Том космос

В математике пространство Тома, комплекс Тома или конструкция Понтрягина-Тома (названная в честь Рене Тома и Льва Понтрягина ) алгебраической топологии и дифференциальной топологии представляет собой топологическое пространство , связанное с векторным расслоением над любым паракомпактным пространством.

Строительство пространства Тома

Один из способов построения этого пространства заключается в следующем. Позволять

p:E\to B

ранга n — вещественное векторное расслоение над паракомпактом B . Тогда для каждой b в B слой точки $E_{b}$ это $n$ -мерное действительное векторное пространство . Выберите ортогональную структуру на E, плавно меняющееся скалярное произведение на слоях; мы можем сделать это, используя разделы единства. Позволять $D(E)$ — расслоение единичных шаров относительно нашей ортогональной структуры, и пусть $S(E)$ — расслоение единичных сфер, то пространство Тома $T(E)$ это частное $T(E):=D(E)/S(E)$ топологических пространств. $T(E)$ представляет собой заостренное пространство с изображением $S(E)$ в частном в качестве базовой точки. Если B компактно, то $T(E)$ является одноточечной компактификацией E .

Например, если E — тривиальное расслоение $B\times \mathbb {R} ^{n}$ , затем $D(E)=B\times D^{n}$ и $S(E)=B\times S^{n-1}$ . Письмо $B_{+}$ для B с непересекающейся базовой точкой, $T(E)$ это хитовый продукт $B_{+}$ и $S^{n}$ ; есть n -я приведенная приостановка то $B_{+}$ .

Изоморфизм Тома

следующего результата, относящегося к предмету когомологий расслоений Значение этой конструкции начинается со . (Мы сформулировали результат в терминах $\mathbb {Z} _{2}$ коэффициенты, позволяющие избежать осложнений, возникающих из-за ориентируемости ; см. также Ориентация векторного расслоения # Пространство Тома .)

Позволять $p:E\to B$ — вещественное векторное расслоение ранга n . Тогда существует изоморфизм, который теперь называется изоморфизмом Тома.

\Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),

для всех k, больших или равных 0, где правая часть представляет собой приведенные когомологии .

Эта теорема была сформулирована и доказана Рене Томом в его знаменитой диссертации 1952 года.

Мы можем интерпретировать теорему как глобальное обобщение изоморфизма надстройки на локальные тривиализации, поскольку пространство Тома тривиального расслоения на B ранга k изоморфно k- й надстройке $B_{+}$ , B с добавленной непересекающейся точкой (см. #Построение пространства Тома .) Это легче увидеть в формулировке теоремы, в которой не упоминается пространство Тома:

Изоморфизм Тома — Позволять $\Lambda$ быть кольцом и $p:E\to B$ — ориентированное вещественное векторное расслоение ранга n . Тогда существует класс

u\in H^{n}(E,E\setminus B;\Lambda ),

где B вложено в E как нулевое сечение, такое, что для любого слоя F ограничение u

u|_{(F,F\setminus 0)}\in H^{n}(F,F\setminus 0;\Lambda )

— класс, индуцированный ориентацией F . Более того,

{\begin{cases}H^{k}(E;\Lambda )\to H^{k+n}(E,E\setminus B;\Lambda )\\x\longmapsto x\smile u\end{cases}}

является изоморфизмом.

Вкратце, последняя часть теоремы гласит, что u свободно порождает $H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )$ как право $H^{*}(E;\Lambda )$ -модуль. Класс u обычно называют Тома классом E . С момента отката $p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )$ является кольцевым изоморфизмом , $\Phi$ определяется уравнением:

\Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.

В частности, изоморфизм Тома отправляет единичный элемент $H^{*}(B)$ тебе . Примечание: чтобы эта формула имела смысл, u рассматривается как элемент (мы опускаем кольцо $\Lambda$ )

{\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).

^[1]

Стандартным справочником по изоморфизму Тома является книга Ботта и Ту.

Значение работы Тома

В своей статье 1952 года Том показал, что класс Тома, классы Стифеля-Уитни и операции Стинрода связаны между собой. Он использовал эти идеи, чтобы доказать в статье 1954 года Quelques proprietés globales des variétés дифференциальности , что группы кобордизмов могут быть вычислены как гомотопические группы некоторых пространств Тома MG ( n ). Доказательство зависит и тесно связано со трансверсальности свойствами гладких многообразий — см. теорему Тома о трансверсальности . Перевернув эту конструкцию, Джон Милнор и Сергей Новиков (среди многих других) смогли ответить на вопросы о существовании и уникальности многомерных многообразий: теперь это известно как теория хирургии . Кроме того, пространства MG(n) объединяются, образуя спектры MG, теперь известные как спектры Тома , а группы кобордизмов фактически стабильны . Таким образом, конструкция Тома также объединяет дифференциальную топологию и теорию стабильной гомотопии и, в частности, является неотъемлемой частью наших знаний о стабильных гомотопических группах сфер .

Если доступны операции Стинрода, мы можем использовать их и изоморфизм теоремы для построения классов Стифеля–Уитни. Напомним, что операции Стинрода (mod 2) являются естественными преобразованиями.

Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),

определено для всех неотрицательных целых чисел m . Если $i=m$ , затем $Sq^{i}$ совпадает с квадратом чашки. Мы можем определить i -й класс Штифеля–Уитни. $w_{i}(p)$ векторного расслоения $p:E\to B$ к:

w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).

Следствия для дифференцируемых многообразий

Если мы возьмем расслоение из приведенного выше касательного расслоения к гладкому многообразию, то вывод из вышесказанного называется формулой Ву и имеет следующее сильное следствие: поскольку операции Стинрода инвариантны относительно гомотопической эквивалентности, мы заключаем, что Также существуют классы Стифеля – Уитни многообразия. Это необычный результат, который не распространяется на другие классы характеристик. Существует аналогичный знаменитый и трудный результат устанавливающий топологическую инвариантность для рациональных классов Понтрягина , Сергея Новикова .

