Суммирование Миттаг-Леффлера

В математике суммирование Миттаг-Леффлера — это любая из нескольких вариаций метода суммирования Бореля для суммирования возможно расходящихся формальных степенных рядов , введенного Миттаг-Леффлером ( 1908 ).

Определение

Позволять

y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{k}

быть формальным степенным рядом по z .

Определите преобразование $\scriptstyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y$ из $\scriptstyle y$ к

{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}t^{k}

Тогда Миттаг-Леффлера сумма y определяется выражением

\lim _{\alpha \rightarrow 0}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(z)

если каждая сумма сходится и предел существует.

Близкородственный метод суммирования, также называемый суммированием Миттаг-Леффлера, выглядит следующим образом ( Sansone & Gerretsen 1960 ).Предположим, что преобразование Бореля ${\mathcal {B}}_{1}y(z)$ сходится к аналитической функции вблизи 0, которую можно аналитически продолжить вдоль положительной вещественной оси до функции, растущей достаточно медленно, чтобы следующий интеграл был корректно определен (как несобственный интеграл). Тогда Миттаг-Леффлера сумма y определяется выражением

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\,dt

Когда α = 1, это то же самое, что и суммирование Бореля .

См. также

Ссылки

«Метод суммирования Миттаг-Леффлера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Миттаг-Леффлер, Г. (1908), «Об арифметическом представлении аналитических функций комплексной переменной», Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Рим, 6–11 апреля 1908 г.) , vol. я, стр. 67–86, заархивировано из оригинала 24 сентября 2016 г. , получено 2 ноября 2012 г.
Сансоне, Джованни; Герретсен, Йохан (1960), Лекции по теории функций комплексной переменной. I. Голоморфные функции , П. Ноордхофф, Гронинген, MR 0113988