Теорема о площади (конформное отображение)

В математической теории конформных отображений теорема площади дает неравенство, которому удовлетворяет степенного ряда коэффициенты некоторых конформных отображений.Теорема названа этим именем не из-за ее следствий, а потому, что в доказательстве используютсяпонятие площади .

Заявление

Предположим, что $f$ аналитичен инъективен и проколотом в открытый модульный диск $\mathbb {D} \setminus \{0\}$ и имеет представление степенного ряда

$f(z)={\frac {1}{z}}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\qquad z\in \mathbb {D} \setminus \{0\},$

тогда коэффициенты $a_{n}$ удовлетворить

$\sum _{n=0}^{\infty }n|a_{n}|^{2}\leq 1.$

Доказательство

Идея доказательства состоит в том, чтобы посмотреть на область, открытую изображением $f$.Определить для $r\in (0,1)$

$\gamma _{r}(\theta ):=f(r\,e^{-i\theta }),\qquad \theta \in [0,2\pi ].$

Затем $\gamma _{r}$ представляет собой простую замкнутую кривую на плоскости.Позволять $D_{r}$ обозначим единственную ограниченную компоненту связности $\mathbb {C} \setminus \gamma _{r}([0,2\pi ])$. Существование иуникальность $D_{r}$ следует из теоремы Жордана о кривой .

Если $D$ — область на плоскости, граница которойпредставляет собой гладкую простую замкнутую кривую $\gamma$,затем

$\mathrm {area} (D)=\int _{\gamma }x\,dy=-\int _{\gamma }y\,dx\,,$

при условии, что $\gamma$ позитивно ориентирован вокруг $D$.Это легко следует, например, из теоремы Грина .Как мы скоро увидим, $\gamma _{r}$ положительно ориентирован вокруг $D_{r}$ (и это причина знака минус вопределение $\gamma _{r}$). После применения правила цепочки и формула для $\gamma _{r}$, приведенные выше выражения дляобласть дает

$\mathrm {area} (D_{r})=\int _{0}^{2\pi }\Re {\bigl (}f(re^{-i\theta }){\bigr )}\,\Im {\bigl (}-i\,r\,e^{-i\theta }\,f'(re^{-i\theta }){\bigr )}\,d\theta =-\int _{0}^{2\pi }\Im {\bigl (}f(re^{-i\theta }){\bigr )}\,\Re {\bigl (}-i\,r\,e^{-i\theta }\,f'(re^{-i\theta }){\bigr )}d\theta .$

Следовательно, площадь $D_{r}$ также равно среднему значению двух выражений справасторона руки. После упрощения это дает

$\mathrm {area} (D_{r})=-{\frac {1}{2}}\,\Re \int _{0}^{2\pi }f(r\,e^{-i\theta })\,{\overline {r\,e^{-i\theta }\,f'(r\,e^{-i\theta })}}\,d\theta ,$

где ${\overline {z}}$ обозначает комплексное сопряжение . Мы устанавливаем $a_{-1}=1$ и использовать степенной рядрасширение для $f$, получить

$\mathrm {area} (D_{r})=-{\frac {1}{2}}\,\Re \int _{0}^{2\pi }\sum _{n=-1}^{\infty }\sum _{m=-1}^{\infty }m\,r^{n+m}\,a_{n}\,{\overline {a_{m}}}\,e^{i\,(m-n)\,\theta }\,d\theta \,.$

(С $\int _{0}^{2\pi }\sum _{n=-1}^{\infty }\sum _{m=-1}^{\infty }m\,r^{n+m}\,|a_{n}|\,|a_{m}|\,d\theta <\infty \,,$ перестановка терминов оправдана.)Теперь обратите внимание, что $\int _{0}^{2\pi }e^{i\,(m-n)\,\theta }\,d\theta$ является $2\pi$ если $n=m$и равно нулю в противном случае. Следовательно, мы получаем

$\mathrm {area} (D_{r})=-\pi \sum _{n=-1}^{\infty }n\,r^{2n}\,|a_{n}|^{2}.$

Площадь $D_{r}$ носит явно положительный характер. Поэтому правая частьявляется положительным. С $a_{-1}=1$, позволяя $r\to 1$,теорема теперь следует.

Остается только обосновать утверждение, что $\gamma _{r}$ позитивно ориентированвокруг $D_{r}$. Позволять $r'$ удовлетворить $r<r'<1$, и установите $z_{0}=f(r')$, сказать. Для очень маленького $s>0$, мы можем написатьвыражение для витков числа $\gamma _{s}$ вокруг $z_{0}$,и проверяем, что оно равно $1$. С, $\gamma _{t}$ делаетне пройти $z_{0}$ когда $t\neq r'$(как $f$ инъективен), инвариантностьчисла обмотки при гомотопии в дополнении $z_{0}$означает, что число витков $\gamma _{r}$ вокруг $z_{0}$ также $1$.Это означает, что $z_{0}\in D_{r}$ и это $\gamma _{r}$положительно ориентирован вокруг $D_{r}$, как требуется.

Использование

Неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты степенного ряда конформныхотображения представляли значительный интерес для математиков доРешение гипотезы Бибербаха . Теорема площадиявляется центральным инструментом в этом контексте. Более того, теорема площади частоиспользуется для доказательства теоремы Кёбе 1/4 , которая оченьполезен при изучении геометрии конформных отображений.

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., ISBN  978-0-07-054234-1 , МР   0924157 , OCLC   13093736