Кобордизм

Кобордизм ( W ; M , N ).

В математике bord кобордизм — это фундаментальное отношение эквивалентности в классе компактных многообразий одной и той же размерности, устанавливаемое с использованием понятия границы ( франц. , дающего кобордизм ) многообразия. Два многообразия одной и той же размерности называются кобордантными, если их непересекающееся объединение является границей компактного многообразия на одно измерение выше.

Границей ( n + 1)-мерного многообразия W называется n -мерное многообразие ∂ W , замкнутое, т. е. с пустым краем. В общем, замкнутое многообразие не обязательно должно быть границей: теория кобордизмов - это изучение разницы между всеми замкнутыми многообразиями и теми, которые являются границами. Первоначально теория была разработана Рене Томом для гладких многообразий (т. е. дифференцируемых), но теперь существуют версии и для Кусочно-линейные и топологические многообразия .

Кобордизм , между многообразиями M и N — это компактное многообразие W, которого представляет собой несвязное объединение M и N граница $\partial W=M\sqcup N$.

Кобордизмы изучаются как на предмет отношения эквивалентности, которое они порождают, так и как самостоятельные объекты. Кобордизм - это гораздо более грубое отношение эквивалентности, чем диффеоморфизм или гомеоморфизм многообразий, и его значительно легче изучать и вычислять. Невозможно классифицировать многообразия с точностью до диффеоморфизма или гомеоморфизма в размерностях ≥ 4 – поскольку проблема слов для групп не может быть решена – но можно классифицировать многообразия с точностью до кобордизма. Кобордизмы — центральные объекты изучения геометрической топологии и алгебраической топологии . В геометрической топологии кобордизмы тесно связаны с теорией Морса , а h -кобордизмы играют фундаментальную роль в изучении многообразий большой размерности, а именно в теории хирургии . В алгебраической топологии теории кобордизмов являются фундаментальными теориями экстраординарных когомологий , а категории кобордизмов являются областями топологических квантовых теорий поля .

Определение

Коллекторы

Грубо говоря, n -мерное многообразие M — это топологическое пространство, локально (т. е. вблизи каждой точки) гомеоморфное открытому подмножеству евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{n}.$ Многообразие с краем аналогично, за исключением того, что точка M может иметь окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству полупространства .

$\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.$

Те точки, у которых нет окрестностей, гомеоморфных открытому подмножеству евклидова пространства, являются граничными точками $M$; граница $M$ обозначается $\partial M$. Наконец, замкнутое многообразие по определению — это компактное многообразие без края ( $\partial M=\emptyset$.)

Кобордизмы

Ан $(n+1)$-мерный кобордизм представляет собой пятерку $(W;M,N,i,j)$ состоящий из $(n+1)$-мерное компактное дифференцируемое многообразие с краем, $W$; закрыто $n$-многообразия $M$, $N$; и вложения $i\colon M\hookrightarrow \partial W$, $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ с непересекающимися изображениями, такими что

$\partial W=i(M)\sqcup j(N)~.$

Терминологию обычно сокращают до $(W;M,N)$. M и N называются кобордантными , если такой кобордизм существует. кобордантные фиксированному данному многообразию M, образуют класс кобордизмов M Все многообразия , .

Каждое замкнутое многообразие M является границей некомпактного многообразия M × [0, 1); по этой причине мы требуем, чтобы W было компактным в определении кобордизма. Однако обратите внимание, что W не требуется подключение ; как следствие, если M = ∂ W ₁ и N = ∂ W ₂ , то M и N кобордантны.

Примеры

Простейшим примером кобордизма является единичный интервал I = [0, 1] . Это одномерный кобордизм между 0-мерными многообразиями {0}, {1}. В более общем смысле, для любого замкнутого многообразия M ( M × I ; M × {0} , M × {1} ) является кобордизмом из M × {0} в M × {1}.

Кобордизм между одним кругом (вверху) и парой непересекающихся кругов (внизу).

