Теорема Монжа
В геометрии линий теорема Монжа , названная в честь Гаспара Монжа , утверждает, что для любых трёх окружностей на плоскости, ни одна из которых не находится полностью внутри одной из других, точки пересечения каждой из трёх пар внешних касательных коллинеарны .
Для любых двух окружностей на плоскости внешняя касательная — это линия, которая касается обеих окружностей, но не проходит между ними. Для любых двух окружностей существует две такие внешние касательные. Каждая такая пара имеет единственную точку пересечения в расширенной евклидовой плоскости . Теорема Монжа утверждает, что три такие точки, заданные тремя парами окружностей, всегда лежат на прямой линии. В случае, если два круга имеют одинаковый размер, две внешние касательные линии параллельны. В этом случае теорема Монжа утверждает, что две другие точки пересечения должны лежать на линии, параллельной этим двум внешним касательным. Другими словами, если считается, что две внешние касательные пересекаются в точке , находящейся на бесконечности , то две другие точки пересечения должны находиться на линии, проходящей через одну и ту же точку на бесконечности, поэтому линия между ними принимает тот же угол, что и внешняя точка. касательная.
Доказательства
[ редактировать ]Простейшее доказательство использует трехмерную аналогию. [ 1 ] Пусть три круга соответствуют трем сферам разных радиусов; круги соответствуют экваторам, возникающим в результате плоскости, проходящей через центры сфер. Три сферы могут быть однозначно помещены между двумя плоскостями. Каждая пара сфер определяет конус, касающийся извне обеих сфер, и вершина этого конуса соответствует точке пересечения двух внешних касательных, т. е. внешнему гомотетическому центру . Поскольку одна линия конуса лежит в каждой плоскости, вершина каждого конуса должна лежать в обеих плоскостях и, следовательно, где-то на линии пересечения двух плоскостей. Следовательно, три внешних центра гомотетики коллинеарны.
Теорему Монжа можно также доказать, используя теорему Дезарга . Еще одно простое доказательство использует теорему Менелая , поскольку отношения можно вычислить с помощью диаметров каждого круга, которые будут исключены циклическими формами при использовании теоремы Менелая. Теорема Дезарга также утверждает, что 3 точки лежат на прямой, и имеет аналогичное доказательство, использующее ту же идею рассмотрения ее в 3, а не в 2 измерениях и записи линии как пересечения двух плоскостей.
См. также
[ редактировать ]- Гомотетические центры окружностей
- Задача Аполлония : построить круг (не обязательно уникальный) по трем другим кругам.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Уэллс, Дэвид (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 153–154 . ISBN 0-14-011813-6 .
Библиография
[ редактировать ]- Грэм, Луизиана (1959). Гениальные математические задачи и методы . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0486205452 . Проверено 1 декабря 2012 г.