Элемент Кокстера

Не путать с самым длинным элементом группы Кокстера .

В математике элемент Кокстера — это элемент неприводимой группы Кокстера , который является продуктом всех простых отражений. Произведение зависит от порядка, в котором они взяты, но при разном порядке образуются сопряженные элементы, имеющие один и тот же порядок . Этот порядок известен как число Кокстера . Они названы в честь британско-канадского геометра Х. С. М. Коксетера , который представил группы в 1934 году как абстракции групп отражения .

Определения

Обратите внимание, что в этой статье предполагается конечная группа Кокстера . Для бесконечных групп Кокстера существует несколько классов сопряженности элементов Кокстера, и они имеют бесконечный порядок.

Существует много разных способов определить число Кокстера h неприводимой корневой системы.

• Число Кокстера — это порядок любого элемента Кокстера; .
• Число Кокстера — ⁠ ${\tfrac {2m}{n}},$⁠ где n — ранг, а m — количество отражений. В кристаллографическом случае m — половина числа корней ; и 2 m + n — размерность соответствующей полупростой алгебры Ли .
• Если наибольший корень $\sum m_{i}\alpha _{i}$ для простых корней α _i число Кокстера равно $1+\sum m_{i}.$
• Число Кокстера — это высшая степень фундаментального инварианта группы Кокстера, действующего на многочлены.

Число Коксетера для каждого типа Дынкина указано в следующей таблице:

Группа Коксетера		Коксетер диаграмма	Дынкин диаграмма	Размышления $m={\tfrac {nh}{2}}$	Номер Кокстера час	Двойной номер Кокстера	Степени фундаментальных инвариантов
н ​	[3,3...,3]	...	...	${\frac {n(n+1)}{2}}$	п + 1	п + 1	2, 3, 4, ..., п + 1
Б н	[4,3...,3]	...	...	н 2	22н	2n − 1	2, 4, 6, ..., 2 н
С н			...			п + 1
Д н	[3,3,...3 1,1 ]	...	...	п ( п - 1)	2n 2 −	2n 2 −	п ; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
EЕ6	[3 2,2,1 ]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
EЕ8	[3 4,2,1 ]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
FF4	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
Г 2	[6]			6	6	4	2, 6
HH3	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
Ч 4	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
я 2 ( п )	[ п ]		-	п	п		2, с

Инварианты группы Кокстера, действующие на многочлены, образуют полиномиальную алгебру чьи генераторы являются фундаментальными инвариантами; их степени указаны в таблице выше. Обратите внимание: если m — степень фундаментального инварианта, то такой же является и h + 2 − m .

Собственные значения элемента Кокстера — это числа $e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}$ поскольку m проходит через степени фундаментальных инвариантов. Поскольку это начинается с m = 2 , они включают примитивный корень h- й степени из единицы , $\zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},$ что важно для плоскости Кокстера (см. ниже).

Двойственное число Кокстера равно 1 плюс сумма коэффициентов простых корней в самом высоком коротком корне двойственной системы корней .

Групповой заказ

существуют отношения Между порядком g группы Кокстера и числом Кокстера h : $${\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{aligned}}$$

Например, [3,3,5] имеет h = 30 : $${\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}$$

Элементы Кокстера

Отдельные элементы Кокстера соответствуют ориентациям диаграммы Кокстера (т.е. колчанам Дынкина ): простые отражения, соответствующие исходным вершинам, записываются первыми, последующие вершины - позже, а стоки - последними. (Выбор порядка несмежных вершин не имеет значения, поскольку они соответствуют коммутирующим отражениям.) Особым выбором является попеременная ориентация, при которой простые отражения разбиваются на два набора несмежных вершин, а все ребра ориентированы из первого во второй сет. Переменная ориентация создает специальный элемент Кокстера w, удовлетворяющий $w^{h/2}=w_{0},$ где w ₀ — самый длинный элемент при условии, что число Кокстера h четно.

Для $A_{n-1}\cong S_{n},$ симметрическая группа на n элементах, элементы Кокстера — это определенные n -циклы: продукт простых размышлений $(1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)$ это элемент Кокстера $(1,2,3,\dots ,n)$. Для четного n элемент Кокстера с переменной ориентацией: $$(1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).$$ Есть $2^{n-2}$ отдельные элементы Кокстера среди $(n{-}1)!$ n -циклов.

Группа диэдра Dih _p порождается двумя отражениями, образующими угол ${\tfrac {2\pi }{2p}},$ и, таким образом, два элемента Кокстера являются их произведением в любом порядке, что представляет собой вращение на $\pm {\tfrac {2\pi }{p}}.$

Самолет Коксетера

Проекция корневой системы E ₈ на плоскость Кокстера, демонстрирующая 30-кратную симметрию.

Для данного элемента Кокстера w существует единственная плоскость P , на которой w действует поворотом на ⁠. ${\tfrac {2\pi }{h}}.$⁠ Это называется плоскостью Кокстера . и является плоскостью, на которой P имеет собственные значения $e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}$ и $e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.$ Этот самолет был впервые систематически изучен в ( Coxeter 1948 ), и впоследствии использовался в ( Steinberg 1959 ) для обеспечения единообразных доказательств свойств элементов Кокстера.

Плоскость Кокстера часто используется для рисования диаграмм многогранников и корневых систем более высокой размерности - вершины и ребра многогранника или корни (и некоторые соединяющие их ребра) ортогонально проецируются на плоскость Коксетера, образуя многоугольник Петри с h - складчатая вращательная симметрия. Для корневых систем ни один корень не отображается в ноль, что соответствует элементу Кокстера, не фиксирующему ни один корень или, скорее, ось (не имеющую собственного значения 1 или -1), поэтому проекции орбит под w образуют h -кратные круговые расположения. и есть пустой центр, как на диаграмме E ₈ справа вверху. Для многогранников вершина может отображаться в ноль, как показано ниже. Проекции на плоскость Кокстера изображены ниже для платоновых тел .

