Теорема Кебе о четверти

В комплексном анализе , разделе математики , теорема Кёбе 1/4 гласит следующее:

Теорема Кебе о четверти. Образ инъективной аналитической функции $f:\mathbf {D} \to \mathbb {C}$ с диска модуля $\mathbf {D}$ на подмножество комплексной плоскости содержит диск, центр которого равен $f(0)$ и чей радиус $|f'(0)|/4$ .

Теорема названа в честь Пауля Кебе , который выдвинул гипотезу об этом результате в 1907 году. Теорема была доказана Людвигом Бибербахом в 1916 году. Пример функции Кебе показывает, что константа $1/4$ в теореме не может быть улучшено (увеличено).

Связанным с этим результатом является лемма Шварца , а понятие, связанное с обоими, — это конформный радиус .

Теорема о площади Грёнвалля

Предположим, что

g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots

является одновалентным в $|z|>1$ . Затем

\sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}\leq 1.

Фактически, если $r>1$ , дополнение образа диска $|z|>r$ это ограниченная область $X(r)$ . Его площадь определяется

\int _{X(r)}dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial X(r)}{\overline {z}}\,dz={1 \over 2i}\int _{|z|=r}{\overline {g}}\,dg=\pi r^{2}-\pi \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}r^{-2n}.

Поскольку площадь положительна, результат получается, если положить $r$ уменьшиться до $1$ . Приведенное выше доказательство показывает, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда дополнение образа $g$ имеет нулевую площадь, т.е. мера Лебега равна нулю.

Этот результат был доказан в 1914 году шведским математиком Томасом Хаконом Грёнваллем .

Функция Кебе

Функция Кебе определяется формулой

f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}

Применение теоремы к этой функции показывает, что константа $1/4$ в теореме не может быть улучшена, так как область изображения $f(\mathbf {D} )$ не содержит точки $z=-1/4$ и поэтому не может содержать ни одного диска с центром в $0$ с радиусом больше $1/4$ .

Повернутая функция Кебе :

f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}

с $\alpha$ комплексное число абсолютного значения $1$ . Функция Кебе и ее вращения являются однолистными : то есть однолистными (аналитическими и взаимно однозначными ) и удовлетворяющими $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ .

Неравенство коэффициентов Бибербаха для однолистных функций

Позволять

g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots

быть однозначным в $|z|<1$ . Затем

|a_{2}|\leq 2.

Это следует из применения теоремы Гронуолла о площади к нечетной однолистной функции.

g(z^{-2})^{-1/2}=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $g$ представляет собой повернутую функцию Кебе.

Этот результат был доказан Людвигом Бибербахом в 1916 году и послужил основой для его знаменитой гипотезы о том, что $|a_{n}|\leq n$ , доказанный в 1985 году Луи де Бранжем .

Доказательство четвертной теоремы

Применяя аффинное отображение, можно предположить, что

f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,

так что

f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .

В частности, коэффициентное неравенство дает, что $|a_{2}|\leq 2$ .Если $w$ не в $f(\mathbf {D} )$ , затем

h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots

является одновалентным в $|z|<1$ .

Применяя коэффициентное неравенство к $h$ дает

|w|^{-1}=|w^{-1}|=|-a_{2}+a_{2}+w^{-1}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,

так что

|w|\geq {1 \over 4}.

Теорема об искажении Коэба

Теорема Кебе об искажении дает ряд оценок для однолистной функции и ее производной. Это прямое следствие неравенства Бибербаха для второго коэффициента и четверти теоремы Кебе. ^[1]

Позволять $f(z)$ быть однолистной функцией на $|z|<1$ нормализовано так, что $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ и пусть $r=|z|$ . Затем

{r \over (1+r)^{2}}\leq |f(z)|\leq {r \over (1-r)^{2}}

{1-r \over (1+r)^{3}}\leq |f^{\prime }(z)|\leq {1+r \over (1-r)^{3}}

{1-r \over 1+r}\leq \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+r \over 1-r}

с равенством тогда и только тогда, когда $f$ является функцией Кебе

f(z)={z \over (1-e^{i\theta }z)^{2}}.

Примечания

^ Поммеренкен 1975 , стр. 21–22.

Ссылки

Бибербах, Людвиг (1916), «О коэффициентах тех степенных рядов, которые обеспечивают простое представление единичного круга», С.-Б. Пруссия. Академическая наука : 940–955
Карлесон, Л .; Гамелен, TDW (1993), Комплексная динамика , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, стр. 1–2 , ISBN 0-387-97942-5
Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94460-9
Дюрен, П.Л. (1983), Однолистные функции , Основы математических наук, вып. 259, Springer Verlag, ISBN 0-387-90795-5
Гронуолл, TH (1914), «Некоторые замечания о конформном представлении», Annals of Mathematics , 16 : 72–76, doi : 10.2307/1968044
Нехари, Зеев (1952), Конформное отображение , Дувр, стр. 248–249 , ISBN 0-486-61137-Х
Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica / Mathematical Textbooks, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт
Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . Серия по высшей математике (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-054234-1 . МР 0924157 .

Внешние ссылки

Теорема Кебе 1/4 на PlanetMath

[1] Поммеренкен 1975 , стр. 21–22.

[1]