Неправильное вращение
В геометрии неправильное вращение [1] (также называемое вращением-отражением , [2] роторное отражение, [1] вращающееся отражение , [3] или ротоинверсия [4] ) — это изометрия в евклидовом пространстве , представляющая собой комбинацию вращения вокруг оси и отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси. Отражение и инверсия представляют собой частный случай неправильного вращения. Любое неправильное вращение является аффинным преобразованием , а в случаях, когда начало координат остается фиксированным, — линейным преобразованием . [5] Она используется как операция симметрии в контексте геометрической симметрии , молекулярной симметрии и кристаллографии , где объект, который не изменяется в результате сочетания вращения и отражения, считается имеющим неправильную симметрию вращения .
| Группа | С 4 | SS6 | С 8 | С 10 | С 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Подгруппы | С 2 | C 3 , S 2 знак равно C я | С 4 , С 2 | C 5 , S 2 знак равно C я | С 6 , С 4 , С 3 , С 2 |
| Пример |  скошенная двуугольная антипризма |  треугольная антипризма |  квадратная антипризма |  пятиугольная антипризма |  шестиугольная антипризма |
| Антипризмы с направленными краями обладают роторно-отражательной симметрией. p -антипризмы для нечетных p содержат инверсионную симметрию C i . | |||||
Три измерения
[ редактировать ]В трех измерениях неправильное вращение эквивалентно определяется как комбинация вращения вокруг оси и инверсии в точке на оси. [1] По этой причине ее еще называют ротоинверсией или ротационной инверсией . Эти два определения эквивалентны, поскольку поворот на угол θ с последующим отражением представляет собой то же преобразование, что и поворот на θ + 180 ° с последующей инверсией (при этом точка инверсии находится в плоскости отражения). В обоих определениях операции коммутируют.
Трехмерная симметрия, имеющая только одну неподвижную точку , обязательно является неправильным вращением. [3]
Таким образом, неправильное вращение объекта приводит к вращению его зеркального отображения . Ось называется осью вращения-отражения . [6] Это называется n -кратным неправильным поворотом , если угол поворота до или после отражения составляет 360°/ n (где n должно быть четным). [6] Существует несколько различных систем обозначения отдельных неправильных вращений:
- В обозначениях Шенфлиса символ Sn n (по-немецки Spiegel — зеркало ), где n должно быть четным, обозначает группу симметрии, порожденную - кратным несобственным поворотом. Например, операция симметрии S 6 представляет собой комбинацию поворота (360°/6)=60° и отражения в зеркальной плоскости. (Это не следует путать с такими же обозначениями для симметричных групп ). [6]
- В обозначениях Германа – Могена символ n используется для n -кратной ротоинверсии ; т.е. поворот на угол поворота 360°/ n с инверсией. Если n четно, оно должно делиться на 4. (Обратите внимание, что 2 будет просто отражением и обычно обозначается «m», что означает «зеркало».) Когда n нечетно, это соответствует 2 n -кратному неправильному повороту ( или ротационная рефлексия).
- Обозначение Кокстера для S 2 n : [2 n + ,2 + ] и
, как подгруппа индекса 4 группы [2 n ,2], 
, сгенерированный как произведение трёх отражений. - Обозначение орбифолда — n × порядка 2 n .
Подгруппы S2 – S20 . для
C 1 представляет собой идентификационную группу .
S 2 – центральная инверсия .
Cn группы — циклические .
Подгруппы
[ редактировать ]- Прямая подгруппа - S 2 n это C n , порядок n , индекс 2, представляющая собой роторно-отражательный генератор, применяемый дважды.
- Для n нечетного S2n содержит инверсию обозначаемую Ci или S2 . , S 2 n — прямое произведение : S 2 n = C n × S 2 , если n нечетно.
- Для любого n , если нечетное p является делителем n , то S 2 n / p является подгруппой S 2 n , индекс p . Например, S 4 является подгруппой S 12 , индекс 3.
Как косвенная изометрия
[ редактировать ]В более широком смысле неправильное вращение можно определить как любую косвенную изометрию ; т. е. элемент E (3)\E + (3): таким образом, это также может быть чистое отражение в плоскости или плоскость скольжения . Косвенная изометрия — это аффинное преобразование с ортогональной матрицей , определитель которой равен −1.
Правильное вращение – это обычное вращение. В более широком смысле правильное вращение определяется как прямая изометрия ; т. е. элемент E + (3): это также может быть тождество, вращение с переносом вдоль оси или чистый сдвиг. Прямая изометрия — это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, определитель которой равен 1.
Как в более узком, так и в более широком смысле композиция двух неправильных вращений является правильным вращением, а композиция неправильного и правильного вращений является неправильным вращением.
Физические системы
[ редактировать ]При изучении симметрии физической системы при несобственном вращении (например, если система имеет зеркальную плоскость симметрии) важно различать векторы и псевдовекторы (а также скаляры и псевдоскаляры и вообще тензоры и псевдотензоры ). , поскольку последние по-разному трансформируются при правильном и неправильном поворотах (в трехмерном пространстве псевдовекторы инвариантны относительно инверсии).
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с Моравец, Адам (2004), Ориентации и вращения: расчеты в кристаллографических текстурах , Springer, стр. 7, ISBN 978-3-540-40734-8 .
- ^ Мисслер, Гэри; Фишер, Пол; Тарр, Дональд (2014), Неорганическая химия (5-е изд.), Пирсон, с. 78
- ^ Jump up to: а б Кинси, Л. Кристина ; Мур, Тереза Э. (2002), Симметрия, форма и поверхности: введение в математику через геометрию , Springer, с. 267, ISBN 978-1-930190-09-2 .
- ^ Кляйн, Филпоттс (2013). Материалы Земли . Издательство Кембриджского университета. стр. 89–90. ISBN 978-0-521-14521-3 .
- ^ Саломон, Дэвид (1999), Компьютерная графика и геометрическое моделирование , Springer, стр. 84, ISBN 978-0-387-98682-1 .
- ^ Jump up to: а б с Бишоп, Дэвид М. (1993), Теория групп и химия , Courier Dover Publications, стр. 13, ISBN 978-0-486-67355-4 .