В трех измерениях симметрия многогранника правильного { p , q } направленным многоугольником Петри, определяемым как композиция из 3 отражений, имеет ротоинверсии симметрию Sh _{с одним отмеченным} , [2 ⁺ , ч ⁺ ] , заказ ч . Добавив зеркало, симметрию можно удвоить до антипризматической симметрии, D _{h d} , [2 ⁺ , ч ] , заказ 2 ч . В ортогональной двумерной проекции это становится двугранной симметрией , Dih _h , [ h ] , порядка 2 h .

Группа Коксетера	AА3 Т д	BБ3 Ой ​		HH3 I h
Обычный многогранник	Тетраэдр {3,3}	Куб {4,3}	Октаэдр {3,4}	Додекаэдр {5,3}	Икосаэдр {3,5}
Симметрия	С 4 , [2 + ,4 + ], (2×) Д 2д , [2 + ,4], (2*2)	С 6 , [2 + ,6 + ], (3×) Д 3д , [2 + ,6], (2*3)		С 10 , [2 + ,10 + ], (5×) Д 5д , [2 + ,10], (2*5)
Самолет Коксетера симметрия	Дих 4 , [4], (*4•)	Дих 6 , [6], (*6•)		Дих 10 , [10], (*10•)
Многоугольники Петри Платоновых тел, демонстрирующие 4-кратную, 6-кратную и 10-кратную симметрию.

В четырех измерениях симметрия полихорона правильного { p , q , r } с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представляет собой двойное вращение , определенное как совокупность 4 отражений, с симметрией + ¹ / _час [Ч _× Ч _ч ] ( Джон Х. Конвей ), (C _2h / C ₁ ; C _2h / C ₁ ) (# 1 ', Патрик дю Валь (1964) ), порядок ч .

Группа Коксетера	A 4	Б 4		FF4	Ч 4
Обычный полихорон	5-клеточный {3,3,3}	16-ячеечный {3,3,4}	Тессеракт {4,3,3}	24-ячеечный {3,4,3}	120-ячеечный {5,3,3}	600-ячеечный {3,3,5}
Симметрия	+ 1 / 5 [C 5 ×C 5 ]	+ 1 / 8 [C 8 ×C 8 ]		+ 1 / 12 [C 12 ×C 12 ]	+ 1 / 30 [C 30 ×C 30 ]
Самолет Коксетера симметрия	Дих 5 , [5], (*5•)	Дих 8 , [8], (*8•)		Дих 12 , [12], (*12•)	Дих 30 , [30], (*30•)
Многоугольники Петри обычных четырехмерных тел, демонстрирующие 5-кратную, 8-кратную, 12-кратную и 30-кратную симметрию.

В пяти измерениях симметрия правильного 5-многогранника { p , q , r , s } с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представлена ​​совокупностью 5 отражений.

Группа Коксетера	AА5	Б 5		Д 5
Обычный политерон	5-симплекс {3,3,3,3}	5-ортоплекс {3,3,3,4}	5-куб {4,3,3,3}	5-демикуб ч{4,3,3,3}
Самолет Коксетера симметрия	Дих 6 , [6], (*6•)	Дих 10 , [10], (*10•)		Дих 8 , [8], (*8•)

В измерениях с 6 по 8 есть 3 исключительные группы Кокстера; однородный многогранник каждого измерения представляет корни исключительных групп Ли En _один . Элементы Кокстера равны 12, 18 и 30 соответственно.

В _{группах}

Группа Коксетера	EЕ6	E 7	EЕ8
График	1 22	2 31	4 21
Самолет Коксетера симметрия	Дих 12 , [12], (*12•)	Дих 18 , [18], (*18•)	Дих 30 , [30], (*30•)

См. также

• Самый длинный элемент группы Кокстера

Ссылки

• Коксетер, HSM (1948), Правильные многогранники , Methuen and Co.
• Стейнберг, Р. (июнь 1959 г.), «Группы конечного отражения», Труды Американского математического общества , 91 (3): 493–504, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0106428-2 , ISSN   0002-9947 , ДЖСТОР   1993261
• Хиллер, Говард Геометрия групп Кокстера. Исследовательские заметки по математике, 54. Питман (Программа расширенных публикаций), Бостон, Массачусетс – Лондон, 1982. iv+213 стр. ISBN   0-273-08517-4
• Хамфрис, Джеймс Э. (1992), Группы отражения и группы Кокстера , Cambridge University Press , стр. 74–76 (раздел 3.16, Элементы Коксетера ), ISBN  978-0-521-43613-7
• Стембридж, Джон (9 апреля 2007 г.), Coxeter Planes , заархивировано из оригинала 10 февраля 2018 г. , получено 21 апреля 2010 г.
• Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и соответствии Маккея , Монографии Спрингера по математике, arXiv : math/0510216 , doi : 10.1007/978-3-540-77399-3 , ISBN  978-3-540-77398-6 , S2CID   117958873
• Ридинг, Натан (2010), «Непересекающиеся разбиения, кластеры и плоскость Кокстера» , Семинар по Лотарингской комбинаторике , B63b : 32
• Бернштейн, Индиана; Гельфанд, И.М.; Пономарев В.А., "Функторы Кокстера и теорема Габриэля", Успехи матем. Наук 28 (1973), вып. 2 (170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна .