Стабильная теория гомотопий

В математике алгебраической стабильная гомотопическая теория — это часть теории гомотопии (и, следовательно, топологии ), занимающаяся всеми структурами и явлениями, которые остаются после достаточно большого количества применений функтора подвески . Основополагающим результатом стала теорема Фрейденталя о подвеске , которая утверждает, что для любого точечного пространства $X$ , гомотопические группы $\pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)$ стабилизировать для $n$ достаточно большой. В частности, гомотопические группы сфер $\pi _{n+k}(S^{n})$ стабилизировать для $n\geq k+2$ . Например,

\langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots

\langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{5}(S^{4})\cong \cdots

В двух приведенных выше примерах все отображения между гомотопическими группами являются приложениями функтора надстройки . Первый пример является стандартным следствием теоремы Гуревича , согласно которой $\pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z}$ . Во втором примере карта Хопфа , $\eta$ , отображается в его приостановку $\Sigma \eta$ , который генерирует $\pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2$ .

Одной из важнейших проблем теории стабильных гомотопий является вычисление стабильных гомотопических групп сфер . Согласно теореме Фрейденталя, в стабильной области гомотопические группы сфер зависят не от конкретных размеров сфер в области и цели, а от разницы в этих измерениях. Учитывая это, k -й стабильный стебель равен

\pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})

.

Это абелева группа для всех k . Это теорема Жана-Пьера Серра. ^[1] что эти группы конечны для $k\neq 0$ . Фактически, композиция делает $\pi _{*}^{S}$ в градуированное кольцо . Теорема Горо Нисиды ^[2] утверждает, что все элементы положительной градуировки в этом кольце нильпотентны. Таким образом, единственными простыми идеалами являются простые числа в $\pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z}$ . Итак, структура $\pi _{*}^{s}$ довольно сложно.

В современной трактовке стабильной теории гомотопий пространства обычно заменяются спектрами . целую стабильную гомотопическую категорию Следуя этому ходу мысли, можно создать . Эта категория обладает многими замечательными свойствами, которых нет в (нестабильной) гомотопической категории пространств, что следует из того факта, что функтор подвески становится обратимым. Например, понятия последовательности кофибрации и последовательности расслоений эквивалентны.

См. также

Ссылки

^ Серр, Жан-Пьер (1953). «Гомотопические группы и классы абелевых групп». Анналы математики . 58 (2): 258–295. дои : 10.2307/1969789 . JSTOR 1969789 .
^ Нисида, Горо (1973), «Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер», Журнал Математического общества Японии , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969/jmsj/02540707 , hdl : 2433/ 220059 , ISSN 0025-5645 , МР 0341485

Адамс, Дж. Франк (1966), Стабильная теория гомотопий , Второе исправленное издание. Лекции, прочитанные в Калифорнийском университете в Беркли, вып. 1961, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0196742.
Мэй, Дж. Питер (1999), «Стабильная алгебраическая топология, 1945–1966» (PDF) , Стабильная алгебраическая топология, 1945–1966 , Амстердам: Северная Голландия, стр. 665–723, CiteSeerX 10.1.1.30.6299 , дои : 10.1016/B978-044482375-5/50025-0 , ISBN 9780444823755 , МР 1721119
Равенел, Дуглас К. (1992), Нильпотентность и периодичность в теории стабильных гомотопий , Анналы математических исследований, том. 128, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-02572-8 , МР 1192553

[1] Серр, Жан-Пьер (1953). «Гомотопические группы и классы абелевых групп». Анналы математики . 58 (2): 258–295. дои : 10.2307/1969789 . JSTOR 1969789 .

[2] Нисида, Горо (1973), «Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер», Журнал Математического общества Японии , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969/jmsj/02540707 , hdl : 2433/ 220059 , ISSN 0025-5645 , МР 0341485

[1]

[2]