Одновалентная функция

В математике , в разделе комплексного анализа , голоморфная функция на открытом подмножестве комплексной плоскости называется однолистной, если она инъективна . ^[1]^[2]

Примеры

Функция $f\colon z\mapsto 2z+z^{2}$ одновалентен в открытом единичном диске, так как $f(z)=f(w)$ подразумевает, что $f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0$ . Поскольку второй множитель отличен от нуля в открытом единичном круге, $z=w$ так $f$ является инъективным.

Основные свойства

Можно доказать, что если $G$ и $\Omega$ два открытых связных множества в комплексной плоскости, а

f:G\to \Omega

является однолистной функцией такой, что $f(G)=\Omega$ (то есть, $f$ сюръективен ) , то производная от $f$ никогда не равен нулю, $f$ является обратимым , и его обратная $f^{-1}$ также голоморфен. Более того, по правилу цепочки

(f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}

для всех $z$ в $G.$

Сравнение с реальными функциями

Для вещественных аналитических функций , в отличие от комплексных аналитических (т. е. голоморфных) функций, эти утверждения не выполняются. Например, рассмотрим функцию

f:(-1,1)\to (-1,1)\,

данный $f(x)=x^{3}$ . Эта функция явно инъективна, но ее производная равна 0 при $x=0$ , а его обратная функция не является аналитической и даже дифференцируемой на всем интервале $(-1,1)$ . Следовательно, если мы расширим область определения до открытого подмножества $G$ комплексной плоскости он не должен быть инъективным; и это так, поскольку (например) $f(\varepsilon \omega )=f(\varepsilon )$ (где $\omega$ является примитивным кубическим корнем из единицы и $\varepsilon$ положительное действительное число, меньшее радиуса $G$ как район $0$ ).

См. также

Биголоморфное отображение - биективная голоморфная функция с голоморфной обратной.
Теорема Де Бранжа – утверждение в комплексном анализе; ранее гипотеза Бибербаха
Четверть теоремы Кебе - утверждение в комплексном анализе
Теорема Римана об отображении - Математическая теорема
Критерий Неванлинны - Характеристика звездообразных однолистных голоморфных функций

Примечание

^ ( Конвей 1995 , стр. 32, глава 14: Конформная эквивалентность для односвязных областей, Определение 1.12: «Функция на открытом множестве является однолистной, если она аналитична и взаимно однозначна».)
^ ( Нехари 1975 )

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1995). «Конформная эквивалентность односвязных областей» . Функции одной комплексной переменной II . Тексты для аспирантов по математике. Том. 159. дои : 10.1007/978-1-4612-0817-4 . ISBN 978-1-4612-6911-3 .
«Унивалентные функции» . Источники в развитии математики . 2011. стр. 907–928. дои : 10.1017/CBO9780511844195.041 . ISBN 9780521114707 .
Дюрен, Польша (1983). Одновалентные функции . Спрингер Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. стр. XIV, 384. ISBN. 978-1-4419-2816-0 .
Гонг, Шэн (1998). Выпуклые и звездообразные отображения нескольких комплексных переменных . дои : 10.1007/978-94-011-5206-8 . ISBN 978-94-010-6191-9 .
Ярницкий, Марек; Пфлюг, Питер (2006). «Замечание об отдельной голоморфности» . Студия Математика . 174 (3): 309–317. arXiv : math/0507305 . дои : 10.4064/SM174-3-5 . S2CID 15660985 .
Нехари, Зеев (1975). Конформное отображение . Нью-Йорк: Dover Publications. п. 146. ИСБН 0-486-61137-Х . ОСЛК 1504503 .

Эта статья включает в себя материал из универсальной аналитической функции , PlanetMath которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .

[1] ( Конвей 1995 , стр. 32, глава 14: Конформная эквивалентность для односвязных областей, Определение 1.12: «Функция на открытом множестве является однолистной, если она аналитична и взаимно однозначна».)

[2] ( Нехари 1975 )

[1]

[2]