Если M состоит из круга , а N из двух кругов, M и N вместе составляют границу пары штанов W (см. рисунок справа). пара штанов представляет собой кобордизм между M и N. Таким образом , Более простой кобордизм между M и N дается несвязным объединением трех дисков.

Пара штанов является примером более общего кобордизма: для любых двух n -мерных многообразий M , M ′ непересекающееся объединение $M\sqcup M'$ кобордантна связной сумме $M\mathbin {\#} M'.$ Предыдущий пример является частным случаем, поскольку связная сумма $\mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}$ изоморфен $\mathbb {S} ^{1}.$ Связная сумма $M\mathbin {\#} M'$ получается из непересекающегося объединения $M\sqcup M'$ хирургическим путем вживления $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}$ в $M\sqcup M'$, а кобордизм — это след операции.

Терминология

n и пустым -многообразие M называется нуль-кобордантным, существует кобордизм если между M многообразием ; другими словами, если M — вся граница некоторого ( n + 1)-многообразия. Например, окружность является нуль-кобордантной, поскольку она ограничивает диск. В более общем смысле, n -сфера является нуль-кобордантной, поскольку она ограничивает ( n + 1)-диск. Кроме того, каждая ориентируемая поверхность является нулевой-кобордантной, поскольку она является границей тела ручки . С другой стороны, 2 n -мерное реальное проективное пространство $\mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )$ представляет собой (компактное) замкнутое многообразие, которое не является границей многообразия, как объясняется ниже.

Общая проблема бордизмов состоит в вычислении классов кобордизмов многообразий, подчиненных различным условиям.

Нуль-кобордизмы с дополнительной структурой называются заполнениями . бордизм и кобордизм Некоторые авторы используют как синонимы; другие различают их. Когда кто-то желает отличить изучение классов кобордизмов от изучения кобордизмов как самостоятельных объектов, он называет вопрос об эквивалентности бордизмом многообразий , а изучение кобордизмов как объектов — кобордизмами многообразий .

Термин «бордизм» происходит от французского слова «bord» , что означает «граница». Следовательно, бордизм – это изучение границ. Кобордизм означает «совместно связанное», поэтому M и N являются кобордантными, если они совместно связывают многообразие; т. е. если их непересекающееся объединение является границей. Далее, группы кобордизмов образуют необыкновенную теорию когомологий , отсюда и ко-.

Варианты

Вышеизложенное является наиболее основной формой определения. Его еще называют неориентированным бордизмом. Во многих ситуациях рассматриваемые многообразия ориентированы или несут некоторую другую дополнительную структуру, называемую G-структурой . Это порождает «ориентированный кобордизм» и «кобордизм с G-структурой» соответственно. При благоприятных технических условиях они образуют градуированное кольцо, называемое кольцом кобордизмов. $\Omega _{*}^{G}$, с градуировкой по размерности, сложением непересекающимся объединением и умножением на декартово произведение . Группы кобордизмов $\Omega _{*}^{G}$ — группы коэффициентов обобщенной теории гомологии .

При наличии дополнительной структуры понятие кобордизма необходимо сформулировать более точно: G структура на W ограничивается G -структурой на M и N. - Основными примерами являются G = O для неориентированного кобордизма, G = SO для ориентированного кобордизма и G = U для комплексного кобордизма с использованием стабильно комплексных многообразий . Многие другие подробно описаны Робертом Э. Стонгом .

Аналогичным образом, стандартным инструментом в теории хирургии является операция на картах нормалей : такой процесс меняет карту нормалей на другую карту нормалей в том же классе бордизмов .

Вместо рассмотрения дополнительной структуры также можно принять во внимание различные понятия многообразия, особенно кусочно-линейного (ПЛ) и топологического многообразия . Это порождает группы бордизмов. $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$, которые сложнее вычислить, чем дифференцируемые варианты.

