Трилинейные координаты

В геометрии трилинейные координаты $x : y : z$ точки относительно данного треугольника описывают относительные направленные расстояния от трех боковых линий треугольника. Трилинейные координаты являются примером однородных координат . Отношение $x : y$ – это отношение расстояний перпендикуляров от точки к сторонам (при необходимости расширенным) противоположных вершин $А$ и $В$ соответственно; отношение $y : z$ — отношение расстояний по перпендикулярам от точки к боковым линиям, противоположным вершинам $B$ и $C$ соответственно; самое для $z : x$ и вершин $C$ и $A.$ и то же

На диаграмме справа трилинейные координаты указанной внутренней точки — это фактические расстояния ( $a'$ , $b'$ , $c'$ ) или, что эквивалентно, в форме отношения $ka' : kb' : kc'$ для любой положительной константы $k$ . Если точка находится на боковой линии опорного треугольника, ее соответствующая трилинейная координата равна 0. Если внешняя точка находится на противоположной стороне боковой линии от внутренней части треугольника, ее трилинейная координата, связанная с этой боковой линией, отрицательна. Невозможно, чтобы все три трилинейные координаты были неположительными.

Обозначения

Обозначение соотношения $x:y:z$ для трилинейных координат часто используется вместо упорядоченной тройной записи. $(x,y,z),$ причем последнее зарезервировано для троек направленных расстояний $(a',b',c')$ относительно конкретного треугольника. Трилинейные координаты $x:y:z,$ могут быть масштабированы на любое произвольное значение, не влияя на их соотношение. Тройное обозначение в квадратных скобках, разделенных запятыми. $(x,y,z)$ может вызвать путаницу, поскольку традиционно это представляет собой другую тройку, чем, например, $(2x,2y,2z),$ но эти эквивалентные соотношения $x:y:z={}\!$ $2x:2y:2z$ представляют одну и ту же точку.

Примеры

Трилинейные координаты центра треугольника △ $ABC равны$ 1 $:1:1$ ; то есть (направленные) расстояния от центра до боковых линий $BC, CA, AB$ пропорциональны фактическим расстояниям, обозначаемым $(r, r, r)$ , где $r$ — внутренний радиус $△ ABC$ . Учитывая длины сторон $a, b, c,$ имеем:

Имя; Символ		Трилинейные координаты	Описание
Вершины	$А$	$1:0:0$	Точки в углах треугольника
	$Б$	$0:1:0$
	$С$	$0:0:1$
Инцентр	$я$	$1:1:1$	Пересечение биссектрис внутреннего угла ; треугольника Центр вписанной окружности
Эксцентры	$Я $	$-1:1:1$	Пересечения биссектрис угла (двух внешних, одной внутренней); треугольника Центры трех вписанных окружностей
	$я Б$	$1:-1:1$
	$IC $	$1:1:-1$
центроид	$Г$	${\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}$	Пересечение медиан ; Центр масс однородной треугольной пластинки
Вокруг центра	$ТО$	$\cos A:\cos B:\cos C$	Пересечение серединных перпендикуляров сторон; треугольника Центр описанной окружности
Ортоцентр	$ЧАС$	$\sec A:\sec B:\sec C$	Пересечение высот
Девятиочковый центр	$Н$	${\begin{aligned}&\cos(B-C):\cos(C-A)\\&\qquad :\cos(A-B)\end{aligned}}$	Центр круга, проходящий через середину каждой стороны, основание каждой высоты и середину между ортоцентром и каждой вершиной.
Симмедианная точка	$К$	$a:b:c$	Пересечение симмедиан - отражение каждой медианы относительно соответствующей биссектрисы угла.

Обратите внимание, что, как правило, центр тяжести не совпадает с центроидом ; центроид имеет барицентрические координаты $1:1:1$ (они пропорциональны фактическим площадям со знаком треугольников $△ BGC, △ CGA, △ AGB$ , где $G$ = центроид.)

