Функционал Хитчина

Функционал Хитчина — математическое понятие, имеющее приложения в теории струн , которое было введено британским математиком Найджелом Хитчиным . Хитчин (2000) и Хитчин (2001) являются оригинальными статьями функционала Хитчина.

Как и введение Хитчином обобщенных комплексных многообразий , это пример математического инструмента, который оказался полезным в математической физике .

Формальное определение

Это определение 6-многообразия. Определение в статье Хитчина более общее, но и более абстрактное.

Позволять $M$ — компактное ориентированное 6 - многообразие с тривиальным каноническим расслоением . Тогда функционал Хитчина — это функционал на 3-формах, определяемый формулой:

$\Phi (\Omega )=\int _{M}\Omega \wedge *\Omega ,$

где $\Omega$ является 3-формой и * обозначает оператор звезды Ходжа .

Характеристики

• Функционал Хитчина для шестимногообразия аналогичен функционалу Янга-Миллса для четырехмногообразий.
• Функционал Хитчина явно инвариантен относительно действия группы , сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов .
• Теорема. Предположим, что $M$ представляет собой трехмерное комплексное многообразие и $\Omega$ является вещественной частью неисчезающей голоморфной 3-формы, то $\Omega$ является критической точкой функционала $\Phi$ ограничен классом когомологий $[\Omega ]\in H^{3}(M,R)$. И наоборот, если $\Omega$ является критической точкой функционала $\Phi$ в данном классе комогологии и $\Omega \wedge *\Omega <0$, затем $\Omega$ определяет структуру комплексного многообразия, такого что $\Omega$ является вещественной частью неисчезающей голоморфной 3-формы на $M$.

Доказательство теоремы в статьях Хитчина Hitchin ( 2000 ) и Hitchin ( 2001 ) относительно простое. Сила этой концепции в обратном утверждении: если точная форма $\Phi (\Omega )$ известно, нам нужно только посмотреть на его критические точки, чтобы найти возможные сложные структуры.

Стабильные формы

Функционалы действия часто определяют геометрическую структуру. на $M$ и геометрическая структура часто характеризуются существованием особых дифференциальных форм на $M$ подчиняющиеся некоторым интегрируемым условиям.

Если 2- форма $\omega$ можно записать с локальными координатами

$\omega =dp_{1}\wedge dq_{1}+\cdots +dp_{m}\wedge dq_{m}$

и

$d\omega =0$,

затем $\omega$ определяет симплектическую структуру .

p форма - $\omega \in \Omega ^{p}(M,\mathbb {R} )$ стабилен , если он лежит на открытой орбите локального $GL(n,\mathbb {R} )$ действие, где n=dim(M), а именно, если любое малое возмущение $\omega \mapsto \omega +\delta \omega$ может быть отменено локальным пользователем $GL(n,\mathbb {R} )$ действие. Таким образом, любая 1 -форма, которая не исчезает повсюду, стабильна; Устойчивость 2- формы (или p -формы, если p четно) эквивалентна невырожденности.

А как насчет р = 3? Для больших n 3 -форма затруднена, поскольку размерность $\wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{n})$, имеет порядок $n^{3}$, растет быстрее, чем размерность $GL(n,\mathbb {R} )$ который $n^{2}$. Но есть очень счастливые исключительные случаи, а именно: $n=6$, когда темно $\wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{6})=20$, тусклый $GL(6,\mathbb {R} )=36$. Позволять $\rho$ быть устойчивой вещественной 3 -формой в размерности 6 . Тогда стабилизатор $\rho$ под $GL(6,\mathbb {R} )$ имеет реальную размерность 36-20=16 , фактически либо $SL(3,\mathbb {R} )\times SL(3,\mathbb {R} )$ или $SL(3,\mathbb {C} )$.

