Ядро Мелера

Ядро Мелера — это комплекснозначная функция, которая, как выяснилось, является распространителем квантового гармонического осциллятора .

Формула Мелера

Мелер ( 1866 ) определил функцию

$E(x,y)={\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{(1-\rho ^{2})}}\right)~,$

и показал в модернизированных обозначениях что его можно разложить с помощью полиномов Эрмита H (.) на основе весовой функции exp(− x ²) как

$E(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}~{\mathit {H}}_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)~.$

Этот результат в модифицированной форме полезен в квантовой физике, теории вероятностей и гармоническом анализе.

Физическая версия

В физике фундаментальное решение ( функция Грина ) или распространитель гамильтониана для квантового гармонического осциллятора называется ядром Мелера . Он обеспечивает фундаментальное решение — самое общее решение. φ ( x , t ) до

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.$

Ортонормированными собственными функциями оператора D являются функции Эрмита ,

$\psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},$

с соответствующими собственными значениями (-2 n -1), дающими частные решения

$\varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)~.$

Тогда общее решение представляет собой их линейную комбинацию; при подгонке к начальному условию φ ( x ,0) общее решение сводится к

$\varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y,0)dy~,$

где ядро ​​K имеет сепарабельное представление

$K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)~.$

Тогда использование формулы Мелера дает

${\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)={1 \over {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}\exp \left({4xy\rho -(1+\rho ^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-\rho ^{2})}\right)}~.$

Подставив это в выражение для K значением exp(−2 t ) для ρ , ядро ​​Мелера наконец примет вид

$K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sinh(2t)}}}~\exp \left(-\coth(2t)~(x^{2}+y^{2})/2+\operatorname {csch} (2t)~xy\right).$

При t = 0 переменные x и y совпадают, что приводит к предельной формуле, необходимой по начальному условию:

$K(x,y;0)=\delta (x-y)~.$

В качестве фундаментального решения ядро ​​является аддитивным,

$\int dyK(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t+t')~.$

Это также связано с симплектической структурой вращения ядра K .

При использовании обычных физических соглашений для определения квантового гармонического осциллятора вместо этого через

$i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}\right)\varphi \equiv H\varphi ,$

и если принять естественные масштабы длины и энергии , то ядро ​​Мелера становится пропагатором Фейнмана. $K_{H}$ который читает

$\langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K_{H}(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right),\quad t<\pi ,$

т.е. $K_{H}(x,y;t)=K(x,y;it/2).$

Когда $t>\pi$ тот $i\sin t$ в обратном квадратном корне следует заменить на $|\sin t|$ и $K_{H}$ должно быть умноженный на дополнительный Маслова фазовый коэффициент

$\exp \left(i\theta _{\rm {Maslov}}\right)=\exp \left(-i{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1}{2}}+\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor \right)\right).$

Когда $t=\pi /2$ общее решение пропорционально преобразованию Фурье ${\mathcal {F}}$ начальных условий $\varphi _{0}(y)\equiv \varphi (y,0)$ с

$\varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{H}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\frac {1}{\sqrt {2\pi i}}}\int \exp(-ixy)\varphi (y,0)dy=\exp(-i\pi /4){\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,$

и точное преобразование Фурье квантового гармонического осциллятора, , таким образом, получается из числового оператора записанного как

$N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=H-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right)~$

поскольку полученное ядро

$\langle x\mid \exp(-itN)\mid y\rangle \equiv K_{N}(x,y;t)=\exp(it/2)K_{H}(x,y;t)=\exp(it/2)K(x,y;it/2)$

также компенсирует фазовый фактор, все еще возникающий в $K_{H}$ и $K$, то есть

$\varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{N}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,$

который показывает, что числовой оператор можно интерпретировать через ядро ​​Мелера как генератор дробных преобразований Фурье для произвольных значений t и обычного преобразования Фурье . ${\mathcal {F}}$ за конкретную стоимость $t=\pi /2$, при этом ядро ​​Мелера обеспечивает активное преобразование , в то время как соответствующее пассивное преобразование уже встроено в базисное изменение от положения к пространству импульсов . Собственные функции $N$ по-прежнему являются функциями Эрмита $\psi _{n}(x)$ которые, следовательно, также являются собственными функциями ${\mathcal {F}}$.

