Непрерывная геометрия

В математике непрерывная геометрия является аналогом комплексной проективной геометрии, введенной фон Нейманом ( 1936 , 1998 ), где вместо размерности подпространства, находящейся в дискретном множестве $0,1,\dots ,{\textit {n}}$, это может быть элемент единичного интервала $[0,1]$. Фон Нейман был мотивирован открытием им алгебр фон Неймана с функцией размерности, принимающей непрерывный диапазон измерений, и первым примером непрерывной геометрии, отличной от проективного пространства, были проекции гиперконечного фактора типа II .

Определение

Менгер и Биркгоф дали аксиомы проективной геометрии в терминах решетки линейных подпространств проективного пространства. Аксиомы фон Неймана для непрерывной геометрии представляют собой ослабленную форму этих аксиом.

Непрерывная геометрия — это решетка L со следующими свойствами

• L является модульным .
• Л завершен ​ .
• Решетчатые операции ∧, ∨ удовлетворяют определенному свойству непрерывности:

  ${\Big (}\bigwedge _{\alpha \in A}a_{\alpha }{\Big )}\lor b=\bigwedge _{\alpha }(a_{\alpha }\lor b)$, где A — направленное множество , и если α < β, то a _α < a _β и то же условие с ∧ и ∨ поменянными местами.

• Каждый элемент в L имеет дополнение (не обязательно уникальное). Дополнением к элементу a является элемент b с a ∧ b = 0 , a ∨ b = 1 , где 0 и 1 — минимальный и максимальный L. элементы
• L неприводим: это означает, что единственными элементами с уникальными дополнениями являются 0 и 1.

Примеры

• Конечномерное комплексное проективное пространство, или, скорее, его набор линейных подпространств, представляет собой непрерывную геометрию, размеры которой принимают значения в дискретном множестве. $\{0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1\}$
• Проекции конечной алгебры фон Неймана типа II образуют непрерывную геометрию с размерностями, принимающими значения в единичном интервале. $[0,1]$.
• Капланский (1955) показал, что любая полная модулярная решетка с ортодополнениями представляет собой непрерывную геометрию.
• Если V — векторное пространство над полем (или телом ) F , то существует естественное отображение решетки PG( V ) подпространств V в решетку подпространств $V\otimes F^{2}$ который умножает размеры на 2. Таким образом, мы можем взять прямой предел

$PG(F)\subset PG(F^{2})\subset PG(F^{4})\subset PG(F^{8})\cdots$

Он имеет функцию размерности, принимающую значения всех двоично-рациональных чисел от 0 до 1. Ее завершение представляет собой непрерывную геометрию, содержащую элементы каждого измерения в $[0,1]$. Эта геометрия была построена фон Нейманом (1936b) и называется непрерывной геометрией над F.

Размер

В этом разделе суммированы некоторые результаты фон Неймана (1998 , часть I). Эти результаты аналогичны работе фон Неймана по проекциям в алгебрах фон Неймана и были мотивированы ими.

Два элемента a и b из L называются перспективой и пишутся a ∼ b , если они имеют общее дополнение. Это отношение эквивалентности на L ; доказательство его транзитивности весьма сложно.

Классы эквивалентности A , B ,... из L имеют полный порядок, определенный как A ≤ B, если существуют некоторые a в A и b в B с a ≤ b . (Это не обязательно справедливо для всех a в A и b в B. )

Функция размерности D от L до единичного интервала определяется следующим образом.

• Если классы эквивалентности A и B содержат элементы a и b с a ∧ b = 0, то их сумма A + B определяется как класс эквивалентности a ∨ b . В противном случае сумма A + B не определена. Для положительного целого числа n произведение nA определяется как сумма n копий A , если эта сумма определена.
• Для классов эквивалентности A и B , где A не {0}, целое число [ B : A ] определяется как уникальное целое число n ≥ 0 такое, что B = nA + C с C < B .
• Для классов эквивалентности A и B , где A не {0}, действительное число ( B : A ) определяется как предел [ B : C ] / [ A : C ] , когда C проходит через минимальную последовательность: это означает, что либо C содержит минимальный ненулевой элемент или бесконечную последовательность ненулевых элементов, каждый из которых не более чем вдвое превышает предыдущий.
• D ( a ) определяется как ({ a } : {1}) , где { a } и {1} — классы эквивалентности, содержащие a и 1.