Сосредоточьтесь на случае $SL(3,\mathbb {C} )$ и если $\rho$ есть стабилизатор $SL(3,\mathbb {C} )$ то его можно записать с локальными координатами следующим образом:

$\rho ={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}+{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})$

где $\zeta _{1}=e_{1}+ie_{2},\zeta _{2}=e_{3}+ie_{4},\zeta _{3}=e_{5}+ie_{6}$ и $e_{i}$ являются базами $T^{*}M$. Затем $\zeta _{i}$ определяет почти сложную структуру на $M$. Более того, если существуют локальные координаты $(z_{1},z_{2},z_{3})$ такой, что $\zeta _{i}=dz_{i}$ то он, к счастью, определяет сложную структуру на $M$.

Учитывая стабильную $\rho \in \Omega ^{3}(M,\mathbb {R} )$:

$\rho ={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}+{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})$.

Мы можем определить еще одну вещественную тройку - из

${\tilde {\rho }}(\rho )={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}-{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})$.

А потом $\Omega =\rho +i{\tilde {\rho }}(\rho )$ является голоморфной 3 -формой почти комплексной структуры, определяемой формулой $\rho$. Более того, она становится сложной структурой, только если $d\Omega =0$ т.е. $d\rho =0$и $d{\tilde {\rho }}(\rho )=0$. Этот $\Omega$ это всего лишь 3 -форма $\Omega$ в формальном определении функционала Хитчина . Эти идеи порождают обобщенную сложную структуру .

Использование в теории струн

Функционалы Хитчина возникают во многих областях теории струн. Примером могут служить компактификации 10-мерной струны с последующей ориентифолдной проекцией. $\kappa$ используя инволюцию $\nu$. В этом случае, $M$ — внутреннее 6-мерное (действительное) пространство Калаби-Яу . Связь с комплексифицированными кэлеровыми координатами $\tau$ дается

$g_{ij}=\tau {\text{im}}\int \tau i^{*}(\nu \cdot \kappa \tau ).$

Потенциальная функция – это функционал $V[J]=\int J\wedge J\wedge J$, где J — почти сложная структура . Оба являются функционалами Хитчина. Гримм и Луи (2005)

В приложении к теории струн знаменитая гипотеза OSV Оогури, Строминджер и Вафа (2004) использовали функционал Хитчина , чтобы связать топологическую струну с энтропией четырехмерной черной дыры. Используя аналогичную технику в $G_{2}$ голономия Дейкграаф и др. (2005) рассуждали о топологической М-теории и в $Spin(7)$ Можно утверждать, что голономная топологическая F-теория.

Совсем недавно Э. Виттен заявил о загадочной суперконформной теории поля в шести измерениях, названной 6D (2,0) суперконформной теорией поля Виттен (2007) . Функционал Хитчина дает одно из его оснований.

Ссылки

• Хитчин, Найджел (2000). «Геометрия трёх форм в шести и семи измерениях». arXiv : math/0010054 .
• Хитчин, Найджел (2001). «Устойчивые формы и специальная метрика». arXiv : math/0107101 .
• Гримм, Томас; Луи, Ян (2005). «Эффективное действие ориентифолдов Калаби-Яу типа IIA». Ядерная физика Б . 718 (1–2): 153–202. arXiv : hep-th/0412277 . Бибкод : 2005НуФБ.718..153Г . CiteSeerX   10.1.1.268.839 . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2005.04.007 . S2CID   119502508 .
• Дейкграаф, Робберт ; Гуков, Сергей; Нейцке, Эндрю; Вафа, Камрун (2005). «Топологическая М-теория как объединение форм теорий гравитации». Адв. Теор. Математика. Физ . 9 (4): 603–665. arXiv : hep-th/0411073 . Бибкод : 2004hep.th...11073D . дои : 10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5 . S2CID   1204839 .
• Оогури, Хироши; Строминджер, Эндрю; Вафа, Джумран (2004). «Аттракторы черных дыр и топологическая струна». Физический обзор D . 70 (10): 6007. arXiv : hep-th/0405146 . Бибкод : 2004PhRvD..70j6007O . дои : 10.1103/PhysRevD.70.106007 . S2CID   6289773 .
• Виттен, Эдвард (2007). «Конформная теория поля в четырех и шести измерениях». arXiv : 0712.0157 [ math.RT ].