Задача Стинрода

В математике , и особенно в теории гомологии , проблема Стинрода (названная в честь математика Нормана Стинрода ) — это проблема, касающаяся реализации классов гомологии сингулярными многообразиями.

Формулировка

Позволять $M$ быть замкнутым ориентированным многообразием размерности $n$, и пусть $[M]\in H_{n}(M)$ быть его классом ориентации. Здесь $H_{n}(M)$ обозначает интеграл, $n$-мерная гомологий группа $M$. Любая непрерывная карта $f\colon M\to X$ определяет индуцированный гомоморфизм $f_{*}\colon H_{n}(M)\to H_{n}(X)$. Класс гомологии $H_{n}(X)$ называется реализуемым, если он имеет вид $f_{*}[M]$ где $[M]\in H_{n}(M)$. Проблема Стинрода связана с описанием реализуемых классов гомологии $H_{n}(X)$.

Результаты

Все элементы $H_{k}(X)$ реализуемы гладкими многообразиями при условии $k\leq 6$. Более того, любой цикл можно реализовать отображением псевдомногообразия .

Предположение о том, что M ориентируемо, можно ослабить. В случае неориентируемых многообразий каждый класс гомологии $H_{n}(X,\mathbb {Z} _{2})$, где $\mathbb {Z} _{2}$ обозначает целые числа по модулю 2, может быть реализовано неориентированным многообразием, $f\colon M^{n}\to X$.

Выводы

Для гладких многообразий M задача сводится к нахождению вида гомоморфизма $\Omega _{n}(X)\to H_{n}(X)$, где $\Omega _{n}(X)$ — ориентированная бордизмов группа X . Связь между группами бордизмов $\Omega _{*}$ и пространства Тома MSO( k ) прояснили проблему Стинрода, сведя ее к изучению гомоморфизмов $H_{*}(\operatorname {MSO} (k))\to H_{*}(X)$. В своей знаковой статье 1954 г. Рене Том привел пример нереализуемого класса: $[M]\in H_{7}(X)$, где M — пространство Эйленберга–Маклейна $K(\mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{3},1)$.

См. также

• Особые гомологии
• Строительство Понтрягина-Тома
• Кобордизм

Внешние ссылки

• Конструкция Тома и проблема Стинрода на MathOverflow
• Объяснение конструкции Понтрягина-Тома.