Прямой продукт

В математике часто можно определить прямое произведение уже известных объектов, дающее новый. Это порождает структуру декартова произведения базовых множеств из структуры вносящих вклад объектов. Более абстрактно о продукте говорят в теории категорий , которая формализует эти понятия.

Примерами являются произведения множеств, групп (описанных ниже), колец и других алгебраических структур . топологических произведение . пространств Другой пример —

Существует еще и прямая сумма – в некоторых сферах это взаимозаменяемо, а в других – это другое понятие.

Примеры

• Если мы думаем о $\mathbb {R}$ как набор действительных чисел без дальнейшей структуры, то прямое произведение $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ это просто декартово произведение $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.$
• Если мы думаем о $\mathbb {R}$ как группу действительных чисел, то прямое произведение складываемую $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ все еще имеет $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ как его базовый набор. Разница между этим примером и предыдущим состоит в том, что $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ теперь является группой, поэтому нам также нужно сказать, как добавлять их элементы. Это делается путем определения $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$
• Если мы думаем о $\mathbb {R}$ как кольцо действительных чисел, то прямое произведение $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ снова имеет $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ как его базовый набор. Кольцевая структура состоит из сложения, определяемого формулой $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ и умножение, определяемое $(a,b)(c,d)=(ac,bd).$
• Хотя кольцо $\mathbb {R}$ это поле , $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ нет, потому что ненулевой элемент $(1,0)$ не имеет мультипликативного обратного .

Аналогичным образом можно говорить о прямом произведении конечного числа алгебраических структур, например, $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .$ Это основано на том, что прямое произведение ассоциативно с точностью до изоморфизма . То есть, $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ для любых алгебраических структур $A,$ $B,$ и $C$ такого же рода. Прямое произведение также коммутативно с точностью до изоморфизма, т. е. $A\times B\cong B\times A$ для любых алгебраических структур $A$ и $B$ такого же рода. Мы можем даже говорить о прямом произведении бесконечного числа алгебраических структур; например, мы можем взять прямое произведение счетного числа копий $\mathbb {R} ,$ который мы пишем как $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .$

Прямой продукт групп

Основные статьи: Прямое произведение групп и Прямая сумма.

В теории групп можно определить прямое произведение двух групп. $(G,\circ )$ и $(H,\cdot ),$ обозначается $G\times H.$ Для абелевых групп , записанных аддитивно, ее также можно назвать прямой суммой двух групп , обозначаемой через $G\oplus H.$

Оно определяется следующим образом:

• множество декартово элементов новой группы есть произведение множеств элементов $G{\text{ and }}H,$ то есть $\{(g,h):g\in G,h\in H\};$
• над этими элементами поместите операцию, определенную поэлементно: $$(g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)$$

Обратите внимание, что $(G,\circ )$ может быть таким же, как $(H,\cdot ).$

Эта конструкция дает новую группу. Имеет нормальную подгруппу, изоморфную $G$ (задается элементами вида $(g,1)$), и один изоморфен $H$ (состоящий из элементов $(1,h)$).

Обратное также справедливо. Существует следующая теорема о распознавании: если группа $K$ содержит две нормальные подгруппы $G{\text{ and }}H,$ такой, что $K=GH$ и пересечение ул. $G{\text{ and }}H$ содержит только тождество, то $K$ изоморфен $G\times H.$ Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямое произведение .

В качестве примера возьмем как $G{\text{ and }}H$ две копии единственной (с точностью до изоморфизмов) группы порядка 2, $C^{2}:$ сказать $\{1,a\}{\text{ and }}\{1,b\}.$ Затем $C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},$ с операцией поэлементно. Например, $(1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),$ и $(1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).$

Используя прямое произведение, мы получаем некоторые естественные гомоморфизмы групп бесплатно : отображения проекций, определяемые формулой $${\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}$$называются координатными функциями .

