Проблема Фаньяно

В геометрии , проблема Фаньяно — это задача оптимизации впервые сформулированная Джованни Фаньяно в 1775 году:

Для данного остроугольного треугольника определите вписанный треугольник минимального периметра .

Решением является прямоугольный треугольник с вершинами в базовых точках высот данного треугольника.

Решение

Прямоугольный треугольник с вершинами в базовых точках высот данного треугольника имеет наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в остроугольный треугольник, следовательно, является решением проблемы Фаньяно. В оригинальном доказательстве Фаньяно использовались методы исчисления и промежуточный результат, полученный его отцом Джулио Карло де Тоски ди Фаньяно . Однако позже было обнаружено несколько геометрических доказательств, в том числе Германом Шварцем и Липотом Фейером . Эти доказательства используют геометрические свойства отражений для определения минимального пути, представляющего периметр.

Физические принципы

Решение из физики можно найти, представив, как надевают резиновую ленту, соответствующую закону Гука. на трех сторонах треугольной рамки $ABC$ , чтобы он мог плавно скользить. Тогда резиновая лента окажется в положении, которое минимизирует ее упругую энергию и, следовательно, минимизирует ее общую длину. Это положение дает треугольник с минимальным периметром. Натяжение внутри резиновой ленты одинаково везде, поэтому в состоянии покоя по теореме Лами имеем : $\angle bcA=\angle acB,\angle caB=\angle baC,\angle abC=\angle cbA$

Следовательно, этот минимальный треугольник является ортогональным треугольником.

См. также

Задача TSP множества , более общая задача посещения каждого семейства множеств кратчайшим обходом.

Ссылки

Генрих Дёрри: 100 великих задач элементарной математики: их история и решение . Дуврские публикации 1965, с. 359-360. ISBN 0-486-61348-8 , проблема 90 ( ограниченная онлайн-версия (Google Книги) )
Пол Дж. Нахин : Когда меньшее значит лучше: как математики открыли множество умных способов сделать вещи как можно меньшими (или настолько большими), насколько это возможно . Издательство Принстонского университета, 2004 г., ISBN 0-691-07078-4 , с. 67
Коксетер, HSM ; Грейцер, С.Л.: Возвращение к геометрии . Вашингтон, округ Колумбия: Математика. доц. амер. 1967, стр. 88–89.
Х. А. Шварц : Сборник математических трактатов, том. 2 . Берлин, 1890 г., стр. 344–345. ( онлайн в Интернет-архиве , немецкий)

Внешние ссылки