5-многогранник

Графы трех правильных и трех однородных 5-многогранников.

5-симплекс (гексатерон)	5-ортоплекс , 2 11 (Пентакросс)	5-куб (Пентеракт)
Расширенный 5-симплекс	Выпрямленный 5-ортоплекс	5-демикуб . 1 21 (Демипентеракт)

В геометрии ( пятимерный многогранник или 5-многогранник или политерон ) — это многогранник в пятимерном пространстве , ограниченный ( 4-многогранниками ) гранями , пары которых имеют общую многогранную ячейку .

Определение

5-многогранник — замкнутая пятимерная фигура с вершинами , ребрами , гранями и ячейками , а также 4-гранями . Вершина — это точка , в которой сходятся пять или более ребер. Ребро — это сегмент линии , на котором встречаются четыре или более грани, а грань — это многоугольник , на котором встречаются три или более ячеек. Ячейка — это многогранник , а 4-грань — 4-многогранник . Кроме того, должны быть соблюдены следующие требования:

1. Каждая ячейка должна соединять ровно две 4-грани.
2. Соседние 4-грани не находятся в одной и той же четырехмерной гиперплоскости .
3. Фигура не является соединением других фигур, соответствующих требованиям.

Характеристики

Топология любого данного 5-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения .

Значение характеристики Эйлера , используемой для характеристики многогранников, не распространяется на более высокие измерения, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти.

Точно так же понятия ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения.

Классификация

5-многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».

• 5-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его ячейки, грани и ребра) не пересекает сама себя и отрезок, соединяющий любые две точки 5-многогранника, содержится в 5-многограннике или его внутренней части; в противном случае оно невыпуклое . Самопересекающиеся 5-многогранники также известны как звездчатые многогранники по аналогии со звездообразными формами невыпуклых многогранников Кеплера-Пуансо .
• Однородный , 5-многогранник имеет группу симметрии при которой все вершины эквивалентны, а его грани являются однородными 4-многогранниками . Грани однородного многогранника должны быть правильными .

Основная статья: Равномерный 5-многогранник

• Полуправильный 5-многогранник содержит два или более типов правильных 4-многогранников. Существует только одна такая фигура, называемая демипентеракт .
• Правильный 5-многогранник имеет все одинаковые грани правильного 4-многогранника. Все правильные 5-многогранники выпуклы.

Основная статья: List_of_regular_polytopes § Convex_4

• Призматический 5-многогранник построен как декартово произведение двух многогранников меньшей размерности. Призматический 5-многогранник является однородным, если его факторы однородны. Гиперкуб призматический (произведение квадрата и куба ) , но рассматривается отдельно, поскольку имеет симметрии, отличные от тех, которые унаследованы от его факторов.
• четырехмерного пространства Тесселяция — это разделение четырехмерного евклидова пространства на регулярную сетку полихоральных граней. Строго говоря, тесселяции не являются многогранниками, поскольку они не ограничивают объем «5D», но мы включили их сюда для полноты картины, поскольку они во многом похожи на многогранники. Равномерная 4-пространственная мозаика — это мозаика, вершины которой связаны пространственной группой , а грани представляют собой однородные 4-многогранники.

Правильные 5-многогранники

Правильные 5-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p,q,r,s} с s {p,q,r} полихоральными гранями вокруг каждой грани .

Таких выпуклых правильных 5-многогранников ровно три :

1. {3,3,3,3} - 5-симплекс
2. {4,3,3,3} - 5-куб
3. {3,3,3,4} - 5-ортоплекс

Для трех выпуклых правильных 5-многогранников и трех полуправильных 5-многогранников их элементы:

Имя	Шлефли символ (ы)	Коксетер диаграмма (ы)	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-ликий	Симметрия ( порядок )
5-симплекс	{3,3,3,3}		6	15	20	15	6	А 5 , (120)
5-куб	{4,3,3,3}		32	80	80	40	10	г. до н.э. 5 , (3820 г.)
5-ортоплекс	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		10	40	80	80	32	г. до н. э. 5 , (3840 г.) 2×D 5

Однородные 5-многогранники

Основная статья: Равномерный 5-многогранник

Для трех полуправильных 5-многогранников их элементы:

Имя	Шлефли символ (ы)	Коксетер диаграмма (ы)	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-ликий	Симметрия ( порядок )
Расширенный 5-симплекс	т 0,4 {3,3,3,3}		30	120	210	180	162	2×A 5 , (240)
5-демикуб	{3,3 2,1 } ч{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	Д 5 , (1920) ½BC 5
Выпрямленный 5-ортоплекс	т 1 {3,3,3,4} т 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	г. до н. э. 5 , (3840 г.) 2×D 5

Расширенный 5-симплекс — это вершинная фигура однородной 5-симплексной соты , . соты 5-кубовые , , вершинная фигура представляет собой выпрямленный 5-ортоплекс , а грани — 5-ортоплекс и 5-демикуб .

Пирамиды

Пирамидальные 5-многогранники или 5-пирамиды 4-многогранника могут быть порождены основанием в 4-пространственной гиперплоскости, соединенной с точкой вне гиперплоскости. 5-симплекс — простейший пример с 4-симплексной базой.

См. также

• Список правильных многогранников # Пятимерные правильные многогранники и выше

Ссылки

• Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
• А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Трактаты о единице ширины Королевской академии наук Амстердам, Первый раздел 11,1, Амстердам, 1910 г.
• ХСМ Коксетер :
  • HSM Коксетер, М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. К. П. Миллер: однородные многогранники , Философские труды Лондонского королевского общества, Лондон, 1954 г.
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (политеры)» .

Внешние ссылки

• Многогранники различных размерностей , Джонатан Бауэрс
• Униформа Политера , Джонатан Бауэрс
• Многомерный глоссарий , Гаррет Джонс