Черная лемма

В математике лемма Шварца , названная в честь Германа Амандуса Шварца , является результатом комплексного анализа голоморфных функций из открытого единичного круга в себя. Лемма теорема менее известна, чем более глубокие теоремы, такие как об отображении Римана , которую она помогает доказать. Однако это один из простейших результатов, отражающих жесткость голоморфных функций.

Заявление

Позволять $\mathbf {D} =\{z:|z|<1\}$ быть открытым единичным диском в комплексной плоскости $\mathbb {C}$ с центром в начале координат , и пусть $f:\mathbf {D} \rightarrow \mathbb {C}$ — голоморфное отображение такое, что $f(0)=0$ и $|f(z)|\leq 1$ на $\mathbf {D}$.

Затем $|f(z)|\leq |z|$ для всех $z\in \mathbf {D}$, и $|f'(0)|\leq 1$.

Более того, если $|f(z)|=|z|$ для некоторого ненулевого $z$ или $|f'(0)|=1$, затем $f(z)=az$ для некоторых $a\in \mathbb {C}$ с $|a|=1$.

Доказательство

Доказательство представляет собой прямое применение принципа максимума модуля к функции

$g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\,&{\mbox{if }}z\neq 0\\f'(0)&{\mbox{if }}z=0,\end{cases}}$

который голоморфен на всем $D$, в том числе в начале координат (поскольку $f$ дифференцируема в начале координат и фиксирует ноль). Теперь, если $D_{r}=\{z:|z|\leq r\}$ обозначает замкнутый диск радиуса $r$ с центром в начале координат, то принцип максимума модуля означает, что для $r<1$, учитывая любой $z\in D_{r}$, существует $z_{r}$ на границе $D_{r}$ такой, что

$|g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.$

Как $r\rightarrow 1$ мы получаем $|g(z)|\leq 1$.

Более того, предположим, что $|f(z)|=|z|$ для некоторого ненулевого $z\in D$, или $|f'(0)|=1$. Затем, $|g(z)|=1$ в какой-то момент $D$. Таким образом, согласно принципу максимального модуля, $g(z)$ равно константе $a$ такой, что $|a|=1$. Поэтому, $f(z)=az$, по желанию.

Теорема Шварца – Пика

Вариант леммы Шварца, известный как теорема Шварца – Пика (в честь Георга Пика ), характеризует аналитические автоморфизмы единичного круга, т.е. биективные голоморфные отображения единичного круга в себя:

Позволять $f:\mathbf {D} \to \mathbf {D}$ быть голоморфным. Тогда для всех $z_{1},z_{2}\in \mathbf {D}$,

$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|$

и для всех $z\in \mathbf {D}$,

${\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.$

Выражение

$d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|$

это расстояние между точками $z_{1}$, $z_{2}$ в метрике Пуанкаре , т.е. метрике в модели диска Пуанкаре для гиперболической геометрии в размерности два. Теорема Шварца-Пика, по сути, утверждает, что голоморфное отображение единичного круга в себя уменьшает расстояние между точками в метрике Пуанкаре. Если равенство сохраняется повсюду в одном из двух приведенных выше неравенств (что эквивалентно утверждению, что голоморфное отображение сохраняет расстояние в метрике Пуанкаре), то $f$ должен быть аналитическим автоморфизмом единичного круга, заданным преобразованием Мёбиуса, отображающим единичный круг в себя.

Аналогичное утверждение о верхней полуплоскости $\mathbf {H}$ можно сделать следующим образом:

Позволять $f:\mathbf {H} \to \mathbf {H}$ быть голоморфным. Тогда для всех $z_{1},z_{2}\in \mathbf {H}$,

$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}.$

Это простое следствие упомянутой выше теоремы Шварца–Пика: нужно лишь помнить, что преобразование Кэли $W(z)=(z-i)/(z+i)$ отображает верхнюю полуплоскость $\mathbf {H}$ конформно на единичный диск $\mathbf {D}$. Затем карта $W\circ f\circ W^{-1}$ является голоморфным отображением из $\mathbf {D}$ на $\mathbf {D}$. Используя теорему Шварца – Пика об этом отображении и, наконец, упрощая результаты, используя формулу для $W$, мы получаем желаемый результат. Также для всех $z\in \mathbf {H}$,

${\frac {\left|f'(z)\right|}{{\text{Im}}(f(z))}}\leq {\frac {1}{{\text{Im}}(z)}}.$

Если равенство справедливо и для того, и для другого выражения, то $f$ должно быть преобразованием Мёбиуса с действительными коэффициентами. То есть, если имеет место равенство, то

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

с $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ и $ad-bc>0$.

Доказательство теоремы Шварца–Пика.

Доказательство теоремы Шварца–Пика следует из леммы Шварца и того факта, что преобразование Мёбиуса вида

${\frac {z-z_{0}}{{\overline {z_{0}}}z-1}},\qquad |z_{0}|<1,$

отображает единичный круг на себя. Исправить $z_{1}$ и определим преобразования Мёбиуса

$M(z)={\frac {z_{1}-z}{1-{\overline {z_{1}}}z}},\qquad \varphi (z)={\frac {f(z_{1})-z}{1-{\overline {f(z_{1})}}z}}.$

С $M(z_{1})=0$ и преобразование Мёбиуса обратимо, композиция $\varphi (f(M^{-1}(z)))$ карты $0$ к $0$ и единичный диск отображается сам в себя. Таким образом, мы можем применить лемму Шварца, а именно:

$\left|\varphi \left(f(M^{-1}(z))\right)\right|=\left|{\frac {f(z_{1})-f(M^{-1}(z))}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(M^{-1}(z))}}\right|\leq |z|.$

Сейчас звоню $z_{2}=M^{-1}(z)$ (который все еще будет на единичном диске) дает желаемый вывод

$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|.$

Для доказательства второй части теоремы переставим левую часть в разностное частное и положим $z_{2}$ склонны к $z_{1}$.

Дальнейшие обобщения и связанные с ними результаты.

Теорема Шварца –Альфорса–Пика дает аналогичную теорему для гиперболических многообразий.

Теорема Де Бранжа , ранее известная как гипотеза Бибербаха, является важным расширением леммы, давая ограничения на высшие производные $f$ в $0$ в случае $f$ является инъективным ; то есть одновалентный .

Теорема Кебе 1/4 дает соответствующую оценку в случае, когда $f$ является одновалентным.

См. также

• Интерполяция Неванлинны – Пика

Ссылки

• Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN   3-540-43299-X (см. раздел 2.3)
• С. Дайнин (1989). Лемма Шварца . Оксфорд. ISBN  0-19-853571-6 .

Эта статья включает в себя материал из леммы Шварца на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .