Поверхность Зейферта

В математике поверхность Зейферта (названа в честь немецкого математика Герберта Зейферта ). ^[1]^[2]) — ориентируемая поверхность которой , границей является заданный узел или звено .

Такие поверхности можно использовать для изучения свойств связанного узла или звена. Например, многие инварианты узлов легче всего вычислить с помощью поверхности Зейферта. Поверхности Зейферта также интересны сами по себе и являются предметом серьезных исследований.

В частности, пусть L — ручной ориентированный узел или звено в евклидовом 3-пространстве (или в 3-сфере ). Поверхность Зейферта — это компактная , связная , ориентированная поверхность S, вложенная в трехмерное пространство, граница которой равна , такая, что ориентация на L является просто ориентацией, индуцированной из S. L

Заметим, что любая компактная связная ориентированная поверхность с непустым краем в евклидовом трехмерном пространстве является поверхностью Зейферта, ассоциированной со своим граничным звеном. Один узел или звено может иметь множество различных неэквивалентных поверхностей Зейферта. Поверхность Зейферта должна быть ориентирована . Можно также связать поверхности с узлами, которые не ориентированы и не ориентируются.

Примеры

Стандартная лента Мёбиуса имеет узел на границе, но не является поверхностью Зейферта для узла, поскольку она неориентируема.

«Шахматная» раскраска обычной минимальной пересекающейся проекции узла -трилистника дает ленту Мёбиуса с тремя полузавитками. Как и в предыдущем примере, это не поверхность Зейферта, поскольку она неориентируема. Применение алгоритма Зейферта к этой диаграмме, как и ожидалось, действительно создает поверхность Зейферта; в данном случае это проколотый тор рода g = 1, а матрица Зейферта равна

V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.

Существование и матрица Зейферта

Это теорема , согласно которой любое звено всегда имеет связанную с ним поверхность Зейферта. Эта теорема была впервые опубликована Франклом и Понтрягиным в 1930 году. ^[3] Другое доказательство было опубликовано в 1934 году Гербертом Зейфертом и основано на том, что сейчас называется алгоритмом Зейферта. Алгоритм . создает поверхность Зейферта $S$ , учитывая проекцию рассматриваемого узла или звена.

Предположим, что соединение имеет m компонентов ( m = 1 для узла), диаграмма имеет d точек пересечения, а разрешение пересечений (с сохранением ориентации узла) дает f кругов. Тогда поверхность $S$ состоит из f непересекающихся дисков путем присоединения d полос. Группа гомологии $H_{1}(S)$ является свободной абелевой на генераторах 2g , где

g={\frac {1}{2}}(2+d-f-m)

это род $S$ . Форма пересечения Q на $H_{1}(S)$ является кососимметричным и существует базис из 2 g циклов $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}$ с $Q=(Q(a_{i},a_{j}))$ равна прямой сумме g копий матрицы

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

Иллюстрация (изотопных кривых) отталкиваний генератора гомологии a в положительном и отрицательном направлениях для поверхности Зейферта узла восьмерки.

размером 2 г × 2 г Целочисленная матрица Зейферта

V=(v(i,j))

имеет $v(i,j)$ число зацепления в евклидовом 3-пространстве (или в 3-сфере ) a _i и «отталкивание» a _j в положительном направлении $S$ . Точнее, напоминая, что поверхности Зейферта являются двухколларными, а это означает, что мы можем расширить вложение $S$ к встраиванию $S\times [-1,1]$ , учитывая некоторый репрезентативный цикл $x$ который является генератором гомологии внутри $S$ , положительное выталкивание $x\times \{1\}$ и отрицательное выталкивание $x\times \{-1\}$ . ^[4]

При этом мы имеем

V-V^{*}=Q,

где В ^∗ = ( v ( j , i )) транспонированная матрица. Каждая целая размером 2 г × 2 г матрица $V$ с $V-V^{*}=Q$ возникает как матрица Зейферта узла с поверхностью Зейферта рода g .

Полином Александера вычисляется из матрицы Зейферта по формуле $A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),$ который представляет собой полином степени не выше 2 g в неопределенной $t.$ Полином Александера не зависит от выбора поверхности Зейферта. $S,$ и является инвариантом узла или звена.

Сигнатура узла — это сигнатура симметричной матрицы Зейферта. $V+V^{\mathrm {T} }.$ Это снова инвариант узла или звена.

Род узла

Поверхности Зейферта вовсе не уникальны: поверхность Зейферта S рода g и матрица Зейферта V могут быть модифицированы с помощью топологической хирургии , в результате чего получается поверхность Зейферта S ′ рода g + 1 и матрица Зейферта.

V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.

Род определяемый узла K — это инвариант узла, минимальным родом g поверхности Зейферта K. для

Например:

Узел , который по определению является границей диска , имеет нулевой род. Более того, неузел — единственный узел нулевого рода.
Узел трилистник имеет род 1, как и узел восьмерка .
Род ( p , q ) -торического узла равен ( p − 1)( q − 1)/2
Степень полинома Александера узла является нижней границей удвоенного его рода.

