Jump to content

Равномерный 4-многогранник

Диаграмма Шлегеля для усеченной 120-ячеечной ячейки с видимыми тетраэдрическими ячейками.
Ортографическая проекция усеченной 120-ячеечной ячейки в H 3 плоскости Кокстера ( D 10 симметрия ). Рисуются только вершины и ребра.

В геометрии однородный 4-многогранник (или однородный многогранник ). [1] — 4-мерный многогранник , вершинно-транзитивный , ячейки которого представляют собой однородные многогранники , а грани — правильные многоугольники .

Имеется 47 непризматических выпуклых однородных 4-многогранников. Существует два бесконечных множества выпуклых призматических форм, а также 17 случаев, возникающих как призмы выпуклых однородных многогранников. Существует также неизвестное количество невыпуклых звездных форм.

История открытия

[ редактировать ]
  • Выпуклые правильные многогранники :
    • 1852 : Людвиг Шлефли доказал в своей рукописной теории множественной непрерывности , что существует ровно 6 правильных многогранников в 4 измерениях и только 3 в 5 или более измерениях.
  • Правильные звездчатые 4-многогранники ( ячейки звездчатых многогранников и/или вершинные фигуры )
    • 1852 : Людвиг Шлефли также нашел 4 из 10 правильных звездных 4-многогранников, не считая 6 с ячейками или вершинными фигурами { 5 / 2,5 } и {5, 5 / 2 } .
    • 1883 : Эдмунд Гесс книге (на немецком языке) «Введение в теорию сферического деления» со специальным рассмотрением ее применения к теории равноповерхностей и равноугольных многогранников завершил список 10 невыпуклых правильных 4-многогранников в своей . специальное рассмотрение его применения к теории равноповерхностей и равноугольных многогранников, д-р. Эдмунд Хесс. С шестнадцатью литографированными пластинами. .
  • Выпуклые полуправильные многогранники категории Коксетера : (Различные определения до однородной )
  • Выпуклые однородные многогранники :
    • 1940 : Поиск систематически расширялся Х.С.М. Коксетером в его публикации «Регулярные и полуправильные многогранники» .
    • Выпуклые однородные 4-многогранники :
      • 1965 : Полный список выпуклых форм был наконец перечислен Джоном Хортоном Конвеем и Майклом Гаем в их публикации «Четырехмерные архимедовы многогранники» , установленной с помощью компьютерного анализа, с добавлением только одного не витоффова выпуклого 4-многогранника, большой антипризмы.
      • 1966 Норман Джонсон защищает докторскую диссертацию. диссертация «Теория однородных многогранников и сот» под руководством консультанта Коксетера завершает основную теорию однородных многогранников для размерностей 4 и выше.
      • В 1986 году Коксетер опубликовал статью «Регулярные и полуправильные многогранники II» , в которой был проведен анализ уникальной курносой 24-ячеечной структуры и симметрии аномальной большой антипризмы.
      • 1998 [5] -2000 : 4-многогранники были систематически названы Норманом Джонсоном и даны онлайн-индексированным перечислением Джорджа Ольшевского (использованным в качестве основы для этого списка). Джонсон назвал 4-многогранники полихорами, как и многогранники для 3-многогранников, от греческих корней поли («много») и choros («комната» или «пространство»). [6] Названия единой полихоры начинались с шести правильных полихор с префиксами, основанными на кольцах на диаграммах Коксетера; усечение t 0,1 , кантелляция t 0,2 , сокращение t 0,3 с однокольцевыми формами, называемыми выпрямленными, и би-, три-префиксами, добавленными, когда первое кольцо находилось на втором или третьем узлах. [7] [8]
      • 2004 : Доказательство полноты множества Конвея-Гая было опубликовано Марко Мёллером в его диссертации « Vier Dimensione Archimedische Polytope» . Мёллер воспроизвел систему именования Джонсона в своем списке. [9]
      • 2008 : Симметрии вещей [10] был опубликован Джоном Х. Конвеем и содержит первый опубликованный в печатном виде список выпуклых однородных 4-многогранников и многогранников более высокой размерности семейства групп Кокстера, с общими диаграммами фигур вершин для каждой перестановки кольцевых диаграмм Кокстера - курносых, больших антипризм и дуопризм. - которые он назвал пропризмами для продуктовых призм. Он использовал свою собственную схему именования ijk -ambo для перестановок индексированных колец, помимо усечения и побитового усечения, и все имена Джонсона были включены в указатель книги.
  • Неправильные однородные звездчатые 4-многогранники : (аналогично невыпуклым однородным многогранникам )
    • 1966 : Джонсон описывает в своей диссертации три невыпуклые однородные антипризмы в четырехмерном пространстве. [11]
    • 1990–2006 : В ходе совместных поисков до 2005 года Джонатан Бауэрс и Джордж Ольшевский идентифицировали в общей сложности 1845 однородных 4-многогранников (выпуклых и невыпуклых). [12] еще четыре были обнаружены в 2006 году, всего 1849. В подсчет включены 74 призмы из 75 непризматических однородных многогранников (поскольку это конечное множество - кубическая призма исключена, поскольку она дублирует тессеракт), но не бесконечные категории дуопризм или призм антипризм. [13]
    • 2020–2023 гг .: обнаружено 342 новых полихоры, в результате чего общее количество известных однородных 4-многогранников достигло 2191. Список не является полным. [13] [14]

Правильные 4-многогранники

[ редактировать ]

Правильные 4-многогранники — это подмножество однородных 4-многогранников, удовлетворяющее дополнительным требованиям. Правильные 4-многогранники могут быть выражены с помощью символа Шлефли { p , q , r } и имеют ячейки типа { p , q }, грани типа { p }, реберные фигуры { r } и вершинные фигуры { q , r }.

Существование правильного 4-многогранника { p , q , r } ограничено существованием правильных многогранников { p , q }, которые становятся ячейками, и { q , r }, которые становятся вершинной фигурой .

Существование конечного 4-многогранника зависит от неравенства: [15]

16 правильных 4-многогранников со свойством конгруэнтности всех ячеек, граней, ребер и вершин:

Выпуклые однородные 4-многогранники

[ редактировать ]

Симметрия однородных 4-многогранников в четырех измерениях

[ редактировать ]
Ортогональные подгруппы
24 зеркала F 4 можно разложить на 2 ортогональные группы D 4 :
  1. = (12 зеркал)
  2. = (12 зеркал)
10 зеркал B 3 × A 1 можно разложить на ортогональные группы 4 A 1 и D 3 :
  1. = (3+1 зеркала)
  2. = (6 зеркал)

Существует 5 основных семейств точечных групп зеркальной симметрии в 4-х измерениях: A 4 = , В 4 = , Д 4 = , Ф 4 = , Ч 4 = . [7] Также существуют 3 призматические группы A 3 A 1 = , В 3 А 1 = , ЧАС 3 А 1 = , и дуопризматические группы: I 2 (p)×I 2 (q) = . Каждая группа определяется тетраэдра Гурса, фундаментальной областью ограниченной зеркальными плоскостями.

Каждый отражающий однородный 4-многогранник может быть построен в одной или нескольких отражающих точечных группах в 4 измерениях с помощью конструкции Витхоффа , представленной кольцами вокруг перестановок узлов на диаграмме Коксетера . Зеркальные гиперплоскости можно группировать, как видно по цветным узлам, разделенным четными ветвями. Группы симметрии вида [a,b,a] имеют расширенную симметрию [[a,b,a]], удваивая порядок симметрии. Сюда входят [3,3,3], [3,4,3] и [ p ,2, p ]. Однородные многогранники в этой группе с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.

Если все зеркала данного цвета не имеют кольца (неактивны) в данном однородном многограннике, он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией за счет удаления всех неактивных зеркал. Если все узлы данного цвета окольцованы (активны), операция чередования может создать новый 4-многогранник с киральной симметрией, показанный как «пустые» узлы в кружке», но геометрия обычно не поддается настройке для создания единообразных решений .

Вейль
группа
Конвей
Кватернион
Абстрактный
структура
Заказ Коксетер
диаграмма
Коксетер
обозначение
Коммутатор
подгруппа
Коксетер
число

(час)
Зеркала
м = 2 часа
Нередуцируемый
A 4 +1/60[I×I].21 С 5 120 [3,3,3] [3,3,3] + 5 10
Д 4 ±1/3[T×T].2 1/2. 2 С 4 192 [3 1,1,1 ] [3 1,1,1 ] + 6 12
Б 4 ±1/6[O×O].2 2 С 4 = С 2 С 4 384 [4,3,3] 8 4 12
FF4 ±1/2[O×O].2 3 3. 2 С 4 1152 [3,4,3] [3 + ,4,3 + ] 12 12 12
Ч 4 ±[I×I].2 2.(A 5 ×A 5 ).2 14400 [5,3,3] [5,3,3] + 30 60
Призматические группы
А 3 А 1 +1/24[O×O].2 3 S 4 ×D 1 48 [3,3,2] = [3,3]×[ ] [3,3] + - 6 1
Б 3 А 1 ±1/24[O×O].2 S 4 ×D 1 96 [4,3,2] = [4,3]×[ ] - 3 6 1
Ч 3 А 1 ±1/60[I×I].2 A 5 ×D 1 240 [5,3,2] = [5,3]×[ ] [5,3] + - 15 1
Дуопризматические группы (используйте 2p,2q для четных целых чисел)
Я 2 ( п ) Я 2 ( q ) ±1/2[D 2 p ×D 2 q ] D p ×D q 4 шт. [ п ,2, q ] = [ п ]×[ q ] [ п + ,2, q + ] - п д
Я 2 ( 2п 2 ( д ) ±1/2[D 4 p ×D 2 q ] D 2 p ×D q 8 шт. [2 п ,2, q ] = [2 п ]×[ q ] - п п д
Я 2 ( 2п ) Я 2 ( ) ±1/2[D 4 p ×D 4 q ] D 2p ×D 2q 16 кв.м. [2 п ,2,2 q ] = [2 п ]×[2 q ] - п п д д

Перечисление

[ редактировать ]

Существует 64 выпуклых однородных 4-многогранника, включая 6 правильных выпуклых 4-многогранников, исключая бесконечные множества дуопризм и антипризматических призм .

  • 5 — многогранные призмы на основе Платоновых тел (1 перекрывается с регулярной, поскольку кубическая гиперпризма — это тессеракт )
  • 13 — многогранные призмы на основе архимедовых тел.
  • 9 принадлежат к самодуальному регулярному семейству A 4 [3,3,3] группы ( 5-клеток ).
  • 9 принадлежат к самодвойственному регулярному семейству F 4 [3,4,3] группы ( 24 ячейки ). (исключая курносый 24-элементный)
  • 15 входят в обычную группу B 4 [3,3,4] ( тессеракт / 16-клеточное ) семейство (3 перекрываются с 24-клеточным семейством)
  • 15 относятся к семейству обычных групп H 4 ] ( 120/600 ячеек [ 3,3,5 ).
  • 1 специальная курносая форма в семействе групп [3,4,3] ( 24 ячейки ).
  • 1 специальный невитоффов 4-многогранник, большая антипризма.
  • ИТОГО: 68 − 4 = 64

Эти 64 однородных 4-многогранника пронумерованы ниже Георгием Ольшевским. Повторяющиеся формы симметрии указаны в скобках.

В дополнение к 64, указанным выше, существует 2 бесконечных призматических набора, которые порождают все оставшиеся выпуклые формы:

А 4 Семья

[ редактировать ]

5-клеточная клетка имеет диплоидную пентахорную [3,3,3] симметрию . [7] порядка 120, изоморфен перестановкам пяти элементов, поскольку все пары вершин связаны одинаково.

Фасеты (ячейки) задаются, сгруппированные в своих местоположениях на диаграмме Кокстера путем удаления указанных узлов.

[3,3,3] однородные многогранники
# Имя
Имя Бауэрса (и аббревиатура)
Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(5)
Поз. 2

(10)
Поз. 1

(10)
Поз. 0

(5)
Клетки Лица Края Вершины
1 5-клеточный
Пентахорон [7] (ручка)

{3,3,3}
(4)

(3.3.3)
5 10 10 5
2 выпрямленный 5-клеточный
Ректифицированный пентахорон (рэп)

г {3,3,3}
(3)

(3.3.3.3)
(2)

(3.3.3)
10 30 30 10
3 усеченный 5-клеточный
Усеченный пентахорон (наконечник)

т{3,3,3}
(3)

(3.6.6)
(1)

(3.3.3)
10 30 40 20
4 кантеллированный 5-клеточный
Маленький ромбовидный пентахорон (срип)

рр{3,3,3}
(2)

(3.4.3.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
20 80 90 30
7 кантитусеченный 5-клеточный
Большой ромбовидный пентахорон (рукоятка)

тр{3,3,3}
(2)

(4.6.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
20 80 120 60
8 укороченный 5-клеточный
Призматоромбовидный пентахорон (прип)

т 0,1,3 {3,3,3}
(1)

(3.6.6)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
30 120 150 60
[[3,3,3]] однородные многогранники
# Имя
Имя Бауэрса (и аббревиатура)
Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера

и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3-0

(10)
Поз. 1-2

(20)
Все Клетки Лица Края Вершины
5 * сморщенный 5-клеточный
Small prismatodecachoron (spid)

т 0,3 {3,3,3}
(2)

(3.3.3)
(6)

(3.4.4)
30 70 60 20
6 * усеченный 5-ячеечный
Декашорон (дека)

2т{3,3,3}
(4)

(3.6.6)
10 40 60 30
9 * всеусеченный 5-клеточный
Большой призматодекахорон (гиппид)

т 0,1,2,3 {3,3,3}
(2)

(4.6.6)
(2)

(4.4.6)
30 150 240 120
Неоднородный омниснуб 5-ячеечный
Курносый декахорон (снад)
Курносый пентахорон (обрезной) [16]

чт 0,1,2,3 {3,3,3}
(2)
(3.3.3.3.3)
(2)
(3.3.3.3)
(4)
(3.3.3)
90 300 270 60

Три однородные формы 4-многогранников, отмеченные звездочкой * , порядка 240, [[3,3,3]], поскольку элемент , имеют более высокую расширенную пентахорную симметрию соответствующий любому элементу базовой 5-ячейки, можно поменять местами. с одним из тех, которые соответствуют элементу его двойника. Есть одна небольшая индексная подгруппа [3,3,3] + , порядок 60 или его удвоение [[3,3,3]] + , порядок 120, определяющий 5-элементную omnisnub , которая указана для полноты, но не является однородной.

Б 4 Семья

[ редактировать ]

Это семейство имеет диплоидную гексадекахорную симметрию . [7] [4,3,3], порядка 24×16=384: 4!=24 перестановки четырёх осей, 2 4 =16 для отражения по каждой оси. Существует 3 небольшие индексные подгруппы, причем первые две порождают однородные 4-многогранники, которые также повторяются в других семействах, [1 + ,4,3,3], [4,(3,3) + ] и [4,3,3] + , все порядка 192.

Усечение Тессеракта

[ редактировать ]
# Имя
(имя и аббревиатура Бауэрса)
Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(8)
Поз. 2

(24)
Поз. 1

(32)
Поз. 0

(16)
Клетки Лица Края Вершины
10 тессеракт или 8-клеточный
Тессеракт (тес)

{4,3,3}
(4)

(4.4.4)
8 24 32 16
11 Ректифицированный тессеракт (рит)
г {4,3,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(3.3.3)
24 88 96 32
13 Усеченный тессеракт (тат)
т{4,3,3}
(3)

(3.8.8)
(1)

(3.3.3)
24 88 128 64
14 Кантеллированный тессеракт
Маленький ромбированный тессеракт (срит)

рр{4,3,3}
(2)

(3.4.4.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
56 248 288 96
15 Сморщенный тессеракт
(также 16-ячеечный )
Малый диспризматотессерактигексадекашорон (сидпит)

т 0,3 {4,3,3}
(1)

(4.4.4)
(3)

(4.4.4)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
80 208 192 64
16 Усеченный тессеракт
(также усеченный 16-ячеечный )
Тессерактигексадекашорон (тах)

2т{4,3,3}
(2)

(4.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 120 192 96
18 Кантитусеченный тессеракт
Большой ромбовидный тессеракт (песок)

тр{4,3,3}
(2)

(4.6.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
56 248 384 192
19 Усеченный тессеракт
Призматоромбовидный гексадекашорон (прох)

т 0,1,3 {4,3,3}
(1)

(3.8.8)
(2)

(4.4.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
80 368 480 192
21 Всеусеченный тессеракт
(также всеусеченный 16-элементный )
Большой диспризматотессерактигексадекашорон (гидпит)

т 0,1,2,3 {3,3,4}
(1)

(4.6.8)
(1)

(4.4.8)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
80 464 768 384
Связанный полутессеракт, [1 + ,4,3,3] однородные 4-многогранники
# Имя
(аббревиатура в стиле Бауэрса)
Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(8)
Поз. 2

(24)
Поз. 1

(32)
Поз. 0

(16)
Все Клетки Лица Края Вершины
12 Половина тессеракта
Демитессеракт
= 16 ячеек (шестнадцатеричный)
=
ч{4,3,3}={3,3,4}
(4)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
16 32 24 8
[17] Кантический тессеракт
= Усеченные 16 ячеек (x)
=
ч 2 {4,3,3}=t{4,3,3}
(4)

(6.6.3)
(1)

(3.3.3.3)
24 96 120 48
[11] Рунический тессеракт
= Исправленный тессеракт (рит)
=
ч 3 {4,3,3}=r{4,3,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(3.3.3)
24 88 96 32
[16] Рунцикантический тессеракт
= Усеченный тессеракт (тах)
=
ч 2,3 {4,3,3}=2t{4,3,3}
(2)

(3.4.3.4)
(2)

(3.6.6)
24 120 192 96
[11] = Исправленный тессеракт (крыса) =
ч 1 {4,3,3}=r{4,3,3}
24 88 96 32
[16] = Усеченный тессеракт (тах) =
ч 1,2 {4,3,3}=2t{4,3,3}
24 120 192 96
[23] = Ректифицированный 24-клеточный (рико) =
ч 1,3 {4,3,3}=rr{3,3,4}
48 240 288 96
[24] = Усеченные 24 ячейки (тико) =
ч 1,2,3 {4,3,3}=tr{3,3,4}
48 240 384 192
# Имя
(аббревиатура в стиле Бауэрса)
Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(8)
Поз. 2

(24)
Поз. 1

(32)
Поз. 0

(16)
Все Клетки Лица Края Вершины
Неоднородный омниснуб тессеракт
Курносый тессеракт (snet) [17]
(Или омниснуб 16-кл .)

чт 0,1,2,3 {4,3,3}
(1)

(3.3.3.3.4)
(1)

(3.3.3.4)
(1)

(3.3.3.3)
(1)

(3.3.3.3.3)
(4)

(3.3.3)
272 944 864 192

16-ячеечные усечения

[ редактировать ]
# Имя (имя и аббревиатура Бауэрса) Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(8)
Поз. 2

(24)
Поз. 1

(32)
Поз. 0

(16)
Все Клетки Лица Края Вершины
[12] 16-ячеечный
Гексадекахорон [7] (шестнадцатеричный)

{3,3,4}
(8)

(3.3.3)
16 32 24 8
[22] *Выпрямленный 16-клеточный
(То же, что и 24-ячеечный ) (ico)
=
г {3,3,4}
(2)

(3.3.3.3)
(4)

(3.3.3.3)
24 96 96 24
17 Усеченный 16-клеточный
Усеченный гексадекахорон (текс)

т{3,3,4}
(1)

(3.3.3.3)
(4)

(3.6.6)
24 96 120 48
[23] *Контеллектированный 16-клеточный
(То же, что и выпрямленный 24-элементный ) (rico)
=
рр{3,3,4}
(1)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
(2)

(3.4.3.4)
48 240 288 96
[15] Ранцинированный 16-клеточный
(также сморщенный тессеракт ) (сидпит)

т 0,3 {3,3,4}
(1)

(4.4.4)
(3)

(4.4.4)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
80 208 192 64
[16] Усеченный 16-ячеечный
(также усеченный тессеракт ) (та)

2т{3,3,4}
(2)

(4.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 120 192 96
[24] *Плетенный 16-клеточный
(То же, что и усеченная 24-ячейка ) (tico)
=
тр{3,3,4}
(1)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
(2)

(4.6.6)
48 240 384 192
20 Ранцитусеченный 16-клеточный
Призматоромбовидный тессеракт (прит)

т 0,1,3 {3,3,4}
(1)

(3.4.4.4)
(1)

(4.4.4)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.6.6)
80 368 480 192
[21] Всеусеченный 16-ячеечный
(также всеусеченный тессеракт ) (гидпит)

т 0,1,2,3 {3,3,4}
(1)

(4.6.8)
(1)

(4.4.8)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
80 464 768 384
[31] чередующиеся кантиусеченные 16-клеточные
(То же, что и курносый 24-элементный ) (сади)

ср{3,3,4}
(1)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(2)

(3.3.3.3.3)
(4)

(3.3.3)
144 480 432 96
Неоднородный Рунцич курносый ректифицированный 16-клеточный
Пиритоснуб тессеракт (pysnet)

ср 3 {3,3,4}
(1)

(3.4.4.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(4.4.4)
(1)

(3.3.3.3.3)
(2)

(3.4.4)
176 656 672 192
(*) Так же, как при выпрямлении тетраэдра образуется октаэдр , при выпрямлении 16-ячеечного получается 24-ячеечная структура, регулярный член следующего семейства.

Курносый 24-элементный элемент повторяется в этом семействе для полноты картины. Это чередование кантиусеченной 16-клетки или усеченной 24-клетки , с полугруппой симметрии [(3,3) + ,4]. Усеченные октаэдрические ячейки превращаются в икосаэдры. Кубы становятся тетраэдрами, а в промежутках из удаленных вершин создается 96 новых тетраэдров.

Ф 4 Семья

[ редактировать ]

Это семейство обладает диплоидной икоситетрахорической симметрией . [7] [3,4,3], порядка 24×48=1152: 48 симметрий октаэдра для каждой из 24 ячеек. Существует 3 небольшие индексные подгруппы, причем первые две изоморфные пары порождают однородные 4-многогранники, которые также повторяются в других семействах, [3 + ,4,3], [3,4,3 + ] и [3,4,3] + , всего порядка 576.

