Нормальный инвариант

В математике карта нормалей — это концепция геометрической топологии, принадлежащая Уильяму Браудеру и имеющая фундаментальное значение в теории хирургии . Учитывая комплекс Пуанкаре X (более геометрически пространство Пуанкаре ), нормальное отображение на X наделяет пространство, грубо говоря, некоторой гомотопической глобальной структурой замкнутого многообразия. В частности, у X есть хороший кандидат на стабильное нормальное расслоение и карта коллапса Тома , что эквивалентно существованию отображения многообразия M в X, соответствующего фундаментальным классам и сохраняющего информацию о нормальном расслоении. Если размерность X равна $\geq$ 5, тогда существует только препятствие для операции алгебраической топологии, поскольку CTC Wall to X фактически гомотопически эквивалентен замкнутому многообразию. Нормальные карты также применимы к изучению уникальности структур многообразия внутри гомотопического типа, которое было впервые предложено Сергеем Новиковым .

Классы кобордизмов нормальных отображений на X называются нормальными инвариантами . В зависимости от категории многообразий (дифференцируемое, кусочно-линейное или топологическое) существуют аналогично определяемые, но неэквивалентные понятия нормальных отображений и нормальных инвариантов.

Можно выполнить операцию на картах нормалей, то есть операцию на многообразии области, и сохранить карту. Хирургия на нормальных картах позволяет систематически уничтожать элементы в относительных гомотопических группах, представляя их как вложения с тривиальным нормальным расслоением .

Определение

Существует два эквивалентных определения нормальных отображений, в зависимости от того, используются ли нормальные расслоения или касательные расслоения многообразий. Следовательно, можно переключаться между определениями, что оказывается весьма удобным.

1. Дан комплекс Пуанкаре X (т.е. CW-комплекс , клеточный цепной комплекс которого удовлетворяет двойственности Пуанкаре ) формальной размерности. $n$, нормальное отображение на X состоит из

• карта $f\colon M\to X$ из некоторого замкнутого n -мерного многообразия M ,
• связка $\xi$ над X и стабильное отображение из стабильного нормального расслоения $\nu _{M}$ из $M$ к $\xi$, и
• обычно предполагается, что карта нормалей имеет первую степень . Это означает, что основной класс $M$ должны быть отображены под $f$ к основному классу $X$: $f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)$.

2. Учитывая комплекс Пуанкаре $X$ (т.е. CW-комплекс , клеточный цепной комплекс которого удовлетворяет двойственности Пуанкаре ) формальной размерности $n$, нормальная карта на $X$ (относительно касательного расслоения) состоит из

• карта $f\colon M\to X$ из какого-то закрытого $n$-мерное многообразие $M$,
• связка $\xi$ над $X$и стабильное отображение из устойчивого касательного расслоения $\tau _{M}\oplus \varepsilon ^{k}$ из $M$ к $\xi$, и
• аналогично предыдущему требуется, чтобы фундаментальный класс $M$ должны быть отображены под $f$ к основному классу $X$: $f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)$.

Два нормальных отображения эквивалентны, если между ними существует нормальный бордизм.

Роль в теории хирургии

Хирургия на картах и ​​хирургия на нормальных картах

Рассмотрим вопрос:

Является ли комплекс Пуанкаре X формальной размерности n гомотопически эквивалентным замкнутому n -многообразию?

Наивный хирургический подход к этому вопросу был бы следующим: начните с какой-нибудь карты. $M\to X$ из какого-то многообразия $M$ к $X$, и попытаемся проделать над ним операцию, чтобы сделать из него гомотопическую эквивалентность. Обратите внимание на следующее: поскольку наша исходная карта была выбрана произвольно, а операция всегда дает кобордантные карты, эту процедуру необходимо выполнить (в худшем случае) для всех классов кобордизмов карт. $M\to X$. Этот вид теории кобордизмов представляет собой теорию гомологии, коэффициенты которой были вычислены Томом : поэтому классы кобордизмов таких отображений вычислимы, по крайней мере теоретически, для всех пространств. $X$.

