Лемма Джордана

В комплексном анализе лемма Джордана — результат, часто используемый в сочетании с теоремой о вычетах для вычисления контурных и несобственных интегралов . Лемма Камиля названа в честь французского математика Жордана .

Заявление

Рассмотрим комплексную непрерывную функцию f , определенную на полукруговом контуре.

$C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}$

положительного радиуса R, лежащего в верхней полуплоскости с центром в начале координат. Если функция f имеет вид

$f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C,$

с положительным параметром a , то лемма Джордана устанавливает следующую верхнюю оценку контурного интеграла:

$\left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{where}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.$

с равенством, когда g повсюду обращается в нуль, и в этом случае обе части тождественно равны нулю. Аналогичное утверждение для полукруглого контура в нижней полуплоскости справедливо при a < 0 .

Примечания

• Если f непрерывна на полукруговом контуре C _R для всех больших R и

$\lim _{R\to \infty }M_{R}=0$ ( * )

тогда по лемме Джордана $$\lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.$$

• Для случая a = 0 см. лемму об оценивании .
• По сравнению с леммой об оценивании верхняя оценка в лемме Жордана не зависит явно от длины контура C _R .

Применение леммы Джордана

Путь C объединение путей C1 _собой и C2 _{представляет} .

Лемма Джордана дает простой способ вычисления интеграла по действительной оси функций f ( z ) = e ^Иаз g ( z ) голоморфна в верхней полуплоскости и непрерывна в замкнутой верхней полуплоскости, за исключением, возможно, конечного числа невещественных точек z ₁ , z ₂ , …, z _n . Рассмотрим замкнутый контур C , который представляет собой объединение путей C ₁ и C _2, показанных на рисунке. По определению,

$\oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,.$

Поскольку на C2 _: переменная z действительна, то и второй интеграл действителен

$\int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.$

Левую часть можно вычислить с помощью теоремы о вычетах , чтобы получить для всех R больше максимума | я ₁ | , | я ₂ | , …, | з _п | ,

$\oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,,$

где Res( , z k ₎ обозначает вычет f в k особенности z _f . Следовательно, если f удовлетворяет условию ( * ), то при переходе к пределу при стремлении R к бесконечности контурный интеграл по C ₁ обращается в нуль по лемме Жордана и мы получаем значение несобственного интеграла

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.$

Пример

Функция

$f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},$

удовлетворяет условию леммы Жордана с a = 1 для всех R > 0 с R ≠ 1 . Обратите внимание, что при R > 1

$M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,$

следовательно, ( * ) выполнено. Поскольку единственная особенность f в верхней полуплоскости находится в точке z = i , приведенное выше приложение дает

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.$

Поскольку z = i — простой полюс f + и 1 z ² знак равно ( z + я )( z - я ) , получаем

$\operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}$

так что

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.$

Этот результат иллюстрирует, как некоторые интегралы, которые трудно вычислить классическими методами, легко вычисляются с помощью комплексного анализа.

Этот пример показывает, что лемму Джордана можно использовать вместо гораздо более простой леммы об оценке . Действительно, леммы об оценивании достаточно, чтобы вычислить $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx$, а также $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx$лемма Джордана здесь излишняя.

Доказательство леммы Джордана.

По определению комплексного линейного интеграла ,

$\int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.$

Теперь неравенство

${\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx$

урожайность

$I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.$

Используя MR _, определенный в ( * ), и симметрию sin θ = sin( π − θ ) , мы получаем

$I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.$

Поскольку график sin θ вогнут , на интервале θ ∈ [0, π ⁄ 2] , график sin θ лежит выше прямой, соединяющей его концы, следовательно

$\sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad$

для всех θ ∈ [0, π ⁄ 2] , из чего далее следует

$I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.$

См. также

• Лемма об оценке

Ссылки

• Браун, Джеймс В.; Черчилль, Руэл В. (2004). Комплексные переменные и приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу Хилл. стр. 262–265. ISBN  0-07-287252-7 .