[3,4,3] однородные 4-многогранники
# Имя Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(24)
Поз. 2

(96)
Поз. 1

(96)
Поз. 0

(24)
Клетки Лица Края Вершины
22 24-ячеечный
(То же, что и выпрямленный 16-элементный )
Икоситетрахорон [7] (ико)

{3,4,3}
(6)

(3.3.3.3)
24 96 96 24
23 выпрямленный 24-клеточный
(То же, что и сочлененный 16-элементный )
Икоситетрахорон ректифицированный (рико)

г {3,4,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
48 240 288 96
24 усеченный 24-клеточный
(То же, что и усеченный 16-элементный )
Усеченный икоситетрахорон (тико)

т{3,4,3}
(3)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
48 240 384 192
25 сочлененный 24-клеточный
Маленький ромбовидный икоситетрахорон (шрико)

рр{3,4,3}
(2)

(3.4.4.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
144 720 864 288
28 усеченный, 24 ячейки
Большой ромбовидный икоситетрахорон (грико)

тр{3,4,3}
(2)

(4.6.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.8.8)
144 720 1152 576
29 усеченный, 24-клеточный
Призматоромбовидный икоситетрахорон (прико)

т 0,1,3 {3,4,3}
(1)

(4.6.6)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.4.4)
240 1104 1440 576
[3 + ,4,3] однородные 4-многогранники
# Имя Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(24)
Поз. 2

(96)
Поз. 1

(96)
Поз. 0

(24)
Все Клетки Лица Края Вершины
31 курносый, 24 ячейки
Курносый дисикозитрахорон (сади)

с{3,4,3}
(3)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
144 480 432 96
Неоднородный рунчик курносый, 24 ячейки
Призматоромбиснуб икоситетрахорон (присси)

с 3 {3,4,3}
(1)

(3.3.3.3.3)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
(3)

Трикуп
240 960 1008 288
[25] кантик курносый, 24 ячейки
(То же, что и 24-элементный сочлененный ) (srico)

с2 { 3,4,3}
(2)

(3.4.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
(2)

(3.4.4)
144 720 864 288
[29] курносый, курносый, 24-клеточный
(То же, что и укороченный 24-элементный ) (prico)

с 2,3 {3,4,3}
(1)

(4.6.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.4.4)
(2)

(4.4.6)
240 1104 1440 576
(†) Курносый 24-клеточный здесь, несмотря на свое общее название, не является аналогом курносого куба ; скорее, он получается путем чередования усеченных 24 ячеек. Его число симметрии всего 576 ( ионная уменьшенная икоситетрахорная группа, [3 + ,4,3]).

Как и 5-клеточная, 24-клеточная самодуальна, поэтому следующие три формы имеют в два раза больше симметрий, в результате чего их общее количество достигает 2304 ( расширенная икоситетрахорическая симметрия [[3,4,3]]).

[[3,4,3]] однородные 4-многогранники
# Имя Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера

и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3-0


(48)
Поз. 2-1


(192)
Клетки Лица Края Вершины
26 сморщенный 24-клеточный
Малый призматотетраконтоктахорон (спик)

т 0,3 {3,4,3}
(2)

(3.3.3.3)
(6)

(3.4.4)
240 672 576 144
27 усеченный 24 ячейки
Тетраконтоктахорон (продолжение)

2т{3,4,3}
(4)

(3.8.8)
48 336 576 288
30 всеусеченный 24-клеточный
Большой призматотетраконтоктахорон (гиппик)

т 0,1,2,3 {3,4,3}
(2)

(4.6.8)
(2)

(4.4.6)
240 1392 2304 1152
[[3,4,3]] + изогональный 4-многогранник
# Имя Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3-0


(48)
Поз. 2-1


(192)
Все Клетки Лица Края Вершины
Неоднородный омниснуб, 24 ячейки
Курносый тетраконтоктахорон (snoc)
Курносый икоситетрахорон (sni) [18]

чт 0,1,2,3 {3,4,3}
(2)

(3.3.3.3.4)
(2)

(3.3.3.3)
(4)

(3.3.3)
816 2832 2592 576

H 4 Семья

[ редактировать ]

Это семейство имеет диплоидную гексакосихорную симметрию . [7] [5,3,3] порядка 120×120=24×600=14400: по 120 на каждый из 120 додекаэдров или по 24 на каждый из 600 тетраэдров. Есть одна небольшая индексная подгруппа [5,3,3] + , всего порядка 7200.

Усечение 120 ячеек

[ редактировать ]
# Имя
(имя и аббревиатура Бауэрса)
Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(120)
Поз. 2

(720)
Поз. 1

(1200)
Поз. 0

(600)
Все Клетки Лица Края Вершины
32 120-ячеечный
(гекатоникосахорон или додекаконтахорон) [7]
Гекатоникосахорон (привет)

{5,3,3}
(4)

(5.5.5)
120 720 1200 600
33 выпрямленный 120-ячеечный
Ректифицированный гекатоникосахорон (рахи)

г {5,3,3}
(3)

(3.5.3.5)
(2)

(3.3.3)
720 3120 3600 1200
36 усеченный 120-ячеечный
Усеченный гекатоникосахорон (ти)

т{5,3,3}
(3)

(3.10.10)
(1)

(3.3.3)
720 3120 4800 2400
37 кантеллированный, 120 ячеек
Маленький ромбовидный гекатоникосахорон (срахи)

рр{5,3,3}
(2)

(3.4.5.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
1920 9120 10800 3600
38 сморщенный 120-клеточный
(также запущенный 600-ячеечный )
Малый диспризматогексакосихекатоникосахорон (сидпикси)

т 0,3 {5,3,3}
(1)

(5.5.5)
(3)

(4.4.5)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
2640 7440 7200 2400
39 усеченный 120 ячеек
(также усеченный до 600 ячеек )
Гексакосихекатоникосахорон (xhi)

2т{5,3,3}
(2)

(5.6.6)
(2)

(3.6.6)
720 4320 7200 3600
42 усеченный, 120 ячеек
Большой ромбовидный гекатоникосахорон (грахи)

тр{5,3,3}
(2)

(4.6.10)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
1920 9120 14400 7200
43 укороченный, 120 ячеек
Призматоромбатированный гексакосихорон (прикс)

т 0,1,3 {5,3,3}
(1)

(3.10.10)
(2)

(4.4.10)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
2640 13440 18000 7200
46 всеусеченный, 120-ячеечный
(также усеченный, 600 ячеек )
Большой диспризматогексакосихекатоникосахорон (гидпикси)

т 0,1,2,3 {5,3,3}
(1)

(4.6.10)
(1)

(4.4.10)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
2640 17040 28800 14400
Неоднородный омниснуб, 120 ячеек
Курносый гекатоникосахорон (снахи) [19]
(То же, что и omnisnub 600-cell )

чт 0,1,2,3 {5,3,3}
(1)
(3.3.3.3.5)
(1)
(3.3.3.5)
(1)
(3.3.3.3)
(1)
(3.3.3.3.3)
(4)
(3.3.3)
9840 35040 32400 7200

Усечение 600 ячеек

[ редактировать ]
# Имя
(аббревиатура в стиле Бауэрса)
Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Симметрия Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 3

(120)
Поз. 2

(720)
Поз. 1

(1200)
Поз. 0

(600)
Клетки Лица Края Вершины
35 600-ячеечный
Гексакосихорон [7] (бывший)

{3,3,5}
[5,3,3]
заказать 14400
(20)

(3.3.3)
600 1200 720 120
[47] 20-уменьшенный, 600-ячеечный
= Большая антипризма (пробел)
ноннотоффский
строительство
[[10,2 + ,10]]
заказать 400
Индекс 36
(2)

(3.3.3.5)
(12)

(3.3.3)
320 720 500 100
[31] 24 уменьшенных 600 ячеек
= Курносый 24-клеточный (сади)
ноннотоффский
строительство
[3 + ,4,3]
заказать 576
индекс 25
(3)

(3.3.3.3.3)
(5)

(3.3.3)
144 480 432 96
Неоднородный би-24-уменьшенный, 600 ячеек
Би-икоситетрадиминидированный гексакосихорон (бидекс)
ноннотоффский
строительство
заказать 144
индекс 100
(6)

тди
48 192 216 72
34 выпрямленный 600-ячеечный
Ректифицированный гексакосихорон (rox)

г {3,3,5}
[5,3,3] (2)

(3.3.3.3.3)
(5)

(3.3.3.3)
720 3600 3600 720
Неоднородный 120-уменьшенный выпрямленный 600-ячеечный
Swirlprismatodiminished выпрямленный гексакосихорон (спидрокс)
ноннотоффский
строительство
заказать 1200
индекс 12
(2)

3.3.3.5
(2)

4.4.5
(5)

П4
840 2640 2400 600
41 усеченный 600-ячеечный
Усеченный гексакосихорон (текс)

т{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(3.3.3.3.3)
(5)

(3.6.6)
720 3600 4320 1440
40 сочлененный из 600 ячеек
Маленький ромбированный гексакосихорон (srix)

рр{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(3.5.3.5)
(2)

(4.4.5)
(1)

(3.4.3.4)
1440 8640 10800 3600
[38] сморщенный 600-клеточный
(также 120-клеточный ) (sidpixhi)

т 0,3 {3,3,5}
[5,3,3] (1)

(5.5.5)
(3)

(4.4.5)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
2640 7440 7200 2400
[39] усеченный 600 ячеек
(также усеченный до 120 ячеек ) (xhi)

2т{3,3,5}
[5,3,3] (2)

(5.6.6)
(2)

(3.6.6)
720 4320 7200 3600
45 усеченный, 600 ячеек
Большой ромбовидный гексакосихорон (грикс)

тр{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(5.6.6)
(1)

(4.4.5)
(2)

(4.6.6)
1440 8640 14400 7200
44 укороченный, 600 ячеек
Призматоромбовидный гекатоникосахорон (прахи)

т 0,1,3 {3,3,5}
[5,3,3] (1)

(3.4.5.4)
(1)

(4.4.5)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.6.6)
2640 13440 18000 7200
[46] всеусеченный на 600 ячеек
(также всеусеченный, 120-ячеечный ) (гидпикси)

т 0,1,2,3 {3,3,5}
[5,3,3] (1)

(4.6.10)
(1)

(4.4.10)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
2640 17040 28800 14400

Д 4 Семья

[ редактировать ]

Это полудессерактное семейство , [3 1,1,1 ], не вводит новых однородных 4-многогранников, но стоит повторить эти альтернативные конструкции. Это семейство имеет порядок 12×16=192: 4!/2=12 перестановок четырех осей, половина из которых чередуется, 2 4 =16 для отражения по каждой оси. Существует одна небольшая индексная подгруппа, порождающая однородные 4-многогранники, [3 1,1,1 ] + , заказ 96.

[3 1,1,1 ] однородные 4-многогранники
# Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса) Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера

=
=
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 0

(8)
Поз. 2

(24)
Поз. 1

(8)
Поз. 3

(8)
Поз.
(96)
3 2 1 0
[12] полудессеракт
половина тессеракта
(То же, что и 16-ячеечный ) (шестнадцатеричный)
=
ч{4,3,3}
(4)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
16 32 24 8
[17] кантический тессеракт
(То же, что и усеченный 16-ячеечный ) (thex)
=
ч 2 {4,3,3}
(1)

(3.3.3.3)
(2)

(3.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 96 120 48
[11] рунический тессеракт
(То же, что и исправленный тессеракт ) (рит)
=
ч 3 {4,3,3}
(1)

(3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(3)

(3.4.3.4)
24 88 96 32
[16] руникантический тессеракт
(То же, что и усеченный тессеракт ) (та)
=
ч 2,3 {4,3,3}
(1)

(3.6.6)
(1)

(3.6.6)
(2)

(4.6.6)
24 96 96 24

Когда 3 раздвоенных узла ветвей имеют одинаковое кольцо, симметрия может быть увеличена на 6, как [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3], и, таким образом, эти многогранники повторяются из 24-клеточного семейства.

[3[3 1,1,1 ]] однородные 4-многогранники
# Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса) Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
=
=
Подсчет ячеек по местоположению Количество элементов
Поз. 0,1,3

(24)
Поз. 2

(24)
Поз.
(96)
3 2 1 0
[22] выпрямленный 16-клеточный
(То же, что и 24-ячеечный ) (ico)
= = =
{3 1,1,1 } = г{3,3,4} = {3,4,3}
(6)

(3.3.3.3)
48 240 288 96
[23] сочлененный 16-клеточный
(То же, что и выпрямленный 24-элементный ) (rico)
= = =
г{3 1,1,1 } = рр{3,3,4} = р{3,4,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
24 120 192 96
[24] усеченный, 16 ячеек
(То же, что и усеченная 24-ячейка ) (tico)
= = =
т{3 1,1,1 } = тр{3,3,4} = т{3,4,3}
(3)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
48 240 384 192
[31] курносый 24-клеточный (сади) = = =
с{3 1,1,1 } = ср{3,3,4} = с{3,4,3}
(3)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
144 480 432 96

И здесь курносая 24-ячейка с группой симметрии [3 1,1,1 ] + на этот раз представляет собой попеременное усечение усеченных 24 ячеек, создающее 96 новых тетраэдров на месте удаленных вершин. В отличие от его внешнего вида в прежних группах как частично курносого 4-многогранника, только внутри этой группы симметрии он имеет полную аналогию с курносыми кеплерами, т. е. курносым кубом и курносым додекаэдром .

Великая антипризма

[ редактировать ]

Существует один не витоффов однородный выпуклый 4-многогранник, известный как большая антипризма , состоящий из 20 пятиугольных антипризм, образующих два перпендикулярных кольца, соединенных 300 тетраэдрами . Это во многом аналогично трехмерным антипризмам , которые состоят из двух параллельных многоугольников, соединенных полосой треугольников . Однако в отличие от них большая антипризма не является членом бесконечного семейства однородных многогранников.

Его симметрия - ионная уменьшенная группа Кокстера , [[10,2 + ,10]], порядка 400.

# Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса) Картина Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Ячейки по типу Количество элементов Сеть
Клетки Лица Края Вершины
47 большая антипризма (разрыв) Нет символа 300
( 3.3.3 )
20
( 3.3.3.5 )
320 20 {5}
700 {3}
500 100

Призматические однородные 4-многогранники

[ редактировать ]

Призматический многогранник — это декартово произведение двух многогранников меньшей размерности; знакомыми примерами являются трехмерные призмы , которые представляют собой произведения многоугольника и отрезка . Призматические однородные 4-многогранники состоят из двух бесконечных семейств:

  • Многогранные призмы : произведения отрезка и однородного многогранника. Это семейство бесконечно, поскольку в него входят призмы, построенные на основе трехмерных призм и антипризм .
  • Дуопризмы : произведения двух многоугольников.

Выпуклые многогранные призмы

[ редактировать ]

Наиболее очевидным семейством призматических 4-многогранников являются многогранные призмы, т.е. произведения многогранника с отрезком . Ячейками такого 4-многогранника являются два одинаковых однородных многогранника, лежащие в параллельных гиперплоскостях ( ячейки основания ) и соединяющий их слой призм ( боковые ячейки). В это семейство входят призмы для 75 непризматических однородных многогранников (из них 18 выпуклых; одна из них, куб-призма, указана выше как тессеракт ). [ нужна ссылка ]

Существует 18 выпуклых многогранных призм, созданных из 5 платоновых тел и 13 архимедовых тел, а также для бесконечных семейств трехмерных призм и антипризм . [ нужна ссылка ] Число симметрии многогранной призмы в два раза больше, чем у базового многогранника.

Четырехгранные призмы: А 3 × А 1

[ редактировать ]

Эта призматическая тетраэдрическая симметрия равна [3,3,2], порядка 48. Есть две подгруппы индекса 2, [(3,3) + ,2] и [3,3,2] + , но второй не порождает однородный 4-многогранник.

[3,3,2] однородные 4-многогранники
# Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса) Картина Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Ячейки по типу Количество элементов Сеть
Клетки Лица Края Вершины
48 Тетраэдрическая призма (тепе)
{3,3}×{ }
т 0,3 {3,3,2}
2
3.3.3
4
3.4.4
6 8 {3}
6 {4}
16 8
49 Усеченная тетраэдрическая призма (туттип)
т{3,3}×{ }
т 0,1,3 {3,3,2}
2
3.6.6
4
3.4.4
4
4.4.6
10 8 {3}
18 {4}
8 {6}
48 24
[[3,3],2] однородные 4-многогранники
# Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса) Картина Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Ячейки по типу Количество элементов Сеть
Клетки Лица Края Вершины
[51] Выпрямленная тетраэдрическая призма
(То же, что и октаэдрическая призма ) (опе)

г{3,3}×{ }
т 1,3 {3,3,2}
2
3.3.3.3
4
3.4.4
6 16 {3}
12 {4}
30 12
[50] Кантелляционная тетраэдрическая призма
(То же, что и кубооктаэдрическая призма ) (копия)

рр{3,3}×{ }
т 0,2,3 {3,3,2}
2
3.4.3.4
8
3.4.4
6
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24
[54] Кантиусеченная тетраэдрическая призма
(То же, что и усеченная октаэдрическая призма ) (вершина)

tr{3,3}×{ }
т 0,1,2,3 {3,3,2}
2
4.6.6
8
6.4.4
6
4.4.4
16 48 {4}
16 {6}
96 48
[59] Вздернутая тетраэдрическая призма
(То же, что икосаэдрическая призма ) (ipe)