Кроме того, каждый гомоморфизм $f$ к прямому продукту полностью определяется его составляющими функциями $f_{i}=\pi _{i}\circ f.$

Для любой группы $(G,\circ )$ и любое целое число $n\geq 0,$ повторное применение прямого продукта дает группу всех $n$- кортежи $G^{n}$ (для $n=0,$ это тривиальная группа ), например $\mathbb {Z} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{n}.$

Прямое произведение модулей

Прямое произведение для модулей (не путать с тензорным произведением ) очень похоже на то, которое определено для групп выше, с использованием декартова произведения с покомпонентной операцией сложения и скалярным умножением, просто распределяющим по всем компонентам. Начиная с $\mathbb {R}$ мы получаем евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n},$ прототипический пример реального $n$-мерное векторное пространство. Прямой продукт $\mathbb {R} ^{m}$ и $\mathbb {R} ^{n}$ является $\mathbb {R} ^{m+n}.$

Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ канонически изоморфна прямой сумме ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$ Прямая сумма и прямое произведение не изоморфны для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа элементов. Они двойственны в смысле теории категорий : прямая сумма — это совместное произведение , а прямой продукт — это произведение.

Например, рассмотрим ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ и ${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ бесконечное прямое произведение и прямая сумма действительных чисел. В состав входят только последовательности с конечным числом ненулевых элементов. $Y.$ Например, $(1,0,0,0,\ldots )$ находится в $Y$ но $(1,1,1,1,\ldots )$ нет. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении $X;$ фактически, $Y$ является правильным подмножеством $X$ (то есть, $Y\subset X$).

Прямое произведение топологического пространства

Прямое произведение набора топологических пространств. $X_{i}$ для $i$ в $I,$ некоторый набор индексов снова использует декартово произведение $$\prod _{i\in I}X_{i}.$$

Определить топологию немного сложнее. Для конечного числа факторов это очевидно и естественно: просто взять за основу открытых множеств совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора: $${\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.$$

Эта топология называется топологией продукта . Например, непосредственное определение топологии продукта на $\mathbb {R} ^{2}$ по открытым наборам $\mathbb {R}$ (непересекающиеся объединения открытых интервалов), основу этой топологии составляют все непересекающиеся объединения открытых прямоугольников на плоскости (оно, как оказывается, совпадает с обычной метрической топологией).

Топология продукта для бесконечных продуктов имеет особенность, и это связано с возможностью сделать все карты проекций непрерывными и сделать все функции в продукте непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции непрерывны (то есть, чтобы удовлетворять категориальное определение произведения: морфизмы здесь — непрерывные функции): за основу открытых множеств мы возьмем совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств из каждого фактора, как и раньше, с оговоркой, что все, кроме конечного числа открытые подмножества являются решающим фактором: $${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.$$

В этом случае более естественной топологией было бы брать произведения бесконечного числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает довольно интересную топологию - топологию ящика . Однако не так уж сложно найти пример группы непрерывных функций компонентов, функция произведения которых не является непрерывной (пример и многое другое см. В топологии отдельного поля ввода). Проблема, которая делает поворот необходимым, в конечном итоге коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открыто только для конечного числа множеств в определении топологии.

Продукты (с топологией продукта) хороши с точки зрения сохранения свойств своих факторов; например, произведение хаусдорфовых пространств есть Хаусдорф; произведение связных пространств связно, а произведение компактов компактно. Последняя, ​​называемая теоремой Тихонова , представляет собой еще одну эквивалентность аксиомы выбора .

Дополнительные сведения о свойствах и эквивалентных формулировках см. в топологии продукта отдельной записи .