Однако оказывается, что очень трудно решить, можно ли сделать из отображения гомотопическую эквивалентность с помощью хирургии, тогда как тот же вопрос гораздо проще, когда отображение имеет дополнительную структуру нормального отображения. Поэтому в классическом хирургическом подходе к нашему вопросу мы начинаем с карты нормалей. $f\colon M\to X$ (предположим, что таковой существует) и выполняет на нем операцию. Это имеет несколько преимуществ:

• Отображение степени один означает, что гомологии $M$ распадается как прямая сумма гомологий $X$ и так называемое хирургическое ядро $K_{*}(M)=ker(f_{*}\colon H_{*}(M)\to H_{*}(X))$, то есть $H_{*}(M)=K_{*}(M)\oplus H_{*}(X)$. (Здесь мы предполагаем, что $f$ индуцирует изоморфизм фундаментальных групп и использует гомологии с локальными коэффициентами в $Z[\pi _{1}(X)]$.)

По теореме Уайтхеда отображение $f$ является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда ядро ​​перестройки равно нулю.

• Данные пакета подразумевают следующее: Предположим, что элемент $\alpha \in \pi _{p+1}(f)$ (относительная гомотопическая группа $f$) можно представить вложением $\phi :S^{p}\to M$ (или, в более общем плане, погружение ) с нулевой гомотопией $f\circ \phi :S^{p}\to X$. Тогда его можно представить вложением (или погружением), нормальное расслоение которого стабильно тривиально. Это наблюдение важно, поскольку операция возможна только на вложениях с тривиальным нормальным расслоением. Например, если $p$ меньше половины размера $X$, каждая карта $S^{p}\to X$ гомотопно вложению по теореме Уитни . С другой стороны, любое стабильно тривиальное нормальное расслоение такого вложения автоматически тривиально, поскольку $\pi _{p}(BO,BO_{k})=0$ для $k>p$. Поэтому операции на картах нормалей всегда можно проводить ниже среднего измерения. Это неверно для произвольных карт.

Обратите внимание, что этот новый подход требует классификации классов бордизмов карт нормалей, которые являются нормальными инвариантами. В отличие от классов кобордизмов отображений, нормальные инварианты представляют собой теорию когомологий . Его коэффициенты известны в случае топологических многообразий. В случае гладких многообразий коэффициенты теории значительно сложнее.

Нормальные инварианты и набор структур

Есть две причины, почему важно изучать множество ${\mathcal {N}}(X)$. Напомним, что основная цель теории хирургии – ответить на вопросы:

1. Учитывая конечный комплекс Пуанкаре $X$ есть ли $n$гомотопия -многообразия, эквивалентная $X$?

2. Учитывая две гомотопические эквивалентности $f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X$, где $i=0,1$ существует ли диффеоморфизм $h\colon M_{0}\rightarrow M_{1}$ такой, что $f_{1}\circ h\simeq f_{0}$?

Обратите внимание: если ответ на эти вопросы должен быть положительным, то необходимым условием является положительный ответ на следующие два вопроса.

1.' Учитывая конечный комплекс Пуанкаре $X$ существует ли карта нормалей первой степени $(f,b)\colon M\rightarrow X$?

2.' Учитывая две гомотопические эквивалентности $f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X$, где $i=0,1$ существует ли нормальный кобордизм $(F,B)\colon (W,M_{0},M_{1})\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)$ такой, что $\partial _{0}F=f_{0}$ и $\partial _{1}F=f_{1}$?

Это, конечно, почти тривиальное наблюдение, но оно важно, поскольку оказывается, что существует эффективная теория, отвечающая на вопрос 1». а также эффективная теория, которая отвечает на вопрос 1. дала ответ на вопрос 1». это да. Аналогично для вопросов 2 и 2». Обратите также внимание, что мы можем сформулировать вопросы следующим образом:

1.' Является ${\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset$?

2.' Является $f_{0}=f_{1}$ в ${\mathcal {N}}(X)$?

Следовательно, изучение ${\mathcal {N}}(X)$ на самом деле это первый шаг к пониманию структуры хирургического вмешательства. ${\mathcal {S}}(X)$ что является основной целью теории хирургии. Дело в том, что ${\mathcal {N}}(X)$ гораздо более доступен с точки зрения алгебраической топологии, как объясняется ниже.