Строительство хирургии

Напомним, что, вообще говоря, если X , Y — многообразия с краем, то границей многообразия произведений является ∂( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y ) .

Теперь, учитывая многообразие M размерности n = p + q и вложение $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ определить n -многообразие

$N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi |_{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)$

полученный хирургическим путем , путем вырезания внутренней части $\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}$ и вклеивание $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}$ вдоль их границы

$\partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).$

След от операции

$W:=(M\times I)\cup _{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\times \{1\}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {D} ^{q}\right)$

определяет элементарный кобордизм ( W ; M , N ). Обратите внимание, что M получается из N перестройкой $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ Это называется отменой операции .

Каждый кобордизм представляет собой объединение элементарных кобордизмов, созданных Марстоном Морсом , Рене Томом и Джоном Милнором .

Примеры

Рис. 1

Согласно приведенному выше определению, операция на круге заключается в вырезании копии $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}$ и вклеивание $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.$ Изображения на рис. 1 показывают, что результатом этого является либо (i) $\mathbb {S} ^{1}$ еще раз, или (ii) две копии $\mathbb {S} ^{1}$

Рис. 2а

Рис. 2б

Для операции на 2-сфере возможностей больше, так как мы можем начать с вырезания либо $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ или $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.$

1. $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}$: Если мы удалим цилиндр из 2-сферы, у нас останется два диска. Нам нужно приклеить обратно $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ – то есть два диска – и ясно, что в результате мы получим две непересекающиеся сферы. (рис. 2а)

2. 

   Рис. 2в. Эту фигуру нельзя встроить в трехмерное пространство.

   $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$: Вырезав два диска $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2},$ вклеиваем обратно в цилиндр $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.$ Есть два возможных результата, в зависимости от того, имеют ли наши карты склейки одинаковую или противоположную ориентацию на двух граничных кругах. Если ориентации одинаковы (рис. 2б), то полученное многообразие является тором $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ но если они различны, то получим бутылку Клейна (рис. 2в).

Функции Морса

Предположим, что f — функция Морса на ( n + 1)-мерном многообразии, и предположим, что c — критическое значение с ровно одной критической точкой в ​​прообразе. Если индекс этой критической точки равен p + 1, то множество уровня N := f ⁻¹ ( c + ε) получается из M := f ⁻¹ ( c − ε) с помощью p -хирургии. Прообраз W := f ⁻¹ ([ c − ε, c + ε]) определяет кобордизм ( W ; M , N ), который можно отождествить со следом этой перестройки.

Геометрия и связь с теорией Морса и корпусами ручек.

Для кобордизма ( W ; M , N ) существует гладкая функция f : W → [0, 1] такая, что f ⁻¹ (0) = М , ж ⁻¹ (1) Н. = По общему положению можно предположить, что f является морсовской и такой, что все критические точки находятся внутри W . В этом случае f называется функцией Морса на кобордизме. Кобордизм ( W ; M , N ) — это объединение следов последовательности операций на M , по одному для каждой критической точки f . Многообразие W получается из M × [0, 1] добавлением одной ручки к каждой критической точке f .

Трехмерный кобордизм $W=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}-\mathbb {D} ^{3}$ между 2- сферой $M=\mathbb {S} ^{2}$ и 2- тор $N=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1},$ с N, полученным из М хирургическим путем $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\subset M,$и W, полученные из M × I присоединением 1-ручки $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}.$

Теорема Морса/Смейла утверждает, что для функции Морса в кобордизме линии тока f ′ приводят к ручочному представлению тройки ( W ; M , N ). И наоборот, при разложении кобордизма по ручке он получается из подходящей функции Морса. В надлежащим образом нормализованной настройке этот процесс дает соответствие между дескрипторными разложениями и функциями Морса в кобордизмах.

