Пространство последовательности

Чтобы узнать об использовании в эволюционной биологии, см. Пространство последовательностей (эволюция) . Дополнительные сведения о математических операциях над порядковыми номерами см. в разделе Арифметика серийных номеров .

В функциональном анализе и смежных областях математики пространство последовательностей — это векторное пространство элементами которого являются бесконечные последовательности действительных , или комплексных чисел . Эквивалентно, это функциональное пространство , элементами которого являются функции от натуральных чисел до поля K действительных или комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство при помощи операций поточечного сложения функций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или , по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .

Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются ℓ ^п пространства, состоящие из суммируемых последовательностей p -степени, с p -нормой. Это частные случаи L ^п пространства для считающей меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, пространства последовательностей, обозначаемые соответственно c и c0 _{образуют} , с нормой sup . Любое пространство последовательностей также может быть оснащено топологией поточечной сходимости , при которой оно становится особым видом пространства Фреше, называемым FK-пространством .

Определение

Последовательность ​ $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ в наборе $X$ это просто $X$-значная карта $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ чья стоимость в $n\in \mathbb {N}$ обозначается $x_{n}$ вместо обычного обозначения в скобках $x(n).$

Пространство всех последовательностей

Позволять $\mathbb {K}$ обозначают поле действительных или комплексных чисел. Набор $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ всех последовательностей элементов $\mathbb {K}$ это векторное пространство для покомпонентного сложения

$\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },$

и покомпонентное скалярное умножение

$\alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

Пространство последовательностей — это любое линейное подпространство $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$

Будучи топологическим пространством, $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ естественно наделен топологией произведения . В этой топологии $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ является Фреше , что означает, что это полное , метризуемое , локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS). Однако эта топология довольно патологична: на ней нет непрерывных норм. $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ (и, следовательно, топология произведения не может быть определена какой-либо нормой ). Среди пространств Фреше $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ минимальна, поскольку не имеет непрерывных норм:

Теорема - Позволять $X$ быть пространством Фреше над $\mathbb {K} .$ Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $X$ не допускает непрерывной нормы (т. е. любой непрерывной полунормы на $X$ имеет нетривиальное нулевое пространство).
2. $X$ содержит векторное подпространство, TVS-изоморфное $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.
3. $X$ содержит дополняемое векторное подпространство, TVS-изоморфное $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

Но топология продукта также неизбежна: $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ не допускает строго более грубой хаусдорфовой локально выпуклой топологии. По этой причине изучение последовательностей начинается с поиска интересующего строгого линейного подпространства и наделения его топологией, отличной от топологии подпространства .

ℓ ^п пространства

См. также: Л ^п космос и L-бесконечность

Для $0<p<\infty ,$ $\ell ^{p}$ является подпространством $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ состоящий из всех последовательностей $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ удовлетворяющий $$\sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .$$

Если $p\geq 1,$ тогда действительная функция $\|\cdot \|_{p}$ на $\ell ^{p}$ определяется $$\|x\|_{p}~=~\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\qquad {\text{ for all }}x\in \ell ^{p}$$определяет норму на $\ell ^{p}.$ Фактически, $\ell ^{p}$ является полным метрическим пространством относительно этой нормы и, следовательно, является банаховым пространством .

Если $p=2$ затем $\ell ^{2}$ также является гильбертовым пространством , если оно наделено своим каноническим внутренним произведением , называемым Евклидов внутренний продукт , определенный для всех $x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}$ к $$\langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}.$$Каноническая норма, индуцированная этим скалярным произведением, является обычной $\ell ^{2}$-норма, то есть $\|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ для всех $\mathbf {x} \in \ell ^{p}.$

Если $p=\infty ,$ затем $\ell ^{\infty }$ определяется как пространство всех ограниченных последовательностей, наделенных нормой $$\|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,$$$\ell ^{\infty }$ также является банаховым пространством.

Если $0<p<1,$ затем $\ell ^{p}$ несет в себе не норму, а скорее метрику, определяемую $$d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,$$

с , с ₀ и с ₀₀

См. также: пространство c

– Сходящаяся последовательность это любая последовательность $x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ такой, что $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ существует. Набор $c$ всех сходящихся последовательностей является векторным подпространством $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ назвал пространство сходящихся последовательностей . Поскольку каждая сходящаяся последовательность ограничена, $c$ является линейным подпространством $\ell ^{\infty }.$ Более того, это пространство последовательностей является замкнутым подпространством $\ell ^{\infty }$ относительно супремумной нормы и, следовательно, является банаховым пространством относительно этой нормы.

Последовательность, которая сходится к $0$ называется нулевой последовательностью и называется исчезнуть . Множество всех последовательностей, сходящихся к $0$ является замкнутым векторным подпространством $c$ которое, будучи наделено супремумной нормой, становится банаховым пространством, которое обозначается $c_{0}$ и называется пространство нулевых последовательностей или пространство исчезающих последовательностей .

