Хронология бордизма

Это временная шкала бордизма , топологической теории, основанной на концепции границы многообразия . Для контекста см. хронологию коллекторов . Жан Дьедонне писал, что кобордизм возвращается к попытке 1895 года определить теорию гомологии, используя только (гладкие) многообразия.

Интегральные теоремы

Год	Авторы	Событие
Конец 17 века	Готфрид Вильгельм Лейбниц и другие.	Фундаментальная теорема исчисления — это основной результат интегрального исчисления в одном измерении и основная «интегральная теорема». Первообразную определенного функции можно использовать для вычисления интеграла на интервале как знаковой комбинации первообразной в конечных точках. Следствием является то, что если производная функции равна нулю, функция постоянна.
1760-е годы	Жозеф-Луи Лагранж	Вводит преобразование поверхностного интеграла в объемный интеграл . поверхность кубоида использовалась В то время общие поверхностные интегралы не были определены, и в задаче о распространении звука .
1889	Вито Вольтерра	Версия теоремы Стокса в n измерениях с использованием антисимметрии.
1899	Анри Пуанкаре	В книге « Новые методы небесной механики » он представляет версию теоремы Стокса в n измерениях, используя, по сути, обозначения дифференциальной формы.
1899	Эли Картан	Определение внешней алгебры дифференциальных форм в евклидовом пространстве .
около 1900 г.	Математический фольклор	Ситуация в конце XIX века такова, что геометрическая форма основной теоремы исчисления доступна, если все было достаточно гладко, когда требуется строгость, и в евклидовом пространстве n измерений. Результатом, соответствующим приравниванию производной к нулю, является применение ее к замкнутым формам , и как таковой это «математический фольклор». По сути, это замечание, что существуют интегральные теоремы для подмногообразий, связанных кобордизмом . Аналогом теоремы о нулевой производной будет для подмногообразий $M_{1}$ и $M_{2}$ которые совместно образуют границу многообразия N , и форму $\omega$ определено на N с $d\omega =0$. Тогда интегралы $I_{1}$ и $I_{2}$ из $\omega$ над $M_{j}$ равны. Сумма со знаком, наблюдаемая в случае границы размерности 0, отражает необходимость использования ориентаций на многообразиях для определения интегралов.
1931–2	ВВД Ходж	Векторному исчислению малых размерностей отведено место в общем тензорном исчислении во всех измерениях с использованием дифференциальных форм и оператора звезды Ходжа . Кодифференциал , сопряженный с внешней производной, представляет собой общую форму оператора дивергенции. Замкнутые формы двойственны формам дивергенции 0.

Когомологии

Год	Авторы	Событие
1920-е годы	Эли Картан и Герман Вейль	Топология групп Ли .
1931	Жорж де Рам	Теорема Де Рама : для компактного дифференциального многообразия цепной комплекс дифференциальных форм вычисляет вещественные группы гомологий.
1935–1940	Групповые усилия	возникает Понятие когомологии в алгебраической топологии , контравариантной и двойственной гомологии . В рамках де Рама когомологии дают классы эквивалентных подынтегральных выражений, различающихся замкнутыми формами ; гомология классифицирует области интеграции вплоть до границ. Когомологии Де Рама становятся основным инструментом для гладких многообразий .
1942	Лев Понтрягин	Опубликовав полную версию в 1947 году, Понтрягин основал новую теорию кобордизмов , в результате которой замкнутое многообразие, являющееся границей, имеет нулевые числа Штифеля-Уитни . Из следствия фольклорной теоремы Стокса классы кобордизмов подмногообразий инвариантны для интегрирования замкнутых дифференциальных форм ; введение алгебраических инвариантов открывает возможности для вычислений с отношением эквивалентности как чем-то внутренним.
1940-е годы		Теории расслоений со структурной группой G ; классификации пространств BG ; характеристических классов, таких как класс Штифеля-Уитни и класс Понтрягина .
1945	Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод	Аксиомы Эйленберга – Стинрода для характеристики теории гомологии и когомологий в классе пространств.
1946	Норман Стинрод	Проблема Стинрода . Сформулированная как проблема 25 в списке Эйленберга, составленном в 1946 году, она спрашивает, является ли целочисленный класс гомологии симплициального комплекса в степени непрерывного n образом отображения фундаментального класса ориентированного многообразия размерности n ? Предыдущий вопрос требует охарактеризовать классы сферической гомологии. Следующий вопрос требует критерия из алгебраической топологии , позволяющего ориентируемому многообразию быть границей.
1958	Фрэнк Адамс	Спектральная последовательность Адамса для потенциального вычисления стабильных гомотопических групп из групп когомологий.

Гомотопическая теория

Год	Авторы	Событие
1954	Рене Том	Формальное определение кобордизма ориентированных многообразий как отношения эквивалентности. как кольцо с непересекающимся объединением и декартовым произведением . Том вычислил кольцо кобордизмов ${\mathfrak {N}}_{*}$ неориентированных гладких многообразий; и представил кольцо $\Omega _{*}$ ориентированных гладких многообразий. ${\mathfrak {N}}_{*}$ — полиномиальная алгебра над полем из двух элементов с одним образующим в каждой степени, за исключением степеней на единицу меньше степени двойки.
1954	Рене Том	В современных обозначениях Том внес свой вклад в проблему Стинрода с помощью гомоморфизма $\Phi \colon \Omega _{\ast }^{\mathrm {SO} }(X)\to H_{\ast }(X,\mathbb {Z} )$, гомоморфизм Тома. Конструкция пространства Тома M свела теорию к изучению отображений в когомологиях $H^{\ast }(\mathrm {MSO} (k))\to H^{\ast }(X)$.
1955	Мишель Лазар	Универсальное кольцо Лазара , кольцо определения универсального закона формальной группы в одном измерении.
1960	Майкл Атья	Определение групп кобордизмов и групп бордизмов пространства X .
1969	Дэниел Куиллен	Формальный групповой закон, связанный с комплексным кобордизмом, является универсальным.