Промежуток (теория категорий)
В теории категорий , или крыша являются соответствие обобщением понятия связи между двумя объектами категории пролет . Когда категория имеет все обратные модели (и удовлетворяет небольшому количеству других условий), промежутки можно рассматривать как морфизмы в категории дробей .
Понятие пролета принадлежит Нобуо Йонеде (1954) и Жану Бенабу (1967).
Формальное определение [ править ]
Пролет — это диаграмма типа то есть диаграмма вида .
То есть пусть Λ — категория (-1 ← 0 → +1). Тогда промежутком в категории C является функтор S : Λ → C . Это означает, что диапазон состоит из трех объектов X , Y и Z из C и морфизмов f : X → Y и g : X → Z : это два отображения с общей областью определения .
Копредел это промежутка — pushout .
Примеры [ править ]
- Если R — это отношение между множествами X и Y (т. е. X подмножеством × Y ) , то X ← R → Y — это промежуток, где карты — это карты проекций. и .
- Любой объект дает тривиальный диапазон A ← A → A, где отображения являются тождественными.
- В более общем смысле, пусть быть морфизмом в некоторой категории. Существует тривиальная оболочка A ← A → B , где левое отображение — это единица на A, а правое — заданное отображение φ .
- Если M — модельная категория , а W — множество слабых эквивалентностей , то промежутки вида где левый морфизм находится в W, можно считать обобщенным морфизмом (т. е. там, где «обращают слабые эквивалентности»). Обратите внимание, что это не обычная точка зрения при работе с категориями моделей.
Коспанс [ править ]
Коспан K в категории C — это функтор K : Λ на → С ; эквивалентно, контравариантный функтор из Λ в C . То есть диаграмма типа то есть диаграмма вида .
Таким образом, оно состоит из трёх объектов X , Y и Z из C и морфизмов f : Y → X и g : Z → X : это два отображения с общей кодовой областью.
Пределом является коспана откат .
Примером коспана является кобордизм W между двумя многообразиями M и N эти два отображения являются включениями в W. , где Обратите внимание, что, хотя кобордизмы являются коспанами, категория кобордизмов не является «категорией коспанов»: это не категория всех коспанов в «категории многообразий с включениями на границе», а скорее ее подкатегория , поскольку требование, чтобы M и N образуют раздел границы W — глобальное ограничение.
Категория nCob конечномерных кобордизмов является кинжально-компактной категорией . В более общем смысле, категория Span ( C ) промежутков любой категории C с конечными пределами также компактна.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- пробежка в n Lab
- Йонеда, Нобуо (1954). «К теории гомологии модулей». Дж. Фак. наук. унив. Токийская секта. Я. 7 : 193–227.
- Бенабу, Жан (1967). «Введение в бикатегории». Отчеты семинара по категории Среднего Запада . Конспект лекций по математике. Том. 47. Спрингер. стр. 1–77. дои : 10.1007/BFb0074299 . ISBN 978-3-540-35545-8 .