Символ (теория чисел)

В теории чисел символом является любое из многих различных обобщений символа Лежандра . В данной статье описываются отношения между этими различными обобщениями.

Символы ниже расположены примерно в порядке даты их введения, что обычно (но не всегда) происходит в порядке возрастания общности.

• Легендарный символ $\left({\frac {a}{p}}\right)$ определено для p — простого числа, a — целого числа и принимает значения 0, 1 или −1.
• Символ Якоби $\left({\frac {a}{b}}\right)$ определено для b - положительное нечетное целое число, a - целое число и принимает значения 0, 1 или -1. Расширение символа Лежандра для более общих значений b .
• Символ Кронекера $\left({\frac {a}{b}}\right)$ определено для b любое целое число, a целое число и принимает значения 0, 1 или −1. Расширение символов Якоби и Лежандра до более общих значений b .
• Символ остатка мощности $\left({\frac {a}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)_{m}$ определяется для a в некотором глобальном поле, содержащем корни m-й степени из 1 (для некоторого m ), b — дробный идеал K , построенный из простых идеалов, взаимно простых с m . Символ принимает значения в m корнях из 1. Когда m = 2 и глобальное поле представляет собой рациональное число, это более или менее совпадает с символом Якоби.
• Символ Гильберта Локальный символ Гильберта ( a , b ) = определен для a и b в некотором локальном поле, содержащем m корней из 1 (для некоторого m ), и принимает значения в m корнях из 1. Символ степенного вычета можно записать в терминах символа Гильберта. Глобальный символ Гильберта $(a,b)_{p}=\left({\frac {a,b}{p}}\right)=\left({\frac {a,b}{p}}\right)_{m}$ определено для a и b в некотором глобальном поле K , для p — конечное или бесконечное место в K и равно локальному символу Гильберта в пополнении K в месте p .
• Символ Артина Локальный символ Артина или символ остатка нормы $\theta _{L/K}(\alpha )=(\alpha ,L/K)=\left({\frac {L/K}{\alpha }}\right)$ определено для L — конечного расширения локального поля K , α — элемента K и принимает значения в абелианизации группы Галуа Gal( L / K ). Глобальный символ Артина $\psi _{L/K}(\alpha )=(\alpha ,L/K)=\left({\frac {L/K}{\alpha }}\right)=((L/K)/\alpha )$ определяется для α в группе классов лучей или группе идел (классов) глобального поля K и принимает значения в абелианизации Gal( L / K ) для L, абелева K. расширения Когда α находится в группе иделей, символ иногда называют символом Шевалле или символом Артина – Шевалле . Локальный символ Гильберта K можно записать через символ Артина для расширений Куммера L / K , где корни из единицы можно отождествить с элементами группы Галуа.
• Символ Фробениуса $[(L/K)/P]=\left[{\frac {L/K}{P}}\right]$ то же самое, что элемент Фробениуса простого числа P расширения Галуа L группы K .
• «Символ Шевалле» имеет несколько несколько разных значений. Иногда он используется в качестве символа Артина для идел. Разновидностью этого является символ Шевалле. $\left({\frac {a,\chi }{p}}\right)$ для p — простой идеал K , a — элемент K , а χ — гомоморфизм группы Галуа K в R / Z . Тогда значение символа будет значением символа χ в обычном символе Артина.
• Символ остатка нормы. Это название для нескольких различных тесно связанных символов, таких как символ Артина, символ Гильберта или символ остатка нормы Хассе. Символ вычета нормы Хассе $((\alpha ,L/K)/p)=\left({\frac {\alpha ,L/K}{p}}\right)$ определяется, если — место в K , а α — элемент K. p По сути, это то же самое, что и локальный символ Артина для локализации K в точке p . Символ Гильберта является его частным случаем в случае расширений Куммера.
• Символ Штейнберга ( a , b ). обобщение локального символа Гильберта на произвольные поля F. Это Числа a и b являются элементами F символ ( a , b ) принимает значения во второй K-группе F. , а
• Символ Галуа. Своего рода обобщение символа Штейнберга на высшую алгебраическую K-теорию. Он переводит K-группу Милнора в этальную группу когомологий.

См. также

• Символ Конту-Каррер
• Символ монетного двора

Ссылки

• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .