Хирургическая обструкция

В математике , особенно в теории хирургии , препятствия хирургии определяют карту. $\theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))$ от нормальных инвариантов к L-группам , которое в первую очередь является теоретико-множественным отображением (то есть не обязательно гомоморфизмом ) со следующим свойством, когда $n\geq 5$:

Карта нормалей первой степени $(f,b)\colon M\to X$ обычно кобордантен гомотопической эквивалентности тогда и только тогда, когда образ $\theta (f,b)=0$ в $L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])$.

Эскиз определения

Хирургическое препятствие карте нормали первой степени имеет относительно сложное определение.

Рассмотрим нормальное отображение первой степени. $(f,b)\colon M\to X$. Идея решения вопроса о том, является ли он обычно кобордантным гомотопической эквивалентности, состоит в том, чтобы попытаться систематически улучшить $(f,b)$ так что карта $f$ становится $m$-связны (т.е. гомотопические группы $\pi _{*}(f)=0$ для $*\leq m$) для высоких $m$. Следствием двойственности Пуанкаре является то, что если мы сможем добиться этого для $m>\lfloor n/2\rfloor$ тогда карта $f$ уже является гомотопической эквивалентностью. Слово «систематически» выше относится к тому факту, что человек пытается делать операции на $M$ убить элементы $\pi _{i}(f)$. На самом деле удобнее использовать гомологии универсальных накрытий, чтобы наблюдать, насколько связно отображение $f$ является. Точнее, работают с хирургическими ядрами $K_{i}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{i}({\tilde {M}})\rightarrow H_{i}({\tilde {X}})\}$ который человек рассматривает как $\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]$-модули. Если все это исчезнет, ​​то карта $f$ является гомотопической эквивалентностью. Вследствие двойственности Пуанкаре на $M$ и $X$ есть $\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]$-модули двойственности Пуанкаре $K^{n-i}({\tilde {M}})\cong K_{i}({\tilde {M}})$, так что смотреть придется только половину из них, то есть тех, для которых $i\leq \lfloor n/2\rfloor$.

Можно построить любую нормальную карту первой степени. $\lfloor n/2\rfloor$-связаны процессом, называемым хирургическим вмешательством ниже среднего измерения. Это процесс уничтожения элементов $K_{i}({\tilde {M}})$ для $i<\lfloor n/2\rfloor$ описано здесь, когда у нас есть $p+q=n$ такой, что $i=p<\lfloor n/2\rfloor$. После этого возможны два случая.

1. Если $n=2k$ тогда единственной нетривиальной группой гомологий является ядро $K_{k}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{k}({\tilde {M}})\rightarrow H_{k}({\tilde {X}})\}$. Оказывается, пары чашка-продукт на $M$ и $X$ вызвать сочетание чашки и продукта на $K_{k}({\tilde {M}})$. Это определяет симметричную билинейную форму в случае $k=2l$ и кососимметричная билинейная форма в случае $k=2l+1$. Оказывается, эти формы можно уточнить до $\varepsilon$-квадратичные формы, где $\varepsilon =(-1)^{k}$. Эти $\varepsilon$-квадратичные формы определяют элементы в L-группах $L_{n}(\pi _{1}(X))$.

2. Если $n=2k+1$ определение более сложное. Вместо квадратичной формы из геометрии получается квадратичная формация, являющаяся своего рода автоморфизмом квадратичных форм. Такая вещь определяет элемент в нечетномерной L-группе $L_{n}(\pi _{1}(X))$.

Если элемент $\theta (f,b)$ равна нулю в L-группе. Операцию можно провести на $M$ изменить $f$ гомотопической эквивалентности.

Геометрически причина, по которой это не всегда возможно, заключается в том, что выполнение операции в среднем измерении с целью уничтожения элемента в $K_{k}({\tilde {M}})$ возможно, создает элемент в $K_{k-1}({\tilde {M}})$ когда $n=2k$ или в $K_{k}({\tilde {M}})$ когда $n=2k+1$. Так что это, возможно, разрушает то, что уже было достигнуто. Однако, если $\theta (f,b)$ равен нулю, операции можно организовать так, чтобы этого не произошло.

Пример

В односвязном случае происходит следующее.

Если $n=2k+1$ нет никаких препятствий.

Если $n=4l$ тогда хирургическую обструкцию можно рассчитать как разницу сигнатур М и Х.

Если $n=4l+2$ то препятствие операции является Arf-инвариантом соответствующей ядерной квадратичной формы над $\mathbb {Z} _{2}$.

Ссылки

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных коллекторов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0358813
• Люк, Вольфганг (2002), Основное введение в теорию хирургии (PDF) , Конспект лекций ICTP, серия 9, группа 1, школы «Теория многомерных многообразий» в Триесте, май / июнь 2001 г., Международный центр теоретических исследований Абдуса Салама. Физика, Триест 1-224
• Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, ISBN  978-0-19-850924-0 , МР   2061749
• Уолл, CTC (1999), Хирургия на компактных многообразиях , Математические обзоры и монографии, том. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0942-6 , МР   1687388