Квазиправильный многогранник

Квазирегулярные фигуры Домены прямоугольного треугольника (pq 2), = г{р,q} г{4,3} г{5,3} г{6,3} г{7,3} ... г{∞,3} (3.4) 2 (3.5) 2 (3.6) 2 (3.7) 2 (3.∞) 2 Домены равнобедренного треугольника (стр. 3), = = ч{6,р} ч{6,4} ч{6,5} ч{6,6} ч{6,7}... ч{6,∞} = = = = = (4.3) 4 (5.3) 5 (6.3) 6 (7.3) 7 (∞.3) ∞ Домены равнобедренного треугольника (стр. 4), = = ч{8,р} ч{8,3} ч{8,5} ч{8,6} ч{8,7}... ч{8,∞} = = = = = (4.3) 3 (4.5) 5 (4.6) 6 (4.7) 7 (4.∞) ∞ Домен разностороннего треугольника (5 4 3), (3.5) 4 (4.5) 3 (3.4) 5 Квазиправильный многогранник или мозаика имеет ровно два вида правильных граней, которые чередуются вокруг каждой вершины. Их вершинные фигуры представляют собой изогональные многоугольники .

Регулярные и квазирегулярные фигуры Домены прямоугольного треугольника (стр. 2), = = г{р,р} = {р,4} 1 ⁄ 2 {3,4} 1 ⁄ 2 г{3,3} {4,4} 1 ⁄ 2 г{4,4} {5,4} 1 ⁄ 2 г{5,5} {6,4} 1 ⁄ 2 г{6,6}... {∞,4} 1 ⁄ 2 г{∞,∞} = = = = = (3.3) 2 (4.4) 2 (5.5) 2 (6.6) 2 (∞.∞) 2 Домены равнобедренного треугольника (стр. 3), = = {р,6} 1 ⁄ 2 {3,6} 1 ⁄ 2 {4,6} 1 ⁄ 2 {5,6} 1 ⁄ 2 {6,6} 1 ⁄ 2 ... {∞,6} 1 ⁄ 2 = = = = = (3.3) 3 (4.4) 3 (5.5) 3 (6.6) 3 (∞.∞) 3 Домены равнобедренного треугольника (стр. 4), = = {р,8} 1 ⁄ 2 {3,8} 1 ⁄ 2 {4,8} 1 ⁄ 2 {5,8} 1 ⁄ 2 {6,8} 1 ⁄ 2 ... {∞,8} 1 ⁄ 2 = = = = = (3.3) 4 (4.4) 4 (5.5) 4 (6.6) 4 (∞.∞) 4 или Правильный многогранник мозаика можно считать квазиправильным, если он имеет четное количество граней вокруг каждой вершины (и, следовательно, может иметь грани поочередного цвета).

В геометрии — квазиправильный многогранник это однородный многогранник , имеющий ровно два вида правильных граней , чередующихся вокруг каждой вершины . Они являются вершинно-транзитивными и реберно-транзитивными , следовательно, на шаг ближе к правильным многогранникам , чем полуправильные , которые просто вершинно-транзитивны.

Их двойственные фигуры транзитивны по граням и по краям; они имеют ровно два вида правильных вершинных фигур , которые чередуются вокруг каждой грани . Иногда их также считают квазирегулярными.

всего два Выпуклых квазиправильных многогранников : кубооктаэдр и икосододекаэдр . Их имена, данные Кеплером , происходят от признания того, что их грани — это все грани (повернутые по-разному) двупарного куба . и октаэдра , в первом случае, и дуальнопарного икосаэдра и додекаэдра , во втором случае

Этим формам, представляющим пару правильной фигуры и ее двойственной фигуры, можно дать вертикальный символ Шлефли. ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ или r{p,q} , чтобы показать, что их грани являются всеми гранями (повернутыми по-разному) как обычного {p,q}, так и двойственного регулярного {q,p} . Квазиправильный многогранник с этим символом будет иметь конфигурацию вершин p.qpq (или (pq) ² ).

В более общем смысле, квазиправильная фигура может иметь конфигурацию вершин (pq) ^р , представляющий r (2 или более) последовательностей граней вокруг вершины.

Замощения плоскости также могут быть квазирегулярными, в частности , тригексагональные замощения с конфигурацией вершин (3.6) ² . и другие квазирегулярные мозаики На гиперболической плоскости существуют , например трехгептагональная мозаика (3.7) ² . Или в более общем смысле: (pq) ² , при этом 1/p + 1/q < 1/2 .

Правильные многогранники и мозаики с четным числом граней в каждой вершине также можно считать квазиправильными, если дифференцировать грани одного и того же порядка, представляя их по-разному, например, раскрашивая их попеременно (без определения какой-либо ориентации поверхности). Правильную фигуру с символом Шлефли {p,q} можно считать квазирегулярной с конфигурацией вершин (pp) ^кв/2 , если q четно.

