Лямбда-гипотеза

В алгебраической геометрии $\lambda _{g}$-гипотеза дает особенно простую формулу для некоторых интегралов в компактификации Делиня – Мамфорда. ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ пространства модулей кривых с отмеченными точками. Впервые он был обнаружен как следствие гипотезы Вирасоро и Э. Гетцлером Р. Пандхарипанде ( 1998 ). Позже это было доказано К. Фабером и Р. Пандхарипанде ( 2003 ) с использованием виртуальной локализации в теории Громова–Виттена . Он назван в честь фактора $\lambda _{g}$, g -й класс Черна , расслоения Ходжа входящий в его подынтегральную функцию. Второй множитель — это моном $\psi _{i}$, первые классы Черна n кокасательных линейных расслоений, как в гипотезе Виттена .

Позволять $a_{1},\ldots ,a_{n}$ быть целыми положительными числами такими, что:

$a_{1}+\cdots +a_{n}=2g-3+n.$

Тогда $\lambda _{g}$-формулу можно сформулировать следующим образом:

$\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}\psi _{1}^{a_{1}}\cdots \psi _{n}^{a_{n}}\lambda _{g}={\binom {2g+n-3}{a_{1},\ldots ,a_{n}}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}\psi _{1}^{2g-2}\lambda _{g}.$

The $\lambda _{g}$-формула в сочетании сge

$\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}\psi _{1}^{2g-2}\lambda _{g}={\frac {2^{2g-1}-1}{2^{2g-1}}}{\frac {|B_{2g}|}{(2g)!}},$

где B _{2 g} — числа Бернулли , дает возможность вычислить все интегралы по ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ вовлечение продуктов в $\psi$-классы и коэффициент $\lambda _{g}$.

Ссылки

• Гетцлер, Э .; Пандхарипанде, Р. (1998), «Ограничения Вирасоро и классы Черна расслоения Ходжа», Nuclear Physics B , 530 (3): 701–714, arXiv : math.AG/9805114 , Bibcode : 1998NuPhB.530..701G , дои : 10.1016/S0550-3213(98)00517-3
• Фабер, К.; Пандхарипанде, Р. (2003), «Интегралы Ходжа, матрицы разбиения и $\lambda _{g}$ гипотеза», Ann. of Math. , 2, 157 (1): 97–124, arXiv : math.AG/9908052 , doi : 10.4007/annals.2003.157.97