The пространство нулевых последовательностей , $c_{00},$ является подпространством $c_{0}$ состоящий из всех последовательностей, которые имеют лишь конечное число ненулевых элементов. Это не замкнутое подпространство и, следовательно, не банахово пространство относительно нормы бесконечности. Например, последовательность $\left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ где $x_{nk}=1/k$ для первого $n$ записи (для $k=1,\ldots ,n$) и везде равен нулю (т.е. $\left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)$) является последовательностью Коши , но она не сходится к последовательности из $c_{00}.$

Пространство всех конечных последовательностей

Позволять

$\mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}$,

обозначим пространство конечных последовательностей над $\mathbb {K}$. В качестве векторного пространства $\mathbb {K} ^{\infty }$ равно $c_{00}$, но $\mathbb {K} ^{\infty }$ имеет другую топологию.

Для каждого натурального числа $n\in \mathbb {N}$, позволять $\mathbb {K} ^{n}$ обозначим обычное евклидово пространство, наделенное евклидовой топологией , и пусть $\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }$ обозначим каноническое включение

$\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)$.

Изображение включения каждого

$\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}$

и, следовательно,

$\mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).$

Это семейство включений дает $\mathbb {K} ^{\infty }$ окончательная топология $\tau ^{\infty }$, определяемая как лучшая топология на $\mathbb {K} ^{\infty }$ такие, что все включения непрерывны (пример когерентной топологии ). При такой топологии $\mathbb {K} ^{\infty }$ становится полным , Хаусдорфовым , локально выпуклым , секвенциальным , топологическим векторным пространством , которое не является Фреше-Урысоном . Топология $\tau ^{\infty }$ также строго тоньше, чем топология подпространства, индуцированная на $\mathbb {K} ^{\infty }$ к $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

Конвергенция в $\tau ^{\infty }$ имеет естественное описание: если $v\in \mathbb {K} ^{\infty }$ и $v_{\bullet }$ представляет собой последовательность в $\mathbb {K} ^{\infty }$ затем $v_{\bullet }\to v$ в $\tau ^{\infty }$ если и только $v_{\bullet }$ в конечном итоге содержится в одном изображении $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$ и $v_{\bullet }\to v$ под естественной топологией этого изображения.

Часто каждое изображение $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$ идентифицируется с соответствующим $\mathbb {K} ^{n}$; явно, элементы $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}$ и $\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)$ идентифицированы. Этому способствует тот факт, что топология подпространства на $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$, фактортопология по карте $\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}$, и евклидова топология на $\mathbb {K} ^{n}$ все совпадают. Благодаря этой идентификации, $\left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ является прямым пределом направленной системы $\left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),$ где каждое включение добавляет конечные нули:

$\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)$.

Это показывает $\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ является LB-пространством .

Другие пространства последовательностей

Пространство ограниченных рядов , обозначаемое bs , — это пространство последовательностей $x$ для чего

$\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .$

Это помещение, оборудованное по норме

$\|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,$

— банахово пространство, изометрически изоморфное $\ell ^{\infty },$ через линейное отображение

$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

Подпространство cs, состоящее из всех сходящихся рядов, является подпространством, которое при этом изоморфизме переходит в пространство c .

Пространство Φ или $c_{00}$ определяется как пространство всех бесконечных последовательностей только с конечным числом ненулевых членов (последовательности с конечным носителем ). Это множество плотно во многих пространствах последовательностей.

Свойства ℓ ^п пространства и пространство c ₀

См. также: пространство c

Пространство ℓ ² единственный ℓ ^п пространство, которое является гильбертовым пространством , поскольку любая норма, индуцированная скалярным произведением, должна удовлетворять закону параллелограмма

$\|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.$

Замена двух разных единичных векторов вместо x и y напрямую показывает, что это тождество неверно, если только p = 2.

Каждый ℓ ^п отличен тем, что ℓ ^п строгим подмножеством ℓ является ^с всякий раз, когда p < s ; кроме того, ℓ ^п не изоморфен ℓ линейно ^с когда п ≠ с . Фактически, по теореме Питта ( Питт, 1936 ) каждый ограниченный линейный оператор из ℓ ^с до ℓ ^п компактен , когда p < s . Ни один такой оператор не может быть изоморфизмом; и, кроме того, оно не может быть изоморфизмом ни в одном бесконечномерном подпространстве ℓ ^с , и поэтому называется строго сингулярным .

Если 1 < p < ∞, то (непрерывное) двойственное пространство к ℓ ^п изометрически изоморфен ℓ ^д , где q — сопряженное по Гельдеру p p : 1/ = 1. Конкретный изоморфизм соответствует + 1/ q элементу x из ℓ ^д функционал $$L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}$$для y в ℓ ^п . Из неравенства Гёльдера следует, что L _x — ограниченный линейный функционал на ℓ ^п , и в самом деле $$|L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}$$так что операторная норма удовлетворяет

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.$

Фактически, принимая y за элемент ℓ ^п с

$y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}$

дает L _Икс ( y ) знак равно || х || _q , так что фактически

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.$

Обратно, если задан ограниченный линейный функционал L на ℓ ^п , последовательность, определяемая x _n = L ( e _n ), лежит в ℓ ^д . Таким образом, отображение $x\mapsto L_{x}$ дает изометрию $$\kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.$$

Карта

$\ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}} (\ell ^{q})^{**}$

полученный путем составления κ _p с обратной транспонированием , совпадает с каноническим введением ℓ ^д в свой двойной дуал . Как следствие ℓ ^д это рефлексивное пространство . Злоупотребляя обозначениями , обычно определяют ℓ ^д с двойником ℓ ^п : (ℓ ^п ) ^* = ℓ ^д . Тогда под рефлексивностью понимается последовательность отождествлений (ℓ ^п ) ^** = (ℓ ^д ) ^* = ℓ ^п .

