Символ Штейнберга

В математике символ Стейнберга — это спаривающая функция, которая обобщает символ Гильберта и играет роль в алгебраической K- полей теории . Он назван в честь математика Роберта Стейнберга .

Для поля F мы определяем символ Штейнберга (или просто символ ) как функцию $(\cdot ,\cdot ):F^{*}\times F^{*}\rightarrow G$, где G — абелева группа, записанная мультипликативно, такая, что

• $(\cdot ,\cdot )$ является бимультипликативным;
• если $a+b=1$ затем $(a,b)=1$.

Символы на F происходят от «универсального» символа, который можно рассматривать как принимающий значения в $F^{*}\otimes F^{*}/\langle a\otimes 1-a\rangle$. По теореме Мацумото эта группа $K_{2}F$ и является частью К-теории Милнора для поля.

Характеристики

Если (⋅,⋅) является символом, то (при условии, что все термины определены)

• $(a,-a)=1$;
• $(b,a)=(a,b)^{-1}$;
• $(a,a)=(a,-1)$ является элементом порядка 1 или 2;
• $(a,b)=(a+b,-b/a)$.

Примеры

• Тривиальный символ, который тождественно равен 1.
• Символ Гильберта на F со значениями в {±1}, определяемый формулой

$(a,b)={\begin{cases}1,&{\mbox{ if }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ has a non-zero solution }}(x,y,z)\in F^{3};\\-1,&{\mbox{ if not.}}\end{cases}}$

• Символ Конту-Каррера — это символ кольца степенного ряда Лорана над артиновым кольцом .

Непрерывные символы

Если F — топологическое поле , то символ c слабо непрерывен , если для каждого y из F ^∗ набор x в F ^∗ такой, что c ( x , y ) = 1 замкнуто в F ^∗ . не имеет отношения к топологии в кодомене G. Это Если G — топологическая группа , то можно говорить о непрерывном символе , а когда G хаусдорфова , то непрерывный символ слабо непрерывен.

Единственные слабо непрерывные символы на R — это тривиальный символ и символ Гильберта: единственный слабо непрерывный символ на C — это тривиальный символ. Характеризация слабо непрерывных символов на неархимедовом локальном поле F была получена Муром. Группа K ₂ ( F ) является прямой суммой циклической группы порядка m и делимой группы K ₂ ( F ) ^м . Символ на F поднимается до гомоморфизма на K ₂ ( F ) и является слабо непрерывным именно тогда, когда он аннулирует делимую компоненту K ₂ ( F ). ^м . Отсюда следует, что каждый слабо непрерывный символ факторизуется через символ вычета нормы .

См. также

• Группа Стейнберга (К-теория)

Ссылки

• Коннер, ЧП; Перлис, Р. (1984). Обзор следовых форм полей алгебраических чисел . Серия по чистой математике. Том. 2. Мировая научная. ISBN  9971-966-05-0 . Збл   0551.10017 .
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. стр. 132–142. ISBN  0-8218-1095-2 . Збл   1068.11023 .
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию . Анналы математических исследований. Том. 72. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . МР   0349811 . Збл   0237.18005 .
• Стейнберг, Роберт (1962). «Гообразующие, отношения и покрытия алгебраических групп». Коллок. Алгебраическая теория групп (на французском языке). Брюссель: Готье-Виллар: 113–127. МР   0153677 . Збл   0272.20036 .

Внешние ссылки

• Символ Стейнберга в Математической энциклопедии