Интерполяция Неванлинны – Пика

В комплексном анализе заданы исходные данные , состоящие из $n$ очки $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ в комплексном единичном диске $\mathbb {D}$ и целевые данные, состоящие из $n$ очки $z_{1},\ldots ,z_{n}$ в $\mathbb {D}$, интерполяционная задача Неванлинны–Пика состоит в нахождении голоморфной функции $\varphi$ который интерполирует данные, то есть для всех $i\in \{1,...,n\}$,

$\varphi (\lambda _{i})=z_{i}$,

с учетом ограничения $\left\vert \varphi (\lambda )\right\vert \leq 1$ для всех $\lambda \in \mathbb {D}$.

Георг Пик и Рольф Неванлинна решили проблему независимо в 1916 и 1919 годах соответственно, показав, что интерполирующая функция существует тогда и только тогда, когда матрица, определенная в терминах исходных и целевых данных, является положительно полуопределенной .

Фон

Теорема Неванлинны – Пика представляет собой $n$-точечное обобщение леммы Шварца . Инвариантная форма леммы Шварца утверждает, что для голоморфной функции $f:\mathbb {D} \to \mathbb {D}$, для всех $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {D}$,

$\left|{\frac {f(\lambda _{1})-f(\lambda _{2})}{1-{\overline {f(\lambda _{2})}}f(\lambda _{1})}}\right|\leq \left|{\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}\right|.$

Параметр $f(\lambda _{i})=z_{i}$, это неравенство эквивалентно утверждению, что матрица, заданная формулой

${\begin{bmatrix}{\frac {1-|z_{1}|^{2}}{1-|\lambda _{1}|^{2}}}&{\frac {1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}{1-{\overline {\lambda _{1}}}\lambda _{2}}}\\[5pt]{\frac {1-{\overline {z_{2}}}z_{1}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}&{\frac {1-|z_{2}|^{2}}{1-|\lambda _{2}|^{2}}}\end{bmatrix}}\geq 0,$

то есть матрица Пика положительно полуопределена.

В сочетании с леммой Шварца это приводит к наблюдению, что для $\lambda _{1},\lambda _{2},z_{1},z_{2}\in \mathbb {D}$, существует голоморфная функция $\varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {D}$ такой, что $\varphi (\lambda _{1})=z_{1}$ и $\varphi (\lambda _{2})=z_{2}$ тогда и только тогда, когда матрица Пика

$\left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1,2}\geq 0.$

Теорема Неванлинны – Пика.

Теорема Неванлинны–Пика утверждает следующее. Данный $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {D}$, существует голоморфная функция $\varphi :\mathbb {D} \to {\overline {\mathbb {D} }}$ такой, что $\varphi (\lambda _{i})=z_{i}$ тогда и только тогда, когда матрица Пика

$\left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1}^{n}$

является положительно полуопределенным. Кроме того, функция $\varphi$ уникальна тогда и только тогда, когда матрица Пика имеет нулевой определитель . В этом случае, $\varphi$ является произведением Бляшке со степенью, равной рангу матрицы Пика (за исключением тривиального случая, когда все $z_{i}$они одинаковые).

Обобщение

Обобщение теоремы Неванлинны-Пика стало областью активных исследований в теории операторов после работы Дональда Сарасона над интерполяционной теоремой Сарасона . Сарасон дал новое доказательство теоремы Неванлинны-Пика, используя методы гильбертового пространства в терминах операторных сокращений . Другие подходы получили развитие в работах Л. де Бранжа , Б. С.-Надя и Ш. Фояша .

Можно показать, что пространство Харди H  ² является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром и что его воспроизводящее ядро ​​(известное как ядро ​​Сегё ) есть

$K(a,b)=\left(1-b{\bar {a}}\right)^{-1}.\,$

По этой причине матрицу Пика можно переписать как

$\left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}.\,$

Такое описание решения мотивировало различные попытки обобщить результат Неванлинны и Пика.

Задачу Неванлинны – Пика можно обобщить до задачи поиска голоморфной функции. $f:R\to \mathbb {D}$ который интерполирует заданный набор данных, где R теперь является произвольной областью комплексной плоскости.

М.Б. Абрахамс показал, что если граница R состоит из конечного числа аналитических кривых (скажем, n + 1), то интерполирующая функция f существует тогда и только тогда, когда

$\left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K_{\tau }(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}\,$

является положительной полуопределенной матрицей для всех $\tau$ в n -торе . Здесь $K_{\tau }$s — воспроизводящие ядра, соответствующие определенному набору воспроизводящих ядерных гильбертовых пространств, которые связаны с множеством R . Также можно показать, что f уникальна тогда и только тогда, когда одна из матриц Пика имеет нулевой определитель.

Примечания

• Первоначальное доказательство Пика касалось функций с положительной действительной частью. При дробно-линейном преобразовании Кэли его результат справедлив для отображений с диска на диск.

• Интерполяция Пика-Неванлинны была введена в надежный контроль Алленом Танненбаумом .

• Задача Пика-Неванлинны для голоморфных отображений бидиска. $\mathbb {D} ^{2}$ на диск решил Джим Аглер .

Ссылки

• Аглер, Джим; Джон Э. Маккарти (2002). Выберите интерполяционное и гильбертово функциональное пространство . Аспирантура по математике . АМС . ISBN  0-8218-2898-3 .
• Абрахамс, МБ (1979). «Интерполяционная теорема Пика для конечносвязных областей» . Мичиганская математика. Дж . 26 (2): 195–203. дои : 10.1307/mmj/1029002212 .
• Танненбаум, Аллен (1980). «Стабилизация линейных динамических объектов с обратной связью при неопределенности коэффициента усиления». Межд. Дж. Контроль . 32 (1): 1–16. дои : 10.1080/00207178008922838 .