Примеры:

Правильный октаэдр с символом Шлефли {3,4} и четным числом 4 можно считать квазиправильным как тетратетраэдр (2 набора по 4 треугольника тетраэдра ) с конфигурацией вершин (3.3) ^4/2 = (3 _а .3 _б ) ² , чередуя два цвета треугольных граней.

Квадратная мозаика с конфигурацией вершин 4 ⁴ и 4 четно, можно считать квазирегулярным с конфигурацией вершин (4.4) ^4/2 = (4 _а .4 _б ) ² , раскрашенный в виде шахматной доски .

Треугольная мозаика с конфигурацией вершин 3 ⁶ и 6 четно, можно считать квазирегулярным с конфигурацией вершин (3.3) ^6/2 = (3 _а .3 _б ) ³ , чередуя два цвета треугольных граней.

Строительство Витхоффа

Правильные ( p | 2 q ) и квазиправильные многогранники ( 2 | pq ) создаются на основе конструкции Витхоффа с образующей точкой в ​​одном из трех углов фундаментальной области. Это определяет единственное ребро внутри фундаментальной области.

Квазиправильные многогранники образуются из всех трех углов фундаментальной области для треугольников Шварца , не имеющих прямых углов:
д | 2 п , п | 2 кв , 2 | ПК

Коксетер определяет квазиправильный многогранник как многогранник, имеющий символ Витхоффа в форме p | qr и является регулярным, если q=2 или q=r.

Диаграмма Кокстера-Динкина — еще одно символическое представление, которое показывает квазирегулярную связь между двумя дуально-регулярными формами:

Символ Шлефли		Диаграмма Кокстера	Символ Витхоффа
${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	{п, д}		д | 2 р
${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	{д, р}		р | 2 кв.
${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	г {р, q}	или	2 | ПК

Выпуклые квазиправильные многогранники

Дополнительная информация: Ректификация (геометрия).

Имеются два однородных выпуклых квазиправильных многогранника:

1. Кубооктаэдр ​ ${\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}$, конфигурация вершин (3.4) ² , диаграмма Кокстера-Динкина
2. Икосододекаэдр ​ ${\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}$, конфигурация вершин (3.5) ² , диаграмма Кокстера-Динкина

Кроме того, октаэдр , который тоже правильный , ${\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$, конфигурация вершин (3.3) ² , можно считать квазирегулярным, если альтернативным граням присвоены разные цвета. В этой форме его иногда называют тетратетраэдром . Остальные выпуклые правильные многогранники имеют нечетное количество граней в каждой вершине, поэтому их нельзя раскрасить так, чтобы сохранить транзитивность ребер. Имеет диаграмму Кокстера-Динкина.

Каждый из них образует общее ядро ​​двойственной пары правильных многогранников . Названия двух из них дают подсказку о соответствующей двойной паре: соответственно куб $\cap$ октаэдр и икосаэдр $\cap$ додекаэдр . Октаэдр — общее ядро ​​двойной пары тетраэдров (соединение, известное как стелла октангула ); полученный таким образом октаэдр иногда называют тетратетраэдром , поскольку тетраэдр $\cap$ тетраэдр .

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярное общее ядро	Вершинная фигура
Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетратетраэдр г{3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Куб {4,3} 3 | 2 4	Октаэдр {3,4} 4 | 2 3	Кубооктаэдр г{3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Додекаэдр {5,3} 3 | 2 5	Икосаэдр {3,5} 5 | 2 3	Икосододекаэдр г{3,5} 2 | 3 5	3.5.3.5

Каждый из этих квазиправильных многогранников может быть построен с помощью операции выпрямления любого правильного родительского элемента, полностью усекая вершины, пока каждое исходное ребро не сократится до своей средней точки.

Квазирегулярные мозаики

Эта последовательность продолжается как трехгексагональная мозаика , вершинная фигура (3.6) ² - квазирегулярная мозаика , основанная на треугольной и шестиугольной мозаике .

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярная комбинация	Вершинная фигура
Шестиугольная плитка {6,3} 6 | 2 3	Треугольная плитка {3,6} 3 | 2 6	Трехгексагональная плитка г{6,3} 2 | 3 6	(3.6) 2

Шахматный вершинной узор представляет собой квазирегулярную раскраску квадратной мозаики , фигуры (4.4) ² :

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярная комбинация	Вершинная фигура
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	г{4,4} 2 | 4 4	(4.4) 2

Треугольную мозаику также можно считать квазирегулярной с тремя наборами чередующихся треугольников в каждой вершине (3.3) ³ :

ч{6,3} 3 | 3 3 =

В гиперболической плоскости эта последовательность продолжается и дальше, например трехгептагональная мозаика , вершинная фигура (3.7) ² - квазирегулярное замощение, основанное на треугольном замощении 7-го порядка и семиугольном замощении .

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярная комбинация	Вершинная фигура
Семиугольная плитка {7,3} 7 | 2 3	Треугольная плитка {3,7} 3 | 2 7	Трехгептагональная черепица г{3,7} 2 | 3 7	(3.7) 2

Невыпуклые примеры

Коксетер, HSM и др. (1954) также классифицируют некоторые звездчатые многогранники , имеющие те же характеристики, что и квазиправильные.

Два основаны на двойственных парах правильных тел Кеплера – Пуансо , так же, как и в выпуклых примерах:

великий икосододекаэдр ${\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}$и додекадодекаэдр ${\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}$:

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярное общее ядро	Вершинная фигура
Большой звездчатый додекаэдр { 5 / 2 ,3} 3 | 2 5/2	Большой икосаэдр {3, 5 / 2 } 5/2 | 2 3	Большой икосододекаэдр г{3, 5 / 2 } 2 | 3 5/2	3. 5 / 2 .3. 5 / 2
Малый звездчатый додекаэдр { 5 / 2 ,5} 5 | 2 5/2	Большой додекаэдр {5, 5 / 2 } 5/2 | 2 5	Додекадодекаэдр г{5, 5 / 2 } 2 | 5 5/2	5. 5 / 2 .5. 5 / 2

Еще девять — полумногогранники , которые представляют собой ограненные формы вышеупомянутых квазиправильных многогранников, полученные в результате выпрямления правильных многогранников. К ним относятся экваториальные грани, проходящие через центр многогранников:

Квазирегулярный (выпрямленный)	Тетратетраэдр	Кубооктаэдр	Икосододекаэдр	Большой икосододекаэдр	Додекадодекаэдр
Квазирегулярные (полумногогранники)	Тетрагемишестиэдр 3 / 2 3 | 2	Октагемиоктаэдр 3 / 2 3 | 3	Малый икосихемидодекаэдр 3 / 2 3 | 5	Большой икосихемидодекаэдр 3 / 2 3 | 5 / 3	Малый додекагемикосаэдр 5 / 3 5 / 2 | 3
Вершинная фигура	3.4. 3 / 2 .4	3.6. 3 / 2 .6	3.10. 3 / 2 .10	3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3	5 / 2 .6. 5 / 3 .6
Квазирегулярные (полумногогранники)		Кубогемиоктаэдр 4 / 3 4 | 3	Малый додекахемидодекаэдр 5 / 4 5 | 5	Большой додекахемидодекаэдр 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3	Большой додекагемикосаэдр 5 / 4 5 | 3
Вершинная фигура		4.6. 4 / 3 .6	5.10. 5 / 4 .10	5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3	5.6. 5 / 4 .6

Наконец, есть три двуугольные формы, все грани правильного додекаэдра, чьи вершинные фигуры содержат три чередования двух типов граней:

Изображение	Фасетная форма Символ Витхоффа Диаграмма Кокстера	Вершинная фигура
	Дитригональный додекадодекаэдр 3 | 5/3 5 или	(5.5/3) 3
	Малый дитригональный икосододекаэдр 3 | 5/2 3 или	(3.5/2) 3
	Большой дитригональный икосододекаэдр 3/2 | 3 5 или	((3.5) 3 )/2

В евклидовой плоскости последовательность полумногогранников продолжается следующими четырьмя звездчатыми мозаиками, где апейрогоны выглядят как вышеупомянутые экваториальные многоугольники:

Оригинал исправленный плитка	Край диаграмма	Твердый	Вертекс Конфигурация	Витхофф	Группа симметрии
Квадрат плитка			4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 | ∞	п4м
Треугольный плитка			(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 | 3 ∞	п6м
Трехгексагональный плитка			6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 | ∞
			∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 | ∞

Квазирегулярные двойники

Некоторые авторитеты утверждают, что, поскольку двойственные тела квазирегулярных тел имеют одну и ту же симметрию, эти двойственные тела также следует называть квазирегулярными. Но не все используют эту терминологию. Эти двойственные числа транзитивны на своих ребрах и гранях (но не на вершинах); это каталонские тела, транзитивные по краям . Выпуклые в порядке, указанном выше:

1. Ромбический додекаэдр с двумя типами чередующихся вершин: 8 с тремя ромбическими гранями и 6 с четырьмя ромбическими гранями.
2. Ромбический триаконтаэдр с двумя типами чередующихся вершин: 20 с тремя ромбическими гранями и 12 с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, благодаря двойственности с октаэдром куб , который обычно является правильным , можно сделать квазиправильным, если чередующимся вершинам придать разные цвета.