Фундаментальным свойством рода является то, что он аддитивен по отношению к сумме узлов :

g(K_{1}\mathbin {\#} K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})

В общем, род узла вычислить сложно, и алгоритм Зейферта обычно не создает поверхность Зейферта наименьшего рода. По этой причине иногда полезны другие родственные инварианты. Канонический род $g_{c}$ узла — это наименьший род всех поверхностей Зейферта, которые можно построить с помощью алгоритма Зейферта, а свободный род $g_{f}$ является наименьшим родом всех поверхностей Зейферта, дополнение которых в $S^{3}$ это корпус-ручка . (Дополнение к поверхности Зейферта, созданное алгоритмом Зейферта, всегда представляет собой тело ручки.) Для любого узла выполняется неравенство $g\leq g_{f}\leq g_{c}$ очевидно, выполняется, поэтому, в частности, эти инварианты накладывают верхние границы на род. ^[5]

Род узлов является NP-полным согласно работам Яна Агола , Джоэла Хасса и Уильяма Терстона . ^[6]

Показано, что существуют поверхности Зейферта того же рода, которые не становятся изотопными ни топологически, ни гладко в 4-шаре. ^[7]^[8]

См. также

Ссылки

^ Зайферт, Х. (1934). «О полу узлов». Математика (на немецком языке). 110 (1): 571–592. дои : 10.1007/BF01448044 . S2CID 122221512 .
^ ван Вейк, Ярке Дж .; Коэн, Арье М. (2006). «Визуализация поверхностей Зейферта». Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 12 (4): 485–496. дои : 10.1109/TVCG.2006.83 . ПМИД 16805258 . S2CID 4131932 .
^ Франкл, Ф.; Понтрягин, Л. (1930). «Теорема об узле с применением к теории размерностей». Математика (на немецком языке). 102 (1): 785–789. дои : 10.1007/BF01782377 . S2CID 123184354 .
^ Дейл Рольфсен. Узлы и Связи. (1976), 146–147.
^ Бриттенхэм, Марк (24 сентября 1998 г.). «Ограничивающий канонический объем границ рода». arXiv : математика/9809142 .
^ Агол, Ян ; Хасс, Джоэл ; Терстон, Уильям (19 мая 2002 г.). «Род узлов 3-многообразия NP-полный» . Материалы тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . СТОК '02. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 761–766. arXiv : math/0205057 . дои : 10.1145/509907.510016 . ISBN 978-1-58113-495-7 . S2CID 10401375 – по авторской ссылке.
^ Хайден, Кайл; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги; Пак, ЮнгХван; Сундберг, Исаак (30 мая 2022 г.). «Поверхности Зейферта в четверке». arXiv : 2205.15283 [ math.GT ].
^ «Специальные поверхности остаются различимыми в четырех измерениях» . Журнал Кванта . 16 июня 2022 г. Проверено 16 июля 2022 г.

Внешние ссылки

Программа SeifertView Джека ван Вейка визуализирует поверхности Зейферта узлов, построенных с использованием алгоритма Зейферта.

[1] Зайферт, Х. (1934). «О полу узлов». Математика (на немецком языке). 110 (1): 571–592. дои : 10.1007/BF01448044 . S2CID 122221512 .

[2] ван Вейк, Ярке Дж .; Коэн, Арье М. (2006). «Визуализация поверхностей Зейферта». Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 12 (4): 485–496. дои : 10.1109/TVCG.2006.83 . ПМИД 16805258 . S2CID 4131932 .

[3] Франкл, Ф.; Понтрягин, Л. (1930). «Теорема об узле с применением к теории размерностей». Математика (на немецком языке). 102 (1): 785–789. дои : 10.1007/BF01782377 . S2CID 123184354 .

[4] Дейл Рольфсен. Узлы и Связи. (1976), 146–147.

[5] Бриттенхэм, Марк (24 сентября 1998 г.). «Ограничивающий канонический объем границ рода». arXiv : математика/9809142 .

[6] Агол, Ян ; Хасс, Джоэл ; Терстон, Уильям (19 мая 2002 г.). «Род узлов 3-многообразия NP-полный» . Материалы тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . СТОК '02. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 761–766. arXiv : math/0205057 . дои : 10.1145/509907.510016 . ISBN 978-1-58113-495-7 . S2CID 10401375 – по авторской ссылке.

[7] Хайден, Кайл; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги; Пак, ЮнгХван; Сундберг, Исаак (30 мая 2022 г.). «Поверхности Зейферта в четверке». arXiv : 2205.15283 [ math.GT ].

[8] «Специальные поверхности остаются различимыми в четырех измерениях» . Журнал Кванта . 16 июня 2022 г. Проверено 16 июля 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Теория узлов ( узлы и звенья )
Hyperbolic	Figure-eight (4₁) Three-twist (5₂) Stevedore (6₁) 6₂ 6₃ Endless (7₄) Carrick mat (8₁₈) Perko pair (10₁₆₁) Conway knot (11n34) Kinoshita–Terasaka knot (11n42) (−2,3,7) pretzel (12n242) Whitehead (5² ₁) Borromean rings (6³ ₂) L10a140
Satellite	Composite knots Granny Square Knot sum
Torus	Unknot (0₁) Trefoil (3₁) Cinquefoil (5₁) Septafoil (7₁) Unlink (0² ₁) Hopf (2² ₁) Solomon's (4² ₁)
Invariants	Alternating Arf invariant Bridge no. 2-bridge Brunnian Chirality Invertible Crosscap no. Crossing no. Finite type invariant Hyperbolic volume Khovanov homology Genus Knot group Link group Linking no. Polynomial Alexander Bracket HOMFLY Jones Kauffman Pretzel Prime list Stick no. Tricolorability Unknotting no. and problem
Notation and operations	Alexander–Briggs notation Conway notation Dowker–Thistlethwaite notation Flype Mutation Reidemeister move Skein relation Tabulation
Other	Alexander's theorem Berge Braid theory Conway sphere Complement Double torus Fibered Knot List of knots and links Ribbon Slice Sum Tait conjectures Twist Wild Writhe Surgery theory
Category Commons