Индекс Дынкина

В математике индекс Дынкина $I({\lambda })$ конечномерных старшим весом компактной представлений со простой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ связывает их следовые формы через

${\frac {{\text{Tr}}_{V_{\lambda }}}{{\text{Tr}}_{V_{\mu }}}}={\frac {I(\lambda )}{I(\mu )}}.$

В частном случае, когда $\lambda$ является высшим корнем , так что $V_{\lambda }$ — присоединенное представление , индекс Дынкина $I(\lambda )$ равно двойственному числу Кокстера .

Обозначения ${\text{Tr}}_{V}$ — форма следа на представлении $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)$ . По лемме Шура , поскольку все формы следа являются инвариантными формами, они связаны константами, поэтому индекс четко определен.

Поскольку формы следов являются билинейными формами , мы можем взять следы, чтобы получить ^{[ нужна ссылка ]}

I(\lambda )={\frac {\dim V_{\lambda }}{2\dim {\mathfrak {g}}}}(\lambda ,\lambda +2\rho )

где вектор Вейля

\rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha

равна половине суммы всех корней положительных ${\mathfrak {g}}$ . Выражение $(\lambda ,\lambda +2\rho )$ — значение квадратичного Казимира в представлении $V_{\lambda }$ .

См. также

Убийственная форма

Ссылки

Филипп Ди Франческо, Пьер Матье, Дэвид Сенешаль, Конформная теория поля , 1997 Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94785-X