Гомотопическая теория

1.' Пусть X — конечный n -мерный комплекс Пуанкаре. Полезно использовать определение ${\mathcal {N}}(X)$ с обычными пакетами. Напомним, что (гладкое) многообразие имеет единственное касательное расслоение и единственное стабильное нормальное расслоение. Но конечный комплекс Пуанкаре не обладает таким единственным расслоением. Тем не менее, у него есть заменитель — уникальное в каком-то смысле сферическое расслоение — так называемое нормальное расслоение Спивака. У этого есть свойство: если $X$ гомотопически эквивалентно многообразию, то сферическое расслоение, соответствующее образу нормального расслоения этого многообразия, изоморфно нормальному расслоению Спивака. Отсюда следует, что если ${\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset$ тогда нормальное расслоение Спивака имеет редукцию расслоения. По конструкции Понтрягина-Тома верно и обратное.

Это можно сформулировать в терминах гомотопической теории. Отзывать $BG$ классифицирующее пространство для стабильных сферических расслоений, $BO$ классифицирующее пространство для стабильных векторных расслоений и отображение $J\colon BO\rightarrow BG$ что индуцировано включением $O\hookrightarrow G$ и что соответствует взятию соответствующего сферического расслоения векторного расслоения. Фактически мы имеем последовательность расслоений $BO\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)$. Нормальное расслоение Спивака классифицируется отображением $\nu _{X}\colon X\rightarrow BG$. Он имеет редукцию векторного расслоения тогда и только тогда, когда $\nu _{X}$ есть лифт ${\tilde {\nu }}_{X}\colon X\rightarrow BO$. Это эквивалентно требованию, чтобы композиция $X\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)$ является нуль-гомотопным.

Заметим, что гомотопические группы $B(G/O)$ известны в некоторых низких размерностях и нетривиальны, что предполагает возможность того, что вышеуказанное условие может не выполняться для некоторых $X$. На самом деле такие конечные комплексы Пуанкаре существуют, и первый пример был получен Гитлером и Сташеффом : давая, таким образом, пример комплекса Пуанкаре, не гомотопически эквивалентного многообразию.

2.' Релятивизируя приведенные выше соображения, получаем (неестественную) биекцию

${\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O].$

Различные категории

Приведенная выше биекция дает ${\mathcal {N}}(X)$ структура абелевой группы, поскольку пространство $G/O$ является пространством петель и фактически бесконечным пространством петель, поэтому нормальные инварианты представляют собой нулевую группу когомологий необычной теории когомологий, определяемую этим бесконечным пространством петель. Обратите внимание, что аналогичные идеи применимы и к другим категориям многообразий, и имеются биекции.

${\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]$, и ${\mathcal {N}}^{PL}(X)\cong [X,G/PL]$, и ${\mathcal {N}}^{TOP}(X)\cong [X,G/TOP].$

Хорошо известно, что пространства

$G/O$, $G/PL$ и $G/TOP$

взаимно не гомотопически эквивалентны, и, следовательно, можно получить три различные теории когомологий.

Салливан проанализировал дела $G/PL$ и $G/TOP$. Он показал, что эти пространства обладают альтернативными структурами пространства бесконечных петель, которые на самом деле лучше со следующей точки зрения: Напомним, что существует отображение препятствий к операции от нормальных инвариантов к L-группе. При описанной выше структуре групп на нормальных инвариантах это отображение НЕ является гомоморфизмом. Однако со структурой группы из теоремы Салливана она становится гомоморфизмом в категориях $CAT=PL$, и $TOP$. Его теорема также связывает эти новые групповые структуры с хорошо известными теориями когомологий: сингулярными когомологиями и вещественной K-теорией.

Ссылки

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных коллекторов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0358813
• Гитлер, Самуле; Сташефф, Джеймс Д. (ноябрь 1965 г.), «Первый экзотический класс BF», Топология , 4 (3): 257–266, doi : 10.1016/0040-9383(65)90010-8
• Люк, Вольфганг (2002), Основное введение в теорию хирургии (PDF) , Конспект лекций ICTP, серия 9, группа 1, школы «Теория многомерных многообразий» в Триесте, май / июнь 2001 г., Международный центр теоретических исследований Абдуса Салама. Физика, Триест 1-224
• Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, CiteSeerX   10.1.1.309.8886 , doi : 10.1093/acprof:oso/9780198509240.001.0001 , ISBN  978-0-19-850924-0 , МР   2061749
• Уолл, CTC (1999), Хирургия на компактных многообразиях , Математические обзоры и монографии, том. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , CiteSeerX   10.1.1.309.8451 , doi : 10.1090/surv/069 , ISBN  978-0-8218-0942-6 , МР   1687388