Ортоцентроидальный круг

В геометрии ортоцентроидальная окружность неравностороннего треугольника треугольника которой находятся — это окружность, ортоцентр и центроид на противоположных концах диаметра . треугольника Этот диаметр также содержит центр из девяти точек и является подмножеством линии Эйлера , которая также содержит центр описанной окружности вне ортоцентроидального круга.

Эндрю Гинан треугольника показал в 1984 году, что центр должен лежать внутри ортоцентроидального круга, но не совпадать с центром из девяти точек; то есть он должен попасть в открытый ортоцентроидальный диск, проколотый в девятиточечном центре. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^{: стр. 451–452.} Инцентром может быть любая такая точка, в зависимости от конкретного треугольника, имеющего этот конкретный ортоцентроидальный диск. ^[3]

Более того, ^[2] точка Ферма , точка Жергонна и точка симмедианы находятся в открытом ортоцентроидальном диске, проколотом в его собственном центре (и могут находиться в любой его точке), тогда как вторая точка Ферма и точка Фейербаха находятся снаружи ортоцентроидального круга. Множество потенциальных положений той или иной точки Брокара также представляет собой открытый ортоцентроидальный диск. ^[6]

Квадрат диаметра ортоцентроидального круга равен ^[7]^{: стр.102} $D^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),$ где a, b и c — длины сторон треугольника, а D — диаметр описанной окружности .

Ссылки

^ Гуинанд, Эндрю П. (1984), «Линии Эйлера, трикасательные центры и их треугольники», American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi : 10.2307/2322671 , JSTOR 2322671 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Брэдли, Кристофер Дж.; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение центров треугольников» , Forum Geometricorum , 6 : 57–70 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стерн, Джозеф (2007), «Проблема определения треугольника Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9 .
^ Францсен, Уильям Н. (2011), «Расстояние от центра до линии Эйлера» , Forum Geometricorum , 11 : 231–236 .
^ Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi : 10.1017/S0025557200182087 , JSTOR 40378417 , S2CID 125341434 .
^ Брэдли, Кристофер Дж.; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение точек Брокара» , Forum Geometricorum , 6 : 71–77 .
^ Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble, 1952).

Внешние ссылки

СМИ, связанные с ортоцентроидным кругом, на Викискладе?

[1] Гуинанд, Эндрю П. (1984), «Линии Эйлера, трикасательные центры и их треугольники», American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi : 10.2307/2322671 , JSTOR 2322671 .

[Bradley-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Брэдли, Кристофер Дж.; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение центров треугольников» , Forum Geometricorum , 6 : 57–70 .

[Stern-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стерн, Джозеф (2007), «Проблема определения треугольника Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9 .

[4] Францсен, Уильям Н. (2011), «Расстояние от центра до линии Эйлера» , Forum Geometricorum , 11 : 231–236 .

[SL-5] Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi : 10.1017/S0025557200182087 , JSTOR 40378417 , S2CID 125341434 .

[6] Брэдли, Кристофер Дж.; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение точек Брокара» , Forum Geometricorum , 6 : 71–77 .

[ac-7] Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble, 1952).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]