Ложь биальгеброида

Биалгеброид Ли — это математическая структура в области неримановой дифференциальной геометрии. Короче говоря, биалгеброид Ли состоит из двух совместимых алгеброидов Ли, определенных на двойственных векторных расслоениях. Они образуют версию векторного расслоения биалгебры Ли .

Определение

Предварительные сведения

Напомним, что алгеброид Ли определяется как кососимметричная операция [.,.] на сечениях Γ( A ) векторного расслоения A→M над гладким многообразием M вместе с морфизмом векторного расслоения ρ: A→TM, подчиненным правило Лейбница

$[\phi ,f\cdot \psi ]=\rho (\phi )[f]\cdot \psi +f\cdot [\phi ,\psi ],$

и личность Якоби

$[\phi ,[\psi _{1},\psi _{2}]]=[[\phi ,\psi _{1}],\psi _{2}]+[\psi _{1},[\phi ,\psi _{2}]]$

где Φ , ψk _, сечения A а f — гладкая функция на M. —

Скобка Ли [.,.] _A может быть расширена до многовекторных полей Γ(⋀ A ), градуированных симметрично по правилу Лейбница

$[\Phi \wedge \Psi ,\mathrm {X} ]_{A}=\Phi \wedge [\Psi ,\mathrm {X} ]_{A}+(-1)^{|\Psi |(|\mathrm {X} |-1)}[\Phi ,\mathrm {X} ]_{A}\wedge \Psi$

для однородных многовекторных полей Φ , Ψ , Χ .

Дифференциал алгеброида Ли — это R -линейный оператор d _A на A -формах Ω _A ( M ) = Γ(⋀ A ^* ) степени 1 при условии соблюдения правила Лейбница

$d_{A}(\alpha \wedge \beta )=(d_{A}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{|\alpha |}\alpha \wedge d_{A}\beta$

для A -форм α и β . Он отличается уникальными условиями

$(d_{A}f)(\phi )=\rho (\phi )[f]$

и

$(d_{A}\alpha )[\phi ,\psi ]=\rho (\phi )[\alpha (\psi )]-\rho (\psi )[\alpha (\phi )]-\alpha [\phi ,\psi ]$

для функций f на M , A -1-формы αεΓ( A ^* ) и Φ , ψ сечения A .

Определение

Биалгеброид Ли — это два алгеброида Ли ( A ,ρ _A ,[.,.] _A ) и ( A ^* ,ρ _* ,[.,.] _* ) на двойственных векторных расслоениях A→M и A ^* → M при условии совместимости

$d_{*}[\phi ,\psi ]_{A}=[d_{*}\phi ,\psi ]_{A}+[\phi ,d_{*}\psi ]_{A}$

всех сечений Φ , ψ кольца A. для Здесь d _* обозначает алгеброидный дифференциал Ли A ^* которое также действует на мультивекторных полях Γ(∧ A ).

Симметрия определения

Можно показать, что определение симметрично относительно A и A. ^* , то есть ( A , A ^* ) является биалгеброидом Ли тогда и только тогда, когда ( A ^* , А ) есть.

Примеры

1. Биалгеброй Ли являются две алгебры Ли ( g ,[.,.] _g ) и ( g ^* ,[.,.] _* ) на двойственных векторных пространствах g и g ^* такой, что дифференциал Шевалле–Эйленберга δ _* является производным g -скобки.

2. Многообразие Пуассона ( M ,π) естественным образом порождает биалгеброид Ли на TM (со скобкой коммутатора касательных векторных полей) и T ^* M со скобкой Ли, индуцированной структурой Пуассона. Т ​ ^* М -дифференциал равен d _* = [π, .] и совместимость следует тогда из тождества Якоби скобки Схоутена.

Бесконечно малая версия группоида Пуассона

Хорошо известно, что бесконечно малая версия группоида Ли является алгеброидом Ли. (В частном случае инфинитезимальная версия группы Ли является алгеброй Ли.) Поэтому можно задаться вопросом, какие структуры необходимо дифференцировать, чтобы получить биалгеброид Ли.