Пространство c ₀ определяется как пространство всех последовательностей, сходящихся к нулю, с нормой, идентичной || х || _∞ . Это замкнутое подпространство ℓ ^∞ , следовательно, банахово пространство. Двойственным к c является ₀ ℓ ¹ ; двойник ℓ ¹ это ℓ ^∞ . В случае набора индексов натуральных чисел ℓ ^п и c ₀ разделимы , за исключением ℓ ^∞ . Двойник ℓ ^∞ это пространство ба .

Пространства c ₀ и ℓ ^п (при 1 ≤ p < ∞) имеют канонический безусловный базис Шаудера { e _i | i = 1, 2,...}, где e _i — последовательность, равная нулю, но для 1 в i ^й вход.

Пространство ℓ ¹ имеет свойство Шура : В ℓ ¹ последовательность , любая слабо сходящаяся также сходится и сильно ( Шур, 1921 ). Однако, поскольку слабая топология на бесконечномерных пространствах строго слабее, чем сильная топология , существуют сети в ℓ ¹ которые являются слабо сходящимися, но не сильно сходящимися.

ℓ ^п пространства могут быть вложены во многие банаховы пространства . Вопрос о том, содержит ли каждое бесконечномерное банахово пространство изоморф некоторого ℓ ^п или c ₀ , получил отрицательный ответ в Б. С. Цирельсона конструкции пространства Цирельсона в 1974 году. Двойственное утверждение о том, что каждое сепарабельное банахово пространство линейно изометрично фактор-пространству ℓ ¹ утвердительно ответили Банах и Мазур (1933) . То есть для каждого сепарабельного банахова пространства X существует фактор-отображение $Q:\ell ^{1}\to X$, так что X изоморфно $\ell ^{1}/\ker Q$. В общем, ker Q не дополняется в ℓ ¹ , то есть не существует подпространства Y в ℓ ¹ такой, что $\ell ^{1}=Y\oplus \ker Q$. Фактически, ℓ ¹ имеет бесчисленное множество недополняемых подпространств, не изоморфных друг другу (например, возьмем $X=\ell ^{p}$; несчетно много X поскольку таких , и поскольку нет ℓ ^п изоморфен любому другому, поэтому существует несчетное число ker Q ' s).

За исключением тривиального конечномерного случая, необычная особенность ℓ ^п заключается в том, что оно не является полиномиально рефлексивным .

ℓ ^п пространства увеличиваются в p

Для $p\in [1,\infty ]$, пространства $\ell ^{p}$ увеличиваются в $p$, причем оператор включения непрерывен: для $1\leq p<q\leq \infty$, у одного есть $\|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}$. Действительно, неравенство однородно в $x_{i}$, поэтому достаточно доказать это в предположении, что $\|x\|_{p}=1$. В этом случае нам нужно только показать, что $\textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1$ для $q>p$. Но если $\|x\|_{p}=1$, затем $|x_{i}|\leq 1$ для всех $i$, а потом $\textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1$.

ℓ ² изоморфно всем сепарабельным бесконечномерным гильбертовым пространствам

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство . Каждое ортогональное множество в H не более чем счетно (т. е. имеет конечную размерность или $\,\aleph _{0}\,$). Следующие два пункта связаны между собой:

• Если H бесконечномерен, то он изоморфен ℓ ²
• Если dim( H ) = N , то H изоморфно $\mathbb {C} ^{N}$

Свойства ℓ ¹ пространства

Последовательность элементов в ℓ ¹ сходится в пространстве комплексных последовательностей ℓ ¹ тогда и только тогда, когда оно слабо сходится в этом пространстве. Если K является подмножеством этого пространства, то следующие условия эквивалентны:

1. К компактен;
2. K слабо компактен;
3. K ограничено, замкнуто и равномало на бесконечности.

Здесь K равнозначность на бесконечности означает, что для любого $\varepsilon >0$, существует натуральное число $n_{\varepsilon }\geq 0$ такой, что ${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$ для всех $s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K$.

См. также

• л ^п космос
• Пространство Цирельсона
• бета-двойное пространство
• Пространство последовательностей Орлича
• Гильбертово пространство

Библиография

• Банах, Стефан; Мазур, С. (1933), «К теории линейной размерности», Studia Mathematica , 4 : 100–112 .
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Питт, HR (1936), «Заметки о билинейных формах», J. London Math. Соц. , 11 (3): 174–180, doi : 10.1112/jlms/s1-11.3.174 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шур, Дж. (1921), «О линейных преобразованиях в теории бесконечных рядов», Журнал чистой и прикладной математики , 151 : 79–111, doi : 10.1515/crll.1921.151.79 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .