алгебре , гипотеза SYZ представляет собой геометрическую реализацию зеркальной симметрии.

Формулировка

В теории струн зеркальная симметрия связывает типа IIA и типа IIB теории . Он предсказывает, что эффективная теория поля типа IIA и типа IIB должна быть одинаковой, если обе теории компактифицированы на многообразиях пар зеркал.

Гипотеза SYZ использует этот факт для реализации зеркальной симметрии. Он начинается с рассмотрения BPS-состояний теорий типа IIA, компактифицированных на X , особенно 0-бран, имеющих пространство модулей X . Известно, что все BPS-состояния теорий типа IIB, компактифицированных на Y, являются 3-бранами . Следовательно, зеркальная симметрия отобразит 0-браны теорий типа IIA в подмножество 3-бран теорий типа IIB.

Путем рассмотрения условий суперсимметричности было показано, что эти 3-браны должны быть специальными лагранжевыми подмногообразиями . С другой стороны, Т-дуальность в этом случае выполняет то же преобразование, поэтому «зеркальная симметрия — это Т-дуальность».

Математическое утверждение

Первоначальное предложение гипотезы SYZ, сделанное Строминджером, Яу и Заслоу, не было представлено в виде точного математического утверждения. Одной из частей математического решения гипотезы SYZ является, в некотором смысле, правильная формулировка самой гипотезы. В математической литературе нет единой точной формулировки гипотезы, но есть общее утверждение, которое, как ожидается, будет близко к правильной формулировке гипотезы, представленной здесь. Это утверждение подчеркивает топологическую картину зеркальной симметрии, но не характеризует точно связь между комплексными и симплектическими структурами зеркальных пар и не ссылается на соответствующие римановы метрики .

Гипотеза SYZ: каждое 6-мерное многообразие Калаби – Яу. $X$ имеет зеркальное 6-мерное многообразие Калаби – Яу ${\hat {X}}$ такие, что существуют непрерывные сюръекции $f:X\to B$, ${\hat {f}}:{\hat {X}}\to B$ к компактному топологическому многообразию $B$ размерности 3, такой, что

1. Существует плотное открытое подмножество $B_{\text{reg}}\subset B$ на которых карты $f,{\hat {f}}$ являются расслоениями неособых специальных лагранжевых 3-торов . Кроме того, для каждой точки $b\in B_{\text{reg}}$, волокна тора $f^{-1}(b)$ и ${\hat {f}}^{-1}(b)$ должны быть в некотором смысле двойственны друг другу, аналогично двойственности абелевых многообразий .
2. Для каждого $b\in B\backslash B_{\text{reg}}$, волокна $f^{-1}(b)$ и ${\hat {f}}^{-1}(b)$ должны быть особыми трехмерными специальными лагранжевыми подмногообразиями $X$ и ${\hat {X}}$ соответственно.

Схема специального лагранжева расслоения тора. Волокна $f:X\to B$ больше очков в $B_{\text{reg}}$ являются 3-торами и над особым множеством $B\backslash B_{\text{reg}}$ слой может быть, возможно, сингулярным специальным лагранжевым подмногообразием $L$.

Ситуация, в которой $B_{\text{reg}}=B$ так что сингулярного локуса нет, называется полуплоским пределом гипотезы SYZ и часто используется в качестве модельной ситуации для описания расслоений тора. Можно показать, что гипотеза SYZ верна в некоторых простых случаях полуплоских пределов, например, заданных абелевыми многообразиями и поверхностями K3 , расслоенными эллиптическими кривыми .

Ожидается, что правильная формулировка гипотезы SYZ будет несколько отличаться от приведенного выше утверждения. Например, возможное поведение сингулярного множества $B\backslash B_{\text{reg}}$ не совсем понятен, и этот набор может быть довольно большим по сравнению с $B$. Зеркальную симметрию также часто формулируют в терминах вырождающихся семейств многообразий Калаби–Яу, а не одного единственного Калаби–Яу, и можно было бы ожидать, что гипотеза SYZ будет переформулирована более точно на этом языке.

зеркальной

Гипотеза зеркальной симметрии SYZ является одним из возможных уточнений исходной гипотезы зеркальной симметрии, связывающей числа Ходжа зеркальных многообразий Калаби – Яу. Другая — Концевича гипотеза гомологической зеркальной симметрии (гипотеза ГМС). Эти две гипотезы по-разному кодируют предсказания зеркальной симметрии: гомологическая зеркальная симметрия алгебраическим способом и гипотеза SYZ геометрическим способом .

Между этими тремя интерпретациями зеркальной симметрии должна существовать связь, но пока неизвестно, должны ли они быть эквивалентными или одно предложение сильнее другого. Был достигнут прогресс в демонстрации при определенных предположениях того, что гомологическая зеркальная симметрия подразумевает теоретическую зеркальную симметрию Ходжа.

Тем не менее, в простых условиях существуют четкие способы связать гипотезы SYZ и HMS. Ключевой особенностью HMS является то, что гипотеза связывает объекты (либо подмногообразия, либо пучки) в зеркальных геометрических пространствах, поэтому необходимые входные данные, чтобы попытаться понять или доказать гипотезу HMS, включают зеркальную пару геометрических пространств. Гипотеза SYZ предсказывает, как должны возникать эти пары зеркал, и поэтому всякий раз, когда обнаруживается пара зеркал SYZ, это хороший кандидат, чтобы попытаться доказать гипотезу HMS на этой паре.

Чтобы связать гипотезы SYZ и HMS, удобно работать в полуплоском пределе. Важная геометрическая особенность пары лагранжевых расслоений тора. $X,{\hat {X}}\to B$ который кодирует зеркальную симметрию, - это двойственные слои тора расслоения. Учитывая лагранжев тор $T\subset X$двойственный тор задается многообразия якобианом $T$, обозначенный ${\hat {T}}=\mathrm {Jac} (T)$. Это снова тор того же измерения, и двойственность закодирована в том, что $\mathrm {Jac} (\mathrm {Jac} (T))=T$ так $T$ и ${\hat {T}}$ действительно двойственны в рамках этой конструкции. Якобианская разновидность ${\hat {T}}$ имеет важную интерпретацию как пространство модулей линейных расслоений на $T$.

Эта двойственность и интерпретация двойственного тора как пространства модулей пучков на исходном торе позволяют обмениваться данными подмногообразий и подпучков. Есть два простых примера этого явления:

• Если $p\in X$ это точка, лежащая внутри некоторого волокна $p\in T\subset X$ специального лагранжева расслоения тора, то поскольку $T=\mathrm {Jac} ({\hat {T}})$, точка $p$ соответствует линейному пакету, поддерживаемому на ${\hat {T}}\subset {\hat {X}}$. Если выбрать лагранжево сечение $s:B\to X$ такой, что $s(B)=L$ является лагранжевым подмногообразием $X$, то именно поскольку $s$ выбирает одну точку в каждом слое тора расслоения SYZ, это лагранжево сечение зеркально двойственно выбору структуры линейного расслоения, поддерживаемой на каждом слое тора зеркального многообразия ${\hat {X}}$, и, следовательно, линейное расслоение на всем пространстве ${\hat {X}}$, простейший пример когерентного пучка, появляющегося в производной категории зеркального многообразия. Если расслоения зеркального тора не находятся в полуплоском пределе, то при пересечении сингулярного множества базы необходимо соблюдать особую осторожность. $B$.

• Другим примером лагранжева подмногообразия является сам слой тора, и можно видеть, что если весь тор взять в качестве лагранжиана $T\subset X$, с добавлением над ним данных плоского унитарного линейного расслоения , как это часто необходимо в гомологической зеркальной симметрии, то в двойственном торе ${\hat {T}}\subset {\hat {X}}$ это соответствует единственной точке, которая представляет это расслоение линий над тором. Если взять пучок небоскребов, поддерживаемый в этой точке двойного тора, то мы увидим, что волокна тора расслоения SYZ передаются в пучки небоскребов, опирающиеся на точки зеркального волокна тора .

Эти два примера дают наиболее крайние виды когерентных пучков , локально свободных пучков (ранга 1) и крученых пучков, опирающихся на точки. При более тщательном построении можно построить более сложные примеры когерентных пучков, аналогично построению когерентного пучка с использованием торсионной фильтрации . В качестве простого примера: лагранжево многосечение (объединение k лагранжевых сечений) должно быть зеркально двойственным векторному расслоению ранга k на зеркальном многообразии, но необходимо позаботиться об учете инстантонных поправок путем подсчета голоморфных дисков , ограниченных многосекционность, в смысле теории Громова-Виттена . Таким образом, перечислительная геометрия становится важной для понимания того, как зеркальная симметрия меняет местами двойные объекты.

Объединив геометрию зеркальных расслоений в гипотезе SYZ с детальным пониманием перечислительных инвариантов и структуры сингулярного множества базы $B$, можно использовать геометрию расслоения для построения изоморфизма категорий из лагранжевых подмногообразий $X$ связным пучкам ${\hat {X}}$, карта $\mathrm {Fuk} (X)\to \mathrm {D} ^{b}\mathrm {Coh} ({\hat {X}})$. Повторяя то же самое обсуждение в обратном порядке, используя двойственность расслоений тора, можно аналогичным образом понять когерентные пучки на $X$ в терминах лагранжевых подмногообразий ${\hat {X}}$и надеемся получить полное представление о том, как гипотеза HMS связана с гипотезой SYZ.