Определение группоида Пуассона

Группоид Пуассона — это группоид Лия ( G ⇉ M ) вместе со структурой Пуассона π на G такой, что граф умножения m ⊂ G × G ×( G ,− π ) коизотропен . Примером группоида Пуассона Ли является группа Пуассона Ли (где M =pt, просто точка). Другой пример — симплектический группоид (где пуассоновская структура невырождена на TG ).

Дифференциация структуры

Вспомните построение алгеброида Ли из группоида Ли. Мы берем t-касательные слои (или, что то же самое, s-касательные слои) и рассматриваем их векторное расслоение, стянутое обратно к базовому многообразию M . Сечение этого векторного расслоения можно отождествить с G -инвариантным t-векторным полем на G , которое образует алгебру Ли относительно коммутаторной скобки на TG .

Таким образом, мы берем алгеброид Ли A→M пуассоновского группоида. Можно показать, что пуассоновская структура индуцирует на A послойно линейную пуассоновскую структуру . Аналогично конструкции кокасательного алгеброида Ли пуассоновского многообразия существует структура алгеброида Ли на A ^* индуцированный этой структурой Пуассона. Аналогично случаю многообразия Пуассона можно показать, что A и A ^* образуют биальгеброид Лия.

Двойник биальгеброида Ли и сверхязык биальгеброидов Ли

Для биалгебр Ли ( g , g ^* ) существует понятие троек Манина, т.е. c= g + g ^* можно наделить структурой алгебры Ли такой, что g и g ^* являются подалгебрами и c содержит представление g на g ^* , наоборот. Структура суммы просто

$[X+\alpha ,Y+\beta ]=[X,Y]_{g}+\mathrm {ad} _{\alpha }Y-\mathrm {ad} _{\beta }X+[\alpha ,\beta ]_{*}+\mathrm {ad} _{X}^{*}\beta -\mathrm {ad} _{Y}^{*}\alpha$.

Курантовые алгеброиды

Оказывается, что наивное обобщение на алгеброиды Ли уже не дает алгеброида Ли. Вместо этого необходимо либо изменить тождество Якоби, либо нарушить кососимметрию, что приведет к алгеброидам Куранта .

Суперязык

Подходящим сверхязыком алгеброида Ли A является ΠA , супермногообразие, пространством (супер)функций которого являются A -формы. В этом пространстве алгеброид Ли может быть закодирован через его дифференциал алгеброида Ли, который представляет собой просто нечетное векторное поле.

На первый взгляд, сверхреализация биалгеброида Ли ( A , A ^* ) должно быть ΠA + ΠA ^* . Но, к сожалению, d _A +d _* | ПА + ПА ^* не является дифференциалом, в основном потому, что A + A ^* не является алгеброидом Ли. Вместо этого используйте большее N-градуированное многообразие T ^* [2]А[1] = Т ^* [2]А ^* [1], к которому мы можем поднять d _A и d _* как нечетные гамильтоновы векторные поля, тогда их сумма квадратов равна 0 тогда и только тогда, когда ( A , A ^* ) представляет собой биальгеброид Лия.

Ссылки

• К. Альберт и П. Дазор: Теория симплектических группоидов: Глава II, Симплектические группоиды. (в публикациях факультета математики университета Клода Бернара, Лион I, новая серия, стр. 27–99, 1990 г.)
• Ю. Косманн-Шварцбах: Биалгеброид Ли многообразия Пуассона – Нийенхейса. (Let. Math. Phys., 38:421–428, 1996)
• К. Маккензи, П. Сюй: Интеграция биалгеброидов Ли (1997),
• К. Маккензи, П. Сюй: биалгеброиды Ли и группоиды Пуассона (Duke J. Math, 1994)
• А. Вайнштейн: Симплектические группоиды и пуассоновские многообразия (AMS Bull, 1987),