Спектр Тома

Настоящий кобордизм

Есть два способа думать о бордизме: один – как рассмотрение двух $n$ -многообразия $M,M'$ являются кобордантными, если существует $(n+1)$ -многообразие с краем $W$ такой, что

\partial W=M\coprod M'

Другой метод кодирования такого рода информации — использовать вложение $M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}$ и учитывая обычную связку

\nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M

Вложенное многообразие вместе с классом изоморфизма нормального расслоения фактически кодирует ту же информацию, что и класс кобордизмов. $[M]$ . Это можно показать ^[2] с помощью кобордизма $W$ и найти вложение в некоторые $\mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]$ что дает гомотопический класс отображений в пространство Тома $MO(n)$ определено ниже. Доказывая изоморфизм

\pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}

требует немного больше работы. ^[3]

Определение спектра Тома

По определению спектр Тома ^[4] представляет собой последовательность пространств Тома

MO(n)=T(\gamma ^{n})

где мы написали $\gamma ^{n}\to BO(n)$ для универсального векторного расслоения ранга n . Последовательность образует спектр . ^[5] Теорема Тома гласит, что $\pi _{*}(MO)$ – кольцо неориентированных кобордизмов ; ^[6] доказательство этой теоремы в решающей степени опирается на теорему Тома о трансверсальности . ^[7] Отсутствие трансверсальности не позволяет вычислять кольца кобордизмов, скажем, топологических многообразий по спектрам Тома.

См. также

Примечания

^ Доказательство изоморфизма. Мы можем встроить B в $\operatorname {Sph} (E)$ либо как нулевой участок; т.е. сечение нулевого вектора или сечение бесконечности; т. е. сечение вектора на бесконечности (топологически разница несущественна). Используя два способа встраивания, мы получаем тройку:
$(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ .
Четко, $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ втягивается в B. деформация - Взяв длинную точную последовательность этой тройки, мы увидим:
$H^{n}(Sph(E),B)\simeq H^{n}(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B),$
последний из которых изоморфен:
$H^{n}(E,E\setminus B)$
путем иссечения.
^ «Теорема Тома» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2021 года.
^ «Трансверсальность» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2021 года.
^ См. стр. 8–9 в Гринлис, JPC (15 сентября 2006 г.). «Спектры для коммутативных алгебраистов». arXiv : math/0609452 .
^ Фрэнсис, Дж. «Математика 465, лекция 2: кобордизм» (PDF) . Примечания О. Гвильяма. Северо-Западный университет.
^ Стонг 1968 , с. 18
^ Фрэнсис, Дж. «Математика 465, лекция 4: трансверсальность» (PDF) . Записки И. Бобовки. Северо-Западный университет.

Ссылки

Салливан, Деннис (2004). «Работа Рене Тома по геометрической гомологии и бордизмам» . Бюллетень Американского математического общества . 41 (3): 341–350. дои : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90613-4 . Классический справочник по дифференциальной топологии , рассматривающий связь с двойственностью Пуанкаре , классом Эйлера , расслоений сфер классами Тома, изоморфизмом Тома и многим другим.
Милнор, Джон . Характерные классы . — еще одна стандартная ссылка на класс Тома и изоморфизм Тома. См. особенно пункт 18.
Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета . стр. 183–198. ISBN 0-226-51182-0 . В этом учебнике дается подробное построение класса Тома для тривиальных векторных расслоений, а также формулируется теорема для случая произвольных векторных расслоений.
Стонг, Роберт Э. (1968). Заметки по теории кобордизмов . Издательство Принстонского университета .
Том, Рене (1954). « Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий ». Комментарии по математике Helvetici . 28 :17–86. дои : 10.1007/BF02566923 . S2CID 120243638 .
Андо, Мэтью; Блумберг, Эндрю Дж.; Гепнер, Дэвид Дж.; Хопкинс, Майкл Дж .; Резк, Чарльз (2014). «Единицы кольцевых спектров и спектров Тома». Журнал топологии . 7 (4): 1077–1117. arXiv : 0810.4535 . дои : 10.1112/jtopol/jtu009 . МР 0286898 . S2CID 119613530 .

Внешние ссылки

[1] Доказательство изоморфизма. Мы можем встроить B в $\operatorname {Sph} (E)$ либо как нулевой участок; т.е. сечение нулевого вектора или сечение бесконечности; т. е. сечение вектора на бесконечности (топологически разница несущественна). Используя два способа встраивания, мы получаем тройку:
$(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)$ .
Четко, $\operatorname {Sph} (E)\setminus B$ втягивается в B. деформация - Взяв длинную точную последовательность этой тройки, мы увидим:
$H^{n}(Sph(E),B)\simeq H^{n}(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B),$
последний из которых изоморфен:
$H^{n}(E,E\setminus B)$
путем иссечения.

[2] «Теорема Тома» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2021 года.

[3] «Трансверсальность» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2021 года.

[4] См. стр. 8–9 в Гринлис, JPC (15 сентября 2006 г.). «Спектры для коммутативных алгебраистов». arXiv : math/0609452 .

[5] Фрэнсис, Дж. «Математика 465, лекция 2: кобордизм» (PDF) . Примечания О. Гвильяма. Северо-Западный университет.

[6] Стонг 1968 , с. 18

[7] Фрэнсис, Дж. «Математика 465, лекция 4: трансверсальность» (PDF) . Записки И. Бобовки. Северо-Западный университет.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]