их Конфигурации граней имеют вид V3.n.3.n и диаграмму Кокстера-Дынкина.

Куб V(3.3) 2	Ромбический додекаэдр V(3.4) 2	Ромбический триаконтаэдр V(3.5) 2	Ромбическая плитка V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2

Эти три квазирегулярных дуала также характеризуются наличием ромбических граней.

Этот узор с ромбами продолжается как V (3.6) ² , ромбовидная мозаика .

Квазиправильные многогранники и соты

В более высоких измерениях Коксетер определил квазиправильный многогранник или соты, которые имеют правильные грани и квазиправильные фигуры вершин. Отсюда следует, что все фигуры вершин конгруэнтны и что существует два типа граней, которые чередуются.

В евклидовом 4-мерном пространстве регулярные 16 ячеек также можно рассматривать как квазирегулярные, как чередующийся тессеракт , h{4,3,3}, диаграммы Кокстера : = , состоящий из чередующихся тетраэдра и тетраэдра ячеек . Его вершинная фигура — квазиправильный тетратетраэдр (октаэдр с тетраэдрической симметрией), .

Единственные квазирегулярные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — это чередующиеся кубические соты , h{4,3,4}, диаграммы Кокстера: = , состоящий из чередующихся тетраэдрических и октаэдрических ячеек . Его вершинная фигура — квазиправильный кубооктаэдр . .

В гиперболическом трехмерном пространстве одна квазирегулярная сота представляет собой чередующуюся кубическую соту пятого порядка , h{4,3,5}, диаграммы Кокстера: = , состоящий из чередующихся тетраэдрических и икосаэдрических ячеек . Его вершинная фигура — квазиправильный икосододекаэдр . . Родственная паракомпактная кубическая сотовая структура чередующегося порядка 6 , h{4,3,6} имеет чередующиеся тетраэдрические и шестиугольные ячейки мозаики с фигурой вершины, представляющей собой квазирегулярную тригексагональную мозаику , .

показывать Квазирегулярная полихора и соты: h{4,p,q}
Space	Finite	Affine	Compact	Paracompact
Schläfli symbol	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
	$\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{4 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{5 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{6 \atop 3}\right\}$	$\left\{4,{4 \atop 3}\right\}$	$\left\{4,{4 \atop 4}\right\}$
Coxeter diagram	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Image
Vertex figure r{p,3}

Полихора правильная или соты формы {р,3,4} или их симметрию можно сократить вдвое, как в квазирегулярную форму , создавая ячейки {p,3} поочередного цвета. К этим случаям относятся евклидовы кубические соты {4,3,4} с кубическими ячейками, компактные гиперболические {5,3,4} с додекаэдрическими ячейками и паракомпактные {6,3,4} с бесконечными шестиугольными ячейками мозаики. У них есть четыре ячейки по каждому краю, чередующиеся в 2 цвета. Их вершинные фигуры представляют собой квазиправильные тетратетраэдры. = .

Распространенной вершинной фигурой является квазиправильный тетратетраэдр. , то же, что и обычный октаэдр

показывать Обычные и квазирегулярные соты: {p,3,4} и {p,3. 1,1 }
Space	Euclidean 4-space	Euclidean 3-space	Hyperbolic 3-space
Name	{3,3,4} {3,31,1} = $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$	{4,3,4} {4,31,1} = $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$	{5,3,4} {5,31,1} = $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$	{6,3,4} {6,31,1} = $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$
Coxeter diagram	=	=	=	=
Image
Cells {p,3}

Аналогично регулярные гиперболические соты вида {p,3,6} или их симметрию можно сократить вдвое, как в квазирегулярную форму , создавая ячейки {p,3} поочередного цвета. У них по шесть ячеек по каждому краю, чередующихся в 2 цвета. Их вершинные фигуры представляют собой квазиправильные треугольные мозаики . .

Общая вершинная фигура представляет собой квазиправильную треугольную мозаику , =

Гиперболические однородные соты : {p,3,6} и {p,3 ^[3] }

Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	{3,3,6} {3,3 [3] }	{4,3,6} {4,3 [3] }	{5,3,6} {5,3 [3] }	{6,3,6} {6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞,3,6} {∞,3 [3] }
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

См. также

• Киральный многогранник
• Ректификация (геометрия)

Ссылки

• Кромвель, П. Многогранники , Издательство Кембриджского университета (1977).
• Коксетер , Правильные многогранники , (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN   0-486-61480-8 , 2.3 Квазиправильные многогранники. (стр. 17), Квазирегулярные соты стр. 69

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Квазиправильный многогранник» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Равномерный многогранник» . Математический мир . Квазиправильные многогранники: (pq) ^р
• Джордж Харт, Квазиправильные многогранники.