История

Корни кобордизма лежат в (неудавшейся) попытке Анри Пуанкаре в 1895 году определить гомологию исключительно в терминах многообразий ( Dieudonné 1989 , стр. 289 ). Пуанкаре одновременно определил и гомологию, и кобордизм, которые, вообще говоря, не одно и то же. Рассматривайте кобордизм как необычную теорию когомологии, объясняющую связь между бордизмом и гомологией.

Бордизм был явно введен Львом Понтрягиным в геометрических работах о многообразиях. Это стало известно, когда Рене Том показал, что группы кобордизмов могут быть вычислены с помощью теории гомотопий с помощью комплексной конструкции Тома . Теория кобордизмов стала частью аппарата теории необычных когомологий , наряду с К-теорией . С исторической точки зрения он сыграл важную роль в развитии топологии в 1950-х и начале 1960-х годов, в частности в теореме Хирцебруха-Римана-Роха и в первых доказательствах теоремы об индексе Атьи-Зингера .

В 1980-х годах категория с компактными многообразиями в качестве объектов и кобордизмами между ними в качестве морфизмов играла основную роль в аксиомах Атьи-Сигала для топологической квантовой теории поля , которая является важной частью квантовой топологии .

Категориальные аспекты

Кобордизмы являются самостоятельными объектами изучения, помимо классов кобордизмов. Кобордизмы образуют категорию , объектами которой являются замкнутые многообразия и морфизмы которых являются кобордизмами. Грубо говоря, композиция задается склейкой кобордизмов встык: композиция ( W ; M , N ) и ( W '; N , P ) определяется склеиванием правого конца первого с левым концом второй, давая ( W ′ ∪ _N W ; M , P ). Кобордизм — это разновидность коспана : М → Ж ← Н . Категория представляет собой компактный кинжал .

Топологическая квантовая теория поля представляет собой моноидальный функтор из категории кобордизмов в категорию векторных пространств . То есть это функтор , значение которого в несвязном объединении многообразий эквивалентно тензорному произведению его значений на каждом из составляющих многообразий.

В малых размерностях вопрос о бордизме относительно тривиален, а о категории кобордизма — нет. Например, диск, ограничивающий круг, соответствует нулевой (0-арной) операции, цилиндр соответствует 1-арной операции, а пара штанов — двоичной операции.

Неориентированный кобордизм

Дополнительная информация: Список теорий когомологии § Неориентированный кобордизм

Множество классов кобордизмов замкнутых неориентированных n -мерных многообразий обычно обозначается через ${\mathfrak {N}}_{n}$ (вместо более систематического $\Omega _{n}^{\text{O}}$); это абелева группа с дизъюнктным объединением в качестве операции. Более конкретно, если [ M ] и [ N ] обозначают классы кобордизмов многообразий M и N соответственно, мы определяем $[M]+[N]=[M\sqcup N]$; это четко определенная операция, которая превращает ${\mathfrak {N}}_{n}$ в абелеву группу. Единичным элементом этой группы является класс $[\emptyset ]$ состоящее из всех замкнутых n -многообразий, являющихся границами. Дальше у нас есть $[M]+[M]=[\emptyset ]$ для каждого M с тех пор $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$. Поэтому, ${\mathfrak {N}}_{n}$ является векторным пространством над $\mathbb {F} _{2}$, поле с двумя элементами . Декартово произведение многообразий определяет умножение $[M][N]=[M\times N],$ так

${\mathfrak {N}}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak {N}}_{n}$

является градуированной алгеброй с градуировкой, заданной размерностью.