Прямой продукт бинарных отношений

О декартовом произведении двух множеств с бинарными отношениями $R{\text{ and }}S,$ определять $(a,b)T(c,d)$ как $aRc{\text{ and }}bSd.$ Если $R{\text{ and }}S$ оба рефлексивны , иррефлексивны , транзитивны , симметричны или антисимметричны , тогда $T$ будет также. , совокупность Аналогично $T$ унаследован от $R{\text{ and }}S.$ Из объединения свойств следует, что это также применимо и к предпорядку , и к отношению эквивалентности . Однако, если $R{\text{ and }}S$ являются связными отношениями , $T$ не требует подключения; например, прямой продукт $\,\leq \,$ на $\mathbb {N}$ сам с собой не имеет отношения $(1,2){\text{ and }}(2,1).$

Прямое произведение в универсальной алгебре

Если $\Sigma$ это фиксированная подпись , $I$ — произвольный (возможно, бесконечный) набор индексов, и $\left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}$ это индексированное семейство $\Sigma$ алгебры, прямое произведение ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ это $\Sigma$ алгебра определяется следующим образом:

• Вселенная установлена $A$ из $\mathbf {A}$ является декартовым произведением множеств вселенной $A_{i}$ из $\mathbf {A} _{i},$ формально: ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• Для каждого $n$ и каждый $n$-арный символ операции $f\in \Sigma ,$ его интерпретация $f^{\mathbf {A} }$ в $\mathbf {A}$ определяется покомпонентно, формально: для всех $a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A$ и каждый $i\in I,$ тот $i$-й компонент $f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)$ определяется как $f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).$

Для каждого $i\in I,$ тот $i$й проекции $\pi _{i}:A\to A_{i}$ определяется $\pi _{i}(a)=a(i).$ Это сюръективный гомоморфизм между $\Sigma$ алгебры $\mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.$

В частном случае, если набор индексов $I=\{1,2\},$ прямой продукт двух $\Sigma$ алгебры $\mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}$ получается, записанный как $\mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.$ Если $\Sigma$ содержит только одну бинарную операцию $f,$ приведенное выше определение прямого произведения групп получается с использованием обозначений $A_{1}=G,A_{2}=H,$ $f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times .$ Аналогично сюда включено определение прямого произведения модулей.

Категориальный продукт

Основная статья: Продукт (теория категорий)

Прямой продукт может быть отнесен к произвольной категории . В категории задана коллекция объектов $(A_{i})_{i\in I}$ индексируется набором $I$, продуктом этих объектов является объект $A$ вместе с морфизмами $p_{i}\colon A\to A_{i}$ для всех $i\in I$, такой, что если $B$ это любой другой объект с морфизмами $f_{i}\colon B\to A_{i}$ для всех $i\in I$, существует единственный морфизм $B\to A$ чей состав с $p_{i}$ равно $f_{i}$ для каждого $i$. Такой $A$ и $(p_{i})_{i\in I}$ существуют не всегда. Если они существуют, то $(A,(p_{i})_{i\in I})$ единственна с точностью до изоморфизма и $A$ обозначается $\prod _{i\in I}A_{i}$.

В частном случае категории групп продукт всегда существует: базовый набор $\prod _{i\in I}A_{i}$ является декартовым произведением базовых наборов $A_{i}$групповая операция — покомпонентное умножение, а (гомо)морфизм $p_{i}\colon A\to A_{i}$ это проекция, отправляющая каждый кортеж в его $i$координата.

Внутренний и внешний прямой продукт

См. также: Внутренняя прямая сумма

Некоторые авторы проводят различие между внутренним прямым продуктом и внешним прямым продуктом. Например, если $A$ и $B$ являются подгруппами аддитивной абелевой группы $G$, такой, что $A+B=G$ и $A\cap B=\{0\}$, затем $A\times B\cong G,$ и мы говорим это $G$ является внутренним прямым продуктом $A$ и $B$. Чтобы избежать двусмысленности, мы можем обратиться к множеству $\{\,(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}$ как внешний прямой продукт $A$ и $B$.

См. также

• Прямая сумма - операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты.
• Декартово произведение - математический набор, образованный из двух заданных наборов.
• Копродукт – теоретико-категорное построение
• Бесплатный продукт – Операция, объединяющая группы
• Полупрямое произведение - Операция в теории групп
• Продукт Zappa-Szep — концепция математики. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Тензорное произведение графов - Операция в теории графов
• Заказы на декартово произведение полностью упорядоченных множеств - порядок, все элементы которого сопоставимы.

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556