Образом D может быть весь единичный интервал или набор чисел. $0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1$ для некоторого положительного целого числа n . Два элемента L имеют одинаковое изображение под D тогда и только тогда, когда они перспективны, поэтому это дает привнесение классов эквивалентности в подмножество единичного интервала. Функция размерности D обладает свойствами:

• Если a < b, то D ( a ) < D ( b )
• D ( а ∨ б ) + D ( а ∧ б ) знак равно D ( а ) + D ( б )
• D ( a ) = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 , и D ( a ) = 1 тогда и только тогда, когда a = 1.
• 0 ≤ D ( а ) ≤ 1

теорема

В проективной геометрии теорема Веблена-Янга утверждает, что проективная геометрия размерности не менее 3 изоморфна проективной геометрии векторного пространства над телом. Это можно переформулировать так: подпространства в проективной геометрии соответствуют главным правым идеалам матричной алгебры над телом.

Нейман обобщил это на непрерывные геометрии и, в более общем смысле, на дополняемые модульные решетки следующим образом ( фон Нейман 1998 , часть II). Его теорема утверждает, что если дополняемая модулярная решетка L имеет порядок не менее 4, то элементы L соответствуют главным правым идеалам регулярного кольца фон Неймана . Точнее, если решетка имеет порядок R размером кольцом другим регулярным n × _n n, то регулярное кольцо фон Неймана можно рассматривать как кольцо матриц Mn( над фон Неймана R. ) Здесь дополняемая модульная решетка имеет порядок n, если она имеет однородный базис из n элементов, где базисом являются n элементов a ₁ , ..., a _n такие, что a _i ∧ a _j = 0, если i ≠ j , и a ₁ ∨ ... ∨ a _n = 1 , а базис называется однородным, если любые два элемента перспективны. Порядок решетки не обязательно должен быть уникальным; например, любая решетка имеет порядок 1. Условие того, что решетка имеет порядок не менее 4, соответствует условию того, что размерность не менее 3 в теореме Веблена – Янга, поскольку проективное пространство имеет размерность не менее 3 тогда и только тогда, когда он имеет набор как минимум из 4 независимых точек.

И наоборот, главные правые идеалы регулярного кольца фон Неймана образуют дополненную модулярную решетку ( фон Нейман, 1998 , часть II, теорема 2.4).

Предположим, что R — регулярное кольцо фон Неймана, а L — его решетка главных правых идеалов, так что L — модулярная решетка с дополнениями. Нейман показал, что L — непрерывная геометрия тогда и только тогда, когда R — неприводимое кольцо полного ранга .

Ссылки

• Биркгоф, Гарретт (1979) [1940], Теория решетки , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 25 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1025-5 , МР   0598630
• Фофанова, Т.С. (2001) [1994], «Ортомодулярная решетка» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Гальперин, Израиль (1960), «Введение в алгебры фон Неймана и непрерывную геометрию», Canadian Mathematical Bulletin , 3 (3): 273–288, doi : 10.4153/CMB-1960-034-5 , ISSN   0008-4395 , MR   0123923
• Гальперин, Израиль (1985), «Обзор книг: обзор книг Джона фон Неймана по непрерывной геометрии», Order , 1 (3): 301–305, doi : 10.1007/BF00383607 , ISSN   0167-8094 , MR   1554221 , S2CID   122594481
• Капланский, Ирвинг (1955), «Любая полная модульная решетка с ортодополнениями представляет собой непрерывную геометрию», Annals of Mathematics , Second Series, 61 (3): 524–541, doi : 10.2307/1969811 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969811 , MR   0088476
• фон Нейман, Джон (1936), «Непрерывная геометрия», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 22 (2): 92–100, Бибкод : 1936PNAS...22...92N , doi : 10.1073/pnas.22.2.92 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   86390 , PMC   1076712 , PMID   16588062 , Zbl   0014.22307
• фон Нейман, Джон (1936b), «Примеры непрерывных геометрий», Proc. Натл. акад. наук. США , 22 (2): 101–108, Bibcode : 1936PNAS...22..101N , doi : 10.1073/pnas.22.2.101 , JFM   62.0648.03 , JSTOR   86391 , PMC   1076713 , PMID   16588050
• фон Нейман, Джон (1998) [1960], Непрерывная геометрия , Принстонские ориентиры в математике , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-05893-1 , МР   0120174
• фон Нейман, Джон (1962), Тауб, А.Х. (ред.), Собрание сочинений. Том. IV: Непрерывная геометрия и другие темы , Оксфорд: Pergamon Press, MR   0157874.
• фон Нейман, Джон (1981) [1937], Гальперин, Израиль (редактор), «Непрерывные геометрии с вероятностью перехода» , Мемуары Американского математического общества , 34 (252), ISBN  978-0-8218-2252-4 , ISSN   0065-9266 , МР   0634656
• Скорняков, Л.А. (1964), Модульные решетки с дополнениями и регулярные кольца , Лондон: Oliver & Boyd, MR   0166126.