Класс кобордизма $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ замкнутого неориентированного n многообразия M определяется характеристическими числами Стифеля–Уитни M - мерного , которые зависят от класса стабильного изоморфизма касательного расслоения . Таким образом, если M имеет стабильно тривиальное касательное расслоение, то $[M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}$. В 1954 году Рене Том доказал

${\mathfrak {N}}_{*}=\mathbb {F} _{2}\left[x_{i}|i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1\right]$

алгебра полиномов с одним генератором $x_{i}$ в каждом измерении $i\neq 2^{j}-1$. Таким образом, два неориентированных замкнутых n -мерных многообразия M , N кобордантны, $[M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},$ тогда и только тогда, когда для каждой коллекции $\left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)$ из k -кортежей целых чисел $i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1$ такой, что $i_{1}+\cdots +i_{k}=n$ числа Штифеля-Уитни равны

$\left\langle w_{i_{1}}(M)\cdots w_{i_{k}}(M),[M]\right\rangle =\left\langle w_{i_{1}}(N)\cdots w_{i_{k}}(N),[N]\right\rangle \in \mathbb {F} _{2}$

с $w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)$ i - й класс Штифеля-Уитни и $[M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)$ тот $\mathbb {F} _{2}$-коэффициент фундаментального класса .

Даже я могу выбрать $x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]$, класс кобордизмов i -мерного вещественного проективного пространства .

Маломерные неориентированные группы кобордизмов:

${\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{aligned}}$

Это показывает, например, что каждое трехмерное замкнутое многообразие является границей 4-многообразия (с краем).

Эйлерова характеристика $\chi (M)\in \mathbb {Z}$ по модулю 2 неориентированного многообразия M является инвариантом неориентированных кобордизмов. Это следует из уравнения

$\chi _{\partial W}=\left(1-(-1)^{\dim W}\right)\chi _{W}$

для любого компактного многообразия с краем $W$.

Поэтому, $\chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2$ является корректно определенным групповым гомоморфизмом. Например, для любого $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$

$\chi \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {R} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {R} )\right)=1.$

В частности, такое произведение вещественных проективных пространств не является нуль-кобордантным. Характеристическая карта Эйлера mod 2 $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ это для всех $i\in \mathbb {N} ,$ и групповой изоморфизм для $i=1.$

Более того, из-за $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$, эти групповые гомоморфизмы собираются в гомоморфизм градуированных алгебр:

${\begin{cases}{\mathfrak {N}}\to \mathbb {F} _{2}[x]\\[][M]\mapsto \chi (M)x^{\dim(M)}\end{cases}}$

Кобордизм многообразий с дополнительной структурой

Кобордизм также можно определить для многообразий, имеющих дополнительную структуру, в частности ориентацию. В общем виде это делается формально с использованием понятия X -структуры (или G-структуры ). Очень кратко: нормальное расслоение ν погружения M в достаточно многомерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n+k}$ приводит к отображению M в грассманиан , который, в свою очередь, является подпространством классифицирующего пространства ортогональной группы : ν: M → Gr ( n , n + k ) → BO ( k ). Учитывая набор пространств и отображений X _k → X _{k +1} с отображениями X _k → BO ( k ) (совместимыми с включениями BO ( k ) → BO ( k +1), X -структура является лифтом ν в карта ${\tilde {\nu }}:M\to X_{k}$. Рассмотрение только многообразий и кобордизмов с X -структурой приводит к более общему понятию кобордизма. В частности, X _k может быть задано как BG ( k ), где G ( k ) → O ( k ) — некоторый групповой гомоморфизм. Это называется G-структурой . Примеры включают G = O , ортогональную группу, возвращающую неориентированный кобордизм, а также подгруппу SO( k ) , порождающую ориентированный кобордизм , спиновую группу , унитарную группу U ( k ) и тривиальную группу, порождающую создать кобордизм .

Полученные группы кобордизмов затем определяются аналогично неориентированному случаю. Они обозначаются $\Omega _{*}^{G}$.

Ориентированный кобордизм

Дополнительная информация: Список теорий когомологии § Ориентированный кобордизм

Ориентированный кобордизм — это многообразий с SO-структурой. Эквивалентно, все многообразия должны быть ориентированы , а кобордизмы ( W , M , N ) (также называемые для ясности ориентированными кобордизмами ) таковы, что граница (с индуцированными ориентациями) равна $M\sqcup (-N)$, где − N обозначает N с обратной ориентацией. Например, граница цилиндра M × I равна $M\sqcup (-M)$: оба конца имеют противоположную ориентацию. Это также правильное определение в смысле теории необыкновенных когомологий .

