Принцип максимального модуля

График модуля $\cos(z)$ (красным) для $z$ на единичном диске с центром в начале координат (показано синим цветом). Как и предсказывает теорема, максимум модуля не может находиться внутри диска (поэтому наибольшее значение на красной поверхности находится где-то вдоль его края).

В математике принцип максимального модуля в комплексном анализе гласит, что если $f$ — голоморфная функция , то модуль $|f|$ не может демонстрировать строгий максимум , находящийся строго пределах в $f$.

Другими словами, либо $f$ является локально постоянной функцией или для любой точки $z_{0}$ внутри домена $f$ существуют другие точки, сколь угодно близкие к $z_{0}$ на котором $|f|$ принимает большие значения.

Официальное заявление

Позволять $f$ — голоморфная функция на некотором связном открытом подмножестве $D$ сложной плоскости $\mathbb {C}$ и принимать сложные значения. Если $z_{0}$ это точка в $D$ такой, что

$|f(z_{0})|\geq |f(z)|$

для всех $z$ в каком- районе то $z_{0}$, затем $f$ постоянно включен $D$.

Это утверждение можно рассматривать как частный случай теоремы об открытом отображении , которая утверждает, что непостоянная голоморфная функция отображает открытые множества в открытые множества: Если $|f|$ достигает локального максимума при $z$, то образ достаточно малой открытой окрестности $z$ не может быть открыт, поэтому $f$ является постоянным.

Связанное заявление

Предположим, что $D$ является ограниченным непустым связным открытым подмножеством $\mathbb {C}$.Позволять ${\overline {D}}$ быть закрытием $D$.Предположим, что $f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C}$ — непрерывная функция, голоморфная на $D$.Затем $|f(z)|$ достигает максимума в некоторой точке границы $D$.

Из первой версии это следует следующим образом. С ${\overline {D}}$ компактна и непуста , непрерывная функция $|f(z)|$ достигает максимума в какой-то момент $z_{0}$ из ${\overline {D}}$. Если $z_{0}$ не находится на границе, то из принципа максимума модуля следует, что $f$ является постоянным, поэтому $|f(z)|$ также достигает того же максимума в любой точке границы.

Принцип минимального модуля

Для голоморфной функции $f$ на связном открытом множестве $D$ из $\mathbb {C}$, если $z_{0}$ это точка в $D$ такой, что

$0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|$

для всех $z$ в каком- районе то $z_{0}$, затем $f$ постоянно включен $D$.

Доказательство: применить принцип максимального модуля к $1/f$.

Эскизы доказательств

Использование принципа максимума для гармонических функций

Можно использовать равенство

$\log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)$

для комплексных натуральных логарифмов, чтобы вывести это $\ln |f(z)|$ является гармонической функцией . С $z_{0}$ следует также является локальным максимумом этой функции, из принципа максимума , что $|f(z)|$ является постоянным. Затем, используя уравнения Коши–Римана, покажем, что $f'(z)$ = 0, и, таким образом, $f(z)$ также является постоянным. Подобные рассуждения показывают, что $|f(z)|$ может иметь только локальный минимум (который обязательно имеет значение 0) в изолированном нуле $f(z)$.

Использование теоремы Гаусса о среднем значении

Другое доказательство основано на использовании теоремы Гаусса о среднем значении, чтобы «заставить» все точки внутри перекрывающихся открытых дисков принять то же значение, что и максимальное. Диски уложены так, чтобы их центры образовывали ломаную от значения где $f(z)$ максимизируется в любой другой точке области, но при этом полностью содержится внутри области. Таким образом, существование максимального значения подразумевает, что все значения в области одинаковы, таким образом $f(z)$ является постоянным.

Использование интегральной формулы Коши

Как $D$ открыт, существует ${\overline {B}}(a,r)$ (закрытый шар с центром в $a\in D$ с радиусом $r>0$) такой, что ${\overline {B}}(a,r)\subset D$. Затем мы определяем границу замкнутого шара с положительной ориентацией как $\gamma (t)=a+re^{it},t\in [0,2\pi ]$. Применяя интегральную формулу Коши, получаем

$0\leq \int _{0}^{2\pi }|f(a)|-|f(a+re^{it})|\,dt\leq 0$

Для всех $t\in [0,2\pi ]$, $|f(a)|-|f(a+re^{it})|\geq 0$, так $|f(a)|=|f(a+re^{it})|$. Это справедливо и для всех шаров радиуса меньше $r$ сосредоточено в $a$. Поэтому, $f(z)=f(a)$ для всех $z\in {\overline {B}}(a,r)$.

Теперь рассмотрим постоянную функцию $g(z)=f(a)$ для всех $z\in D$. Тогда можно построить последовательность различных точек, расположенных в ${\overline {B}}(a,r)$ где голоморфная функция $g-f$ исчезает. Как ${\overline {B}}(a,r)$ замкнута, последовательность сходится к некоторой точке ${\overline {B}}(a,r)\in D$. Это означает $f-g$ исчезает повсюду в $D$ что подразумевает $f(z)=f(a)$ для всех $z\in D$.

Физическая интерпретация

Физическая интерпретация этого принципа исходит из уравнения теплопроводности . То есть, поскольку $\log |f(z)|$ является гармоническим, то есть это стационарное состояние теплового потока в области $D$. Предположим, что строгий максимум был достигнут внутри $D$, тепло в этом максимуме будет рассеиваться по точкам вокруг него, что противоречит предположению, что это представляет собой устойчивое состояние системы.

Приложения

Принцип максимального модуля имеет множество применений в комплексном анализе и может использоваться для доказательства следующего:

• Основная теорема алгебры .
• Лемма Шварца — результат, который, в свою очередь, имеет множество обобщений и приложений в комплексном анализе.
• Принцип Фрагмена-Линделёфа , распространение на неограниченные области.
• Теорема Бореля –Каратеодори , ограничивающая аналитическую функцию через ее действительную часть.
• Теорема Адамара о трёх прямых — результат о поведении ограниченных голоморфных функций на линии между двумя другими параллельными линиями на комплексной плоскости.

Ссылки

• Титчмарш, ЕС (1939). Теория функций (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. (См. главу 5.)
• Е.Д. Соломенцев (2001) [1994], «Принцип максимума-модуля» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Конвей, Джон Б. (1978). Экслер, С.; Геринг, ФРВ; Рибет, К.А. (ред.). Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science+Business Media, Inc. ISBN 978-1-4612-6314-2.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Принцип максимального модуля» . Математический мир .