Символ Гильберта

В математике символ Гильберта или символ нормы-вычета — это функция (–, –) от K ^× × К ^× к группе корней n-й степени из единицы в локальном поле K, таком как поля действительных или p-адических чисел . Это связано с законами взаимности и может быть определено в терминах символа Артина локальной теории полей классов . Символ Гильберта был введен Дэвидом Гильбертом ( 1897 , разделы 64, 131, 1998 , английский перевод) в его Zahlbericht с той небольшой разницей, что он определил его для элементов глобальных полей, а не для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта был обобщен на более высокие локальные поля .

Квадратичный символ Гильберта

Над локальным полем K, которого мультипликативная группа ненулевых элементов равна K ^×, квадратичный символ Гильберта — это функция (–, –) из K ^× × К ^× до {−1,1}, определяемого формулой

(a,b)={\begin{cases}+1,&{\mbox{ if }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ has a non-zero solution }}(x,y,z)\in K^{3};\\-1,&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}

Эквивалентно, $(a,b)=1$ тогда и только тогда, когда $b$ равна норме элемента квадратичного расширения $K[{\sqrt {a}}]$ ^{[ 1 ]} ^{стр. 110}.

Характеристики

Следующие три свойства следуют непосредственно из определения путем выбора подходящих решений приведенного выше диофантового уравнения:

Если a — квадрат, то ( a , b ) = 1 для всех b .
Для всех a , b в K ^×, ( а , б ) знак равно ( б , а ).
Для любого a из K ^× такой, что a −1 также находится в K ^×, имеем ( a , 1− a ) = 1.

(би)мультипликативность, т.е.

( а , б ₁ б ₂ ) знак равно ( а , б ₁ ) · ( а , б ₂ )

для любых a , b ₁ и b ₂ в K ^× однако это труднее доказать и требует развития локальной теории полей классов .

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, факторизуется по второй K-группе Милнора. $K_{2}^{M}(K)$ , что по определению

К ^× ⊗ К ^× / ( а ⊗ (1− а) , а ∈ K ^× \ {1})

По первому свойству он даже учитывает $K_{2}^{M}(K)/2$ . Это первый шаг к гипотезе Милнора .

Интерпретация как алгебра

Символ Гильберта также можно использовать для обозначения центральной простой алгебры над K с базисом 1, i , j , k и правилами умножения. $i^{2}=a$ , $j^{2}=b$ , $ij=-ji=k$ . В этом случае алгебра представляет собой элемент порядка 2 в группе Брауэра K , который отождествляется с -1, если это алгебра с делением, и +1, если он изоморфен алгебре матриц 2 на 2.

Символы Гильберта над рациональными числами

Для места v поля рациональных чисел и рациональных чисел , b через ( a , b ) _v обозначаем значение символа Гильберта в соответствующем пополнении Qv _. a Как обычно, если v — это оценка, присвоенная простому числу p , то соответствующее пополнение — это p-адическое поле , а если v — бесконечное место, то пополнение — это поле действительных чисел .

В действительных числах ( a , b ) _∞ равно +1, если хотя бы один из a или b положителен, и -1, если оба отрицательны.

Над p-адиками с p нечетным, написав $a=p^{\alpha }u$ и $b=p^{\beta }v$ , где u и v — целые числа, взаимно простые с p , имеем

(a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }

, где

\epsilon (p)=(p-1)/2

и выражение включает два символа Лежандра .

Над 2-адиками снова пишем $a=2^{\alpha }u$ и $b=2^{\beta }v$ , где u и v — нечетные числа , мы имеем

(a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}

, где

\omega (x)=(x^{2}-1)/8.

Известно, что если v распространяется по всем местам, ( a , b ) _v равно 1 почти для всех мест. Следовательно, следующая формула произведения

\prod _{v}(a,b)_{v}=1

имеет смысл. Он эквивалентен закону квадратичной взаимности .