Средняя точка, например, стороны $BC$ имеет трилинейные координаты в фактических расстояниях до боковой линии. $(0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{c}})$ для площади треугольника $Δ$ , которая на произвольно заданных относительных расстояниях упрощается до $0: ca : ab$ . Координаты фактических расстояний по боковой линии подножия высоты от $A$ до $BC$ равны $(0,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),$ что на чисто относительных расстояниях упрощается до $: cos C : cos B.$ 0 ^[1]^{: с. 96}

Формулы

Коллинеарности и параллелизмы

Трилинейные координаты позволяют использовать многие алгебраические методы в геометрии треугольника. Например, три точки

{\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}

коллинеарны когда тогда и только тогда, определитель

D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}

равен нулю. Таким образом, если $x : y : z$ — переменная точка, уравнение прямой, проходящей через точки $P$ и $U,$ равно $D = 0$ . ^[1]^{: с. 23} Отсюда каждая прямая имеет линейное уравнение, однородное по $x, y, z$ . Каждое уравнение вида $lx+my+nz=0$ в действительных коэффициентах представляет собой действительную прямую линию из конечных точек, если только $l : m : n$ не пропорционально $a : b : c$ , длинам сторон, и в этом случае мы имеем геометрическое место точек в бесконечности. ^[1]^{: с. 40}

Двойственным этому предложению является то, что линии

{\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}

совпадают в точке $(α, β, γ)$ тогда и только тогда, когда $D = 0$ . ^[1]^{: с. 28}

используются фактические направленные расстояния $Кроме того, если при вычислении определителя D$ , то площадь треугольника $△ PUX$ равна $KD$ , где $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$ (и где $Δ$ — площадь треугольника $△ ABC$ , как указано выше), если треугольник $△ PUX$ имеет ту же ориентацию (по часовой стрелке или против часовой стрелки), что и $△ ABC$ , и $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$ в противном случае.

Параллельные линии

Две линии с трилинейными уравнениями $lx+my+nz=0$ и $l'x+m'y+n'z=0$ параллельны тогда и только тогда, когда ^[1]^{:с. 98, #кси}

{\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,

где $a, b, c$ — длины сторон.

Угол между двумя линиями

Тангенсы уравнениями углов между двумя прямыми с трилинейными $lx+my+nz=0$ и $l'x+m'y+n'z=0$ даны ^[1]^{: стр.50}

\pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.

Перпендикулярные линии

Таким образом, две строки с трилинейными уравнениями $lx+my+nz=0$ и $l'x+m'y+n'z=0$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда

ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.

Высота

Уравнение высоты от вершины $A$ до стороны $BC$ имеет вид ^[1]^{: стр.98, #x}

y\cos B-z\cos C=0.

Линия через расстояния от вершин

Уравнение прямой с переменными расстояниями $p, q, r$ от вершин $A, B, C,$ противоположными сторонами которых являются $a, b, c,$ имеет вид ^[1]^{: с. 97, #viii}

apx+bqy+crz=0.

Трилинейные координаты фактического расстояния

Трилинейки со значениями координат $a', b', c',$ являющимися фактическими перпендикулярными расстояниями к сторонам, удовлетворяют ^[1]^{: с. 11}

aa'+bb'+cc'=2\Delta

для сторон треугольника $a, b, c$ и площади $Δ$ . Это можно увидеть на рисунке вверху статьи: внутренняя точка $P$ делит треугольник $△ ABC$ на три треугольника $△ PBC, △ PCA, △ PAB$ с соответствующими площадями. ${\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.$

Расстояние между двумя точками

Расстояние $d$ между двумя точками с трилинейками фактического расстояния $a i : b i : c i$ определяется выражением ^[1]^{: с. 46}

d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C

или более симметричным способом

d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).

Расстояние от точки до линии

Расстояние $d$ от точки $a' : b' : c'$ в трилинейных координатах фактических расстояний до прямой линии. $lx+my+nz=0$ является ^[1]^{: с. 48}

d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.

Квадратичные кривые

Уравнение конического сечения в переменной трилинейной точке $x : y : z$ имеет вид ^[1]^{: стр.118}

rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.

Он не имеет линейных членов и постоянного члена.

Уравнение окружности радиуса $r,$ имеющей центр в координатах фактического расстояния $(a', b', c'),$ имеет вид ^[1]^{: стр.287}

(x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.

Циркумконикс

Уравнение в трилинейных координатах $x, y, z$ любой описанной окружности треугольника имеет вид ^[1]^{: с. 192}

lyz+mzx+nxy=0.

Если параметры $l, m, n$ соответственно равны длинам сторон $a, b, c$ (или синусам противоположных им углов), то уравнение дает описанную окружность . ^[1]^{: с. 199}

Каждый отдельный цирккокон имеет уникальный для себя центр. Уравнение в трилинейных координатах циркумконуса с центром $x' : y' : z'$ имеет вид ^[1]^{: с. 203}

yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.

Инконики

Каждое коническое сечение, вписанное в треугольник, имеет уравнение в трехлинейных координатах: ^[1]^{: с. 208}

l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,

ровно один или три из неуказанных признаков являются отрицательными.

