Оценка Коши

В математике, особенно в комплексном анализе , оценка Коши дает локальные границы производных голоморфной функции . Эти границы оптимальны.

Заявление и последствия

Позволять $f$ — голоморфная функция на открытом шаре $B(a,r)$ в $\mathbb {C}$. Если $M$ это суп из $|f|$ над $B(a,r)$, то оценка Коши гласит: для каждого целого числа $n>0$,

$|f^{(n)}(a)|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}M$

где $f^{(n)}$ является n -й комплексной производной $f$; то есть $f'={\frac {\partial f}{\partial z}}$ и $f^{(n)}=(f^{(n-1)})^{'}$ (см. Производные Виртингера § Связь с комплексным дифференцированием ).

Более того, взяв $f(z)=z^{n},a=0,r=1$ показывает, что приведенную выше оценку невозможно улучшить.

В качестве следствия, например, мы получаем теорему Лиувилля , которая утверждает, что ограниченная целая функция постоянна (действительно, пусть $r\to \infty$ в оценке.) Несколько более обобщенно, если $f$ целая функция, ограниченная $A+B|z|^{k}$ для некоторых констант $A,B$ и некоторое целое число $k>0$, затем $f$ является полиномом.

Доказательство

Начнем с интегральной формулы Коши, примененной к $f$, что дает $z$ с $|z-a|<r'$,

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-a|=r'}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw$

где $r'<r$. Дифференцированием под знаком интеграла (по комплексной переменной) мы получаем:

$f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|w-a|=r'}{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw.$

Таким образом,

$|f^{(n)}(a)|\leq {\frac {n!M}{2\pi }}\int _{|w-a|=r'}{\frac {|dw|}{|w-a|^{n+1}}}={\frac {n!M}{{r'}^{n}}}.$

Сдача в аренду $r'\to r$ заканчивает доказательство. $\square$

(Доказательство показывает, что нет необходимости принимать $M$ быть супом по всему открытому диску, но из-за принципа максимума ограничение супа ближней границей не изменится $M$.)

Соответствующая оценка

Вот несколько более общая, но менее точная оценка. Там говорится: учитывая открытое подмножество $U\subset \mathbb {C}$, компактное подмножество $K\subset U$ и целое число $n>0$, существует константа $C$ такая, что для любой голоморфной функции $f$ на $U$,

$\sup _{K}|f^{(n)}|\leq C\int _{U}|f|\,d\mu$

где $d\mu$ является мерой Лебега.

Эта оценка следует из интегральной формулы Коши (в общем виде), примененной к $u=\psi f$ где $\psi$ является гладкой функцией, которая $=1$ в окрестностях $K$ и чья поддержка содержится в $U$. Действительно, сокращение $U$, предполагать $U$ ограничено и граница его кусочно-гладкая. Тогда, поскольку $\partial u/\partial {\overline {z}}=f\partial \psi /\partial {\overline {z}}$, по интегральной формуле

$u(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial U}{\frac {u(z)}{w-z}}\,dw+{\frac {1}{2\pi i}}\int _{U}{\frac {f(w)\partial \psi /\partial {\overline {w}}(w)}{w-z}}\,dw\wedge d{\overline {w}}$

для $z$ в $U$ (с $K$ может быть точкой, мы не можем предполагать $z$ находится в $K$). Здесь первое слагаемое справа равно нулю, поскольку носитель $u$ лежит в $U$. Также поддержка $\partial \psi /\partial {\overline {w}}$ содержится в $U-K$. Таким образом, после дифференцирования под знаком интеграла следует заявленная оценка.

В качестве применения приведенной выше оценки мы можем получить теорему Стилтьеса–Витали : который говорит, что последовательность голоморфных функций на открытом подмножестве $U\subset \mathbb {C}$ ограниченная на каждом компактном подмножестве, имеет подпоследовательность, сходящуюся на каждом компактном подмножестве (необходимо к голоморфной функции, поскольку предел удовлетворяет уравнениям Коши–Римана). Действительно, из оценки следует, что такая последовательность равнонепрерывна на каждом компактном подмножестве; таким образом, теорема Асколи и диагональный аргумент дают заявленную подпоследовательность.

В нескольких переменных

Оценка Коши справедлива и для голоморфных функций многих переменных. А именно, для голоморфной функции $f$ на полидиске $U=\prod _{1}^{n}B(a_{j},r_{j})\subset \mathbb {C} ^{n}$, у нас есть: для каждого мультииндекса $\alpha \in \mathbb {N} ^{n}$,

$\left|\left({\frac {\partial }{\partial z}}^{\alpha }f\right)(a)\right|\leq {\frac {\alpha !}{r^{\alpha }}}\sup _{U}|f|$

где $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$, $\alpha !=\prod {\alpha }_{j}!$ и $r^{\alpha }=\prod r_{j}^{\alpha _{j}}$.

Как и в случае с одной переменной, это следует из интегральной формулы Коши в полидисках. § Соответствующая оценка и ее следствие также продолжают оставаться справедливыми для нескольких переменных с теми же доказательствами.

См. также

• Теорема Тейлора

Ссылки

• Хёрмандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных (3-е изд.), Северная Голландия, ISBN  978-1-493-30273-4
• Рудин, Уолтер (1986). Действительный и комплексный анализ (Международная серия по чистой и прикладной математике) . МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-054234-1 .

Дальнейшее чтение

• https://math.stackexchange.com/questions/114349/how-is-cauchys-estimate-derived/114363