Капланский радикал

Символ Гильберта в поле F определяет отображение

(\cdot ,\cdot ):F^{*}/F^{*2}\times F^{*}/F^{*2}\rightarrow \mathop {Br} (F)

где Br( F ) — группа Брауэра группы F . Ядро этого отображения, элементы a такие, что ( , b ) =1 для всех b являются радикалом Капланского F. a , ^{[ 2 ]}

Радикал является подгруппой F ^*/Ф ^*2, отождествляемый с подгруппой F ^*. Радикал равен F ^* тогда и только тогда, когда F имеет u -инвариант не более 2. ^{[ 3 ]} В противоположном направлении поле с радикалом F ^*2 называется гильбертовым полем . ^{[ 4 ]}

Общий символ Гильберта

Если K — локальное поле, содержащее группу корней n-й степени из единицы для некоторого натурального n, простого с характеристикой K , то символ Гильберта (,) — это функция от K *× K * до µ _n . В терминах символа Артина его можно определить как ^{[ 5 ]}

(a,b){\sqrt[{n}]{b}}=(a,K({\sqrt[{n}]{b}})/K){\sqrt[{n}]{b}}

Гильберт первоначально определил символ Гильберта до того, как был открыт символ Артина, и его определение (для n простого числа) использовало символ степенного вычета, когда K имеет характеристику вычета, взаимно простую с n , и было довольно сложным, когда K имеет характеристику вычета, делящую n .

Характеристики

Символ Гильберта (мультипликативно) билинейен:

( ab , c ) знак равно ( а , c )( б , c )

( а , bc ) знак равно ( а , б )( а , c )

перекос симметричный:

( а , б ) знак равно ( б , а ) ⁻¹

невырожденный:

( a , b )=1 для всех b тогда и только тогда, когда a находится в K * ^н

Он обнаруживает нормы (отсюда и название символа остатка нормы):

( a , b )=1 тогда и только тогда, когда a является нормой элемента в K ( ^н√ b )

Он имеет свойства «символа» :

( а ,1– а )=1, ( а ,–а)=1.

Закон взаимности Гильберта

Закон взаимности Гильберта гласит, что если a и b находятся в поле алгебраических чисел, содержащем корни n-й степени из единицы, то ^{[ 6 ]}

\prod _{p}(a,b)_{p}=1

где произведение находится по конечным и бесконечным простым числам p числового поля, и где (,) _p — символ Гильберта пополнения в точке p . Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Символ остатка мощности

Если K — числовое поле, содержащее корни n-й степени из единицы, p — простой идеал, не делящий n , π — простой элемент локального поля p , а a взаимно прост с p , то символ степенного вычета ( ^а
_p ) связана с символом Гильберта соотношением ^{[ 7 ]}

{\binom {a}{p}}=(\pi ,a)_{p}

Символ степенного вычета расширен до дробных идеалов за счет мультипликативности и определен для элементов числового поля. поставив ( ^а
_б )=( ^а
_{( b )} ), где ( b ) — главный идеал, порожденный b . Тогда из закона взаимности Гильберта следует следующий закон взаимности для символа вычета, для a и b, простых друг другу и n :

{\binom {a}{b}}={\binom {b}{a}}\prod _{p|n,\infty }(a,b)_{p}

См. также

Алгебра Адзумая

Внешние ссылки

«Символ нормы-вычета» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
HilbertSymbol в Mathworld

Ссылки

^ Милн. Теория полей классов (PDF) . п. 110.
^ Лам (2005), стр. 450–451.
^ Лам (2005) стр.451
^ Лам (2005) стр.455
^ Нойкирх (1999) стр.333
^ Нойкирх (1999) стр.334
^ Нойкирх (1999) стр.336

Боревич З.И. ; Шафаревич, И.Р. (1966), Теория чисел , Academic Press, ISBN 0-12-117851-Х , Збл 0145.04902
Гильберт, Дэвид (1897), «Теория полей алгебраических чисел» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN 0012-0456
Гильберт, Дэвид (1998), Теория полей алгебраических чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62779-1 , МР 1646901
Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-1095-2 , Збл 1068.11023
Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K -теорию , Анналы математических исследований, том. 72, Princeton University Press , MR 0349811 , Zbl 0237.18005
Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук, том. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6 , Збл 0956.11021
Серр, Жан-Пьер (1996), Курс арифметики , Тексты для аспирантов по математике , том. 7, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90040-5 , Збл 0256.12001
Востоков С.В.; Фесенко И.Б. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, вып. 121, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3259-2 , Збл 1156.11046

[1] Милн. Теория полей классов (PDF) . п. 110.

[Lam4501-2] Лам (2005), стр. 450–451.

[Lam451-3] Лам (2005) стр.451

[Lam455-4] Лам (2005) стр.455

[Neu333-5] Нойкирх (1999) стр.333

[Neu334-6] Нойкирх (1999) стр.334

[Neu336-7] Нойкирх (1999) стр.336

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]