Уравнение вписанной окружности можно упростить до ^[1]^{: с. 210, с.214}

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,

а уравнение, например, для вписанной окружности , примыкающей к боковому отрезку, противоположному вершине $A,$ можно записать как ^[1]^{: с. 215}

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.

Кубические кривые

Многие кубические кривые легко представить с помощью трилинейных координат. Например, основная самоизосопряженная куба $Z (U, P)$ как геометрическое место точки $X$ такой, что $P$ -изосопряженная кубика $X$ находится на прямой $UX,$ задается детерминантным уравнением

{\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.

Среди именованных кубов $Z (U,P)$ выделяются следующие:

Кубик Томсона : ⁠

Z(X(2),X(1))

⁠ , где ⁠

X(2)

⁠ является центроидом и ⁠ $X(1)$ ⁠ находится в центре

Кубик Фейербаха : ⁠

Z(X(5),X(1))

⁠ , где ⁠

X(5)

⁠ — точка Фейербаха

Кубик Дарбу : ⁠

Z(X(20),X(1))

⁠ , где ⁠

X(20)

⁠ — точка Де Лонгшана

Кубик Нойберга : ⁠

Z(X(30),X(1))

⁠ , где ⁠

X(30)

⁠ — точка бесконечности Эйлера .

Конверсии

Между трехлинейными координатами и расстояниями от боковых линий

Для любого выбора трилинейных координат $x : y : z$ для определения местоположения точки фактические расстояния точки от боковых линий определяются как $a' = kx, b' = ky, c' = kz$ , где $k$ можно определить по формуле $k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}$ где $a, b, c$ — соответствующие длины сторон $BC, CA, AB$ , а $∆$ — площадь $△ ABC$ .

Между барицентрическими и трилинейными координатами

Точка с трилинейными координатами $x : y : z$ имеет барицентрические координаты $ax : by : cz$ , где $a, b, c$ — длины сторон треугольника. И наоборот, точка с барицентрикой $α : β : γ$ имеет трилинейные координаты. ${\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.$

Между декартовыми и трилинейными координатами

Дан опорный треугольник $△ ABC$ , выразите положение вершины $B$ через упорядоченную пару декартовых координат и представьте это алгебраически как вектор ⁠ ${\vec {B}},$ ⁠ используя вершину $C$ в качестве начала координат. Аналогичным образом определите вектор положения вершины $A$ как ⁠ ${\vec {A}}.$ ⁠ Тогда любая точка $P,$ связанная с опорным треугольником $△ ABC,$ может быть определена в декартовой системе как вектор ${\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.$ Если эта точка $P$ имеет трилинейные координаты $x : y : z$ , то формула преобразования коэффициентов $k 1$ и $k 2$ в декартовом представлении в трилинейные координаты такова: для длин сторон $a, b, c$ противоположных вершин $A, B, C$ ,

x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},

а формула преобразования трилинейных координат в коэффициенты в декартовом представлении имеет вид

k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.

В более общем смысле, если выбрано произвольное начало координат, где декартовы координаты вершин известны и представлены векторами ⁠ ${\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}$ ⁠ и если точка $P$ имеет трилинейные координаты $x : y : z$ , то декартовы координаты ⁠ ${\vec {P}}$ ⁠ — средневзвешенное значение декартовых координат этих вершин с использованием барицентрических координат $ax, by, cz$ в качестве весов. Отсюда формула преобразования трилинейных координат $x, y, z$ в вектор декартовых координат ⁠ ${\vec {P}}$ ⁠ точки определяется выражением

{\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},

где длины сторон

{\begin{aligned}&|{\vec {C}}-{\vec {B}}|=a,\\&|{\vec {A}}-{\vec {C}}|=b,\\&|{\vec {B}}-{\vec {A}}|=c.\end{aligned}}

См. также

Теорема Морли о трисекторах # Треугольники Морли с примерами многочисленных точек, выраженных в трилинейных координатах.
Тройной сюжет
Теория Вивиани

Ссылки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейные координаты» . Математический мир .
Энциклопедия центров треугольников - ETC Кларка Кимберлинга; имеет трилинейные координаты (и барицентрические) для 64000 центров треугольников.

[WW-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с Уильям Аллен Уитворт (1866) Трилинейные координаты и другие методы аналитической геометрии двух измерений: элементарный трактат , ссылка из монографий по исторической математике Корнелльского университета .

[1]