В отличие от группы неориентированных кобордизмов, где каждый элемент является двукрученным, 2 M вообще не является ориентированной границей, то есть 2[ M ] ≠ 0 при рассмотрении в $\Omega _{*}^{\text{SO}}.$

Группы ориентированных кобордизмов задаются по модулю кручения формулой

$\Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} \left[y_{4i}\mid i\geqslant 1\right],$

алгебра полиномов, порожденная классами ориентированных кобордизмов

$y_{4i}=\left[\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )\right]\in \Omega _{4i}^{\text{SO}}$

комплексных проективных пространств (Том, ​​1952). Группа ориентированных кобордизмов $\Omega _{*}^{\text{SO}}$ определяется характеристическими числами Штифеля–Уитни и Понтрягина (Wall, 1960). Два ориентированных многообразия ориентированы кобордантно тогда и только тогда, когда их числа Стифеля–Уитни и Понтрягина одинаковы.

Группы ориентированных кобордизмов малой размерности:

${\begin{aligned}\Omega _{0}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{1}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{2}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{3}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{4}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{5}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} _{2}.\end{aligned}}$

Сигнатура определяется ориентированного 4 i -мерного многообразия M как сигнатура формы пересечения на $H^{2i}(M)\in \mathbb {Z}$ и обозначается $\sigma (M).$ Это ориентированный кобордизм-инвариант, который выражается через числа Понтрягина сигнатурной теоремой Хирцебруха .

Например, для любого i ₁ , ..., i _k ≥ 1

$\sigma \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {C} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {C} )\right)=1.$

Карта подписи $\sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z}$ является онтным для всех i ≥ 1 и изоморфизмом для i = 1.

Кобордизм как необычная теория когомологий

Каждая теория векторных расслоений (вещественная, комплексная и т. д.) имеет необычную теорию когомологий, называемую K-теорией . Аналогично, каждая теория кобордизмов Ω ^Г имеет необычную теорию когомологий с группами гомологий («бордизмов»). $\Omega _{n}^{G}(X)$ и группы когомологий («кобордизмов») $\Omega _{G}^{n}(X)$ для любого пространства X . Обобщенные группы гомологии $\Omega _{*}^{G}(X)$ ковариантны , а в X группы обобщенных когомологий $\Omega _{G}^{*}(X)$ контравариантны ​ в X. ​Определенные выше группы кобордизмов с этой точки зрения являются группами гомологии точки: $\Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})$. Затем $\Omega _{n}^{G}(X)$ — группа классов бордизмов пар ( M , f ), где M — замкнутое n -мерное многообразие M (с G-структурой) и f : M → X — отображение. Такие пары ( M , f ), ( N , g ) бордантны , если существует G-кобордизм ( W ; M , N ) с отображением h : W → X , которое ограничивается до f на M и до g на N. .

n ) ( с -мерное многообразие M имеет фундаментальный класс гомологий [ M ] ∈ H _n ( M коэффициентами из $\mathbb {Z} /2$ вообще и в $\mathbb {Z}$ в ориентированном случае), определяя естественное преобразование

${\begin{cases}\Omega _{n}^{G}(X)\to H_{n}(X)\\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{cases}}$

что, вообще говоря, далеко не является изоморфизмом.

Теории бордизмов и кобордизмов пространства удовлетворяют аксиомам Эйленберга – Стинрода, за исключением аксиомы размерности. Это не означает, что группы $\Omega _{G}^{n}(X)$ можно эффективно вычислить, если знать теорию кобордизмов точки и гомологии пространства X , хотя спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха дает отправную точку для вычислений. Вычисление становится простым только в том случае, если конкретная теория кобордизмов сводится к произведению обычных теорий гомологий , и в этом случае группы бордизмов являются обычными группами гомологий.