Вероятностная версия

Результат Мелера также можно связать с вероятностью. Для этого переменные следует масштабировать как x → x / √ 2 , y → y / √ 2 , чтобы перейти от «физических» полиномов Эрмита H (.) (с весовой функцией exp(− x ² )) к «вероятностным» полиномам Эрмита He (.) (с весовой функцией exp(− x ² /2)). Тогда Е становится

${\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.$

Левая часть здесь равна p ( x , y )/ p ( x ) p ( y ), где p ( x , y ) — двумерная функция плотности вероятности Гаусса для переменных x , y, имеющих нулевые средние значения и единичные дисперсии:

$p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,$

и p ( x ) , p ( y ) — соответствующие плотности вероятности x и y (обе стандартные нормальные).

Далее следует обычно цитируемая форма результата (Kibble 1945):

$p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.$

Это расширение легче всего получить с помощью двумерного преобразования Фурье p ( x , y ) , которое имеет вид

$c(iu_{1},iu_{2})=\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2})/2)~.$

Это может быть расширено как

$\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.$

Обратное преобразование Фурье немедленно дает приведенную выше формулу разложения.

Этот результат можно распространить на многомерный случай.

Дробное преобразование Фурье

Основная статья: Дробное преобразование Фурье

Поскольку функции Эрмита ψ _n являются ортонормированными собственными функциями преобразования Фурье ,

${\mathcal {F}}[\psi _{n}](y)=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,$

в гармоническом анализе и обработке сигналов диагонализуют оператор Фурье,

${\mathcal {F}}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.$

непрерывное обобщение для действительного угла α Таким образом, можно легко определить ( Винер , 1929; Кондон , 1937 год. ), дробное преобразование Фурье (FrFT) с ядром

${\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.$

Это непрерывное семейство линейных преобразований, обобщающее преобразование Фурье , такое, что при α = π /2 оно сводится к стандартному преобразованию Фурье, а при α = − π /2 к обратному преобразованию Фурье.

Таким образом , формула Мелера для ρ = exp(−i α ) непосредственно дает

${\mathcal {F}}_{\alpha }[f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.$

Квадратный корень определяется таким образом, что аргумент результата лежит в интервале [− π /2, π /2].

Если α является целым числом, кратным π , то указанные выше функции котангенса и косеканса расходятся. В пределе ядро ​​переходит к дельта-функции Дирака в подынтегральной функции δ(x−y) или δ(x+y) для α, четного или нечетного кратного π соответственно. С ${\mathcal {F}}^{2}$[ ж ] знак равно ж (- Икс ), ${\mathcal {F}}_{\alpha }$[ f ] должно быть просто f ( x ) или f (− x ) для α, четного или нечетного кратного π соответственно.

См. также

• Представление осциллятора § Гармонический осциллятор и функции Эрмита
• Тепловое ядро
• Полиномы Эрмита
• Функции параболического цилиндра
• Полиномы Лагерра § формула Харди – Хилла

Ссылки

• Николь Берлин, Эзра Гетцлер и Мишель Вернь (2013). Тепловые ядра и операторы Дирака , (Springer: Grundlehren Text Editions) Мягкая обложка ISBN   3540200622
• Лук, Джей Ди (1981). «Расширение формулы Киббла-Слепиана для полиномов Эрмита с использованием методов бозонного оператора». Достижения прикладной математики . 2 (3): 239–249. дои : 10.1016/0196-8858(81)90005-1 .
• Его Величество Шривастава и Дж. П. Сингхал (1972). «Некоторые расширения формулы Мелера», Тр. амер. Математика. Соц. 31 : 135–141. ( онлайн )