$\Omega _{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Omega _{q}^{G}({\text{pt}})).$

Это справедливо для неориентированного кобордизма. Другие теории кобордизма не сводятся к обычной гомологии таким образом, в частности, созданный кобордизм , ориентированный кобордизм и комплексный кобордизм . Последняя теория, в частности, широко используется алгебраическими топологами в качестве вычислительного инструмента (например, для гомотопических групп сфер ).

Теории кобордизмов представлены спектрами Тома MG : для группы G спектр Тома состоит из пространств Тома MG _n стандартных векторных расслоений над классифицирующими пространствами BG _n . Обратите внимание, что даже для схожих групп спектры Тома могут сильно различаться: MSO и MO сильно различаются, что отражает разницу между ориентированным и неориентированным кобордизмом.

С точки зрения спектров неориентированный кобордизм представляет собой произведение спектров Эйленберга–Маклейна – MO = H ( π _∗ ( MO )) – тогда как ориентированный кобордизм является произведением спектров Эйленберга – Маклейна рационально, причем при 2, но не при нечетные простые числа: спектр ориентированных кобордизмов MSO значительно сложнее, чем MO .

Другие результаты

В 1959 году С.Т.С. Уолл доказал, что два многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда их числа Понтрягина и числа Стифеля совпадают.

См. также

• h -кобордизм
• Согласование ссылок
• Список теорий когомологии
• Симплектическое заполнение
• Гипотеза кобордизма
• Кобордизм кольцо
• Хронология бордизма

Ссылки

• Джон Фрэнк Адамс , Стабильная гомотопия и обобщенная гомология , Univ. Чикаго Пресс (1974).
• Аносов Дмитрий Владимирович ; Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «бордизм» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Майкл Ф. Атья , Бордизм и кобордизм . Учеб. Кэмб. Фил. Соц. 57, стр. 200–208 (1961).
• Дьедонне, Жан Александр (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960 гг . Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-3388-2 .
• Косински, Антони А. (19 октября 2007 г.). «Дифференциальные многообразия» (Документ). Дуврские публикации.
• Мэдсен, Иб ; Милгрэм, Р. Джеймс (1979). Классифицирующие пространства для перестроек и кобордизмов многообразий . Принстон, Нью-Джерси : Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-08226-4 .
• Милнор, Джон (1962). «Обзор теории кобордизма». Математическое образование . 8 :16–23. ISSN   0013-8584 .
• Сергей Новиков , Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов , Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат. 31 (1967), 855–951.
• Лев Понтрягин , Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий, Переводы Американского математического общества, Сер. 2, Том. 11, стр. 1–114 (1959).
• Дэниел Куиллен , О формальных групповых законах неориентированной и сложной теории кобордизмов Bull. амер. Математика. Soc., 75 (1969), стр. 1293–1298.
• Дуглас Равенел , Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер , Акад. Пресс (1986).
• Юлий Б. Рудяк (2001) [1994], «Кобордизм» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Юлий Б. Рудяк , О спектрах Тома, ориентируемости и (ко)бордизме , Springer (2008).
• Роберт Э. Стонг , Заметки по теории кобордизмов , Princeton Univ. Пресс (1968).
• Тайманов, Искандер А. (2007). Топологическая библиотека. Часть 1: кобордизмы и их приложения . Серия «Узлы и все такое». Том. 39. С. Новиков (ред.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Хакенсак, Нью-Джерси. ISBN  978-981-270-559-4 .
• Рене Том , Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий , Commentarii Mathematici Helvetici 28, 17-86 (1954).
• Уолл, CTC (1960). «Определение кольца кобордизмов». Анналы математики . Вторая серия. 72 (2). Анналы математики, Vol. 72, № 2: 292–311. дои : 10.2307/1970136 . ISSN   0003-486X . JSTOR   1970136 .

Внешние ссылки

• Бордизм в Атласе многообразий.
• B-бордизм на Атласе многообразий.