ср{3,3}×{ }
2
3.3.3.3.3
20
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24
Неоднородный омниснуб тетраэдрическая антипризма
Пиритоэдрическая икосаэдрическая антипризма (пикап)

2
3.3.3.3.3
8
3.3.3.3
6+24
3.3.3
40 16+96 {3} 96 24

Октаэдрические призмы: Б 3 × А 1

[ редактировать ]

Симметрия этого призматического октаэдрического семейства равна [4,3,2], порядок 96. Существует 6 подгрупп индекса 2, порядок 48, которые выражены в чередующихся 4-многогранниках ниже. Симметрии — это [(4,3) + ,2], [1 + ,4,3,2], [4,3,2 + ], [4,3 + ,2], [4,(3,2) + ] и [4,3,2] + .

# Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса) Картина Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Ячейки по типу Количество элементов Сеть
Клетки Лица Края Вершины
[10] Кубическая призма
(то же, что и тессеракт )
(То же, что и дуопризма 4-4 ) (tes)

{4,3}×{ }
т 0,3 {4,3,2}
2
4.4.4
6
4.4.4
8 24 {4} 32 16
50 Кубооктаэдрическая призма
(То же, что и кантелляционная тетраэдрическая призма ) (корпус)

г{4,3}×{ }
т 1,3 {4,3,2}
2
3.4.3.4
8
3.4.4
6
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24
51 Октаэдрическая призма
(То же, что и выпрямленная тетраэдрическая призма )
(То же, что и треугольная антипризматическая призма ) (опе)

{3,4}×{ }
т 2,3 {4,3,2}
2
3.3.3.3
8
3.4.4
10 16 {3}
12 {4}
30 12
52 Ромбокубооктаэдрическая призма (сиркопа)
рр{4,3}×{ }
т 0,2,3 {4,3,2}
2
3.4.4.4
8
3.4.4
18
4.4.4
28 16 {3}
84 {4}
120 48
53 Усеченная кубическая призма (тикап)
т{4,3}×{ }
т 0,1,3 {4,3,2}
2
3.8.8
8
3.4.4
6
4.4.8
16 16 {3}
36 {4}
12 {8}
96 48
54 Усеченная октаэдрическая призма
(То же, что и остроконечная тетраэдрическая призма ) (вершина)

т{3,4}×{ }
т 1,2,3 {4,3,2}
2
4.6.6
6
4.4.4
8
4.4.6
16 48 {4}
16 {6}
96 48
55 Усеченная кубооктаэдрическая призма (гиркопа)
тр{4,3}×{ }
т 0,1,2,3 {4,3,2}
2
4.6.8
12
4.4.4
8
4.4.6
6
4.4.8
28 96 {4}
16 {6}
12 {8}
192 96
56 Курносая кубическая призма (сниккап)
ср{4,3}×{ }
2
3.3.3.3.4
32
3.4.4
6
4.4.4
40 64 {3}
72 {4}
144 48
[48] Тетраэдрическая призма (тепе)
ч{4,3}×{ }
2
3.3.3
4
3.4.4
6 8 {3}
6 {4}
16 8
[49] Усеченная тетраэдрическая призма (туттип)
ч 2 {4,3}×{ }
2
3.3.6
4
3.4.4
4
4.4.6
6 8 {3}
6 {4}
16 8
[50] Кубооктаэдрическая призма (корпус)
рр{3,3}×{ }
2
3.4.3.4
8
3.4.4
6
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24
[52] Ромбокубооктаэдрическая призма (сиркопа)
с 2 {3,4}×{ }
2
3.4.4.4
8
3.4.4
18
4.4.4
28 16 {3}
84 {4}
120 48
[54] Усеченная октаэдрическая призма (вершина)
tr{3,3}×{ }
2
4.6.6
6
4.4.4
8
4.4.6
16 48 {4}
16 {6}
96 48
[59] Икосаэдрическая призма (ipe)
с{3,4}×{ }
2
3.3.3.3.3
20
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24
[12] 16-ячеечный (шестнадцатеричный)
с{2,4,3}
2+6+8
3.3.3.3
16 32 {3} 24 8
Неоднородный Омниснуб тетраэдрическая антипризма
= Пиритоэдрическая икосаэдрическая антипризма (пикап)

ср{2,3,4}
2
3.3.3.3.3
8
3.3.3.3
6+24
3.3.3
40 16+96 {3} 96 24
Неоднородный Октаэдрический хосохорон с курносым краем
Пиритоснуб альтерпризма (писна)

ср 3 {2,3,4}
2
3.4.4.4
6
4.4.4
8
3.3.3.3
24
3.4.4
40 16+48 {3}
12+12+24+24 {4}
144 48
Неоднородный Омниснуб кубическая антипризма
Курносая кубическая антипризма (сникап)

2
3.3.3.3.4
12+48
3.3.3
8
3.3.3.3
6
3.3.3.4
76 16+192 {3}
12 {4}
192 48
Неоднородный Рунцич курносый кубический хосохорон
Усеченная тетраэдрическая альтерпризма (тута)

с 3 {2,4,3}
2
3.6.6
6
3.3.3
8
треугольный купол
16 52 60 24

Икосаэдрические призмы: H 3 × A 1

[ редактировать ]

Эта призматическая икосаэдральная симметрия равна [5,3,2], порядка 240. Есть две подгруппы индекса 2, [(5,3) + ,2] и [5,3,2] + , но второй не генерирует однородный полихорон.

# Имя (имя и аббревиатура Бауэрса) Картина Вертекс
фигура
Диаграмма Кокстера
и Шлефли
символы
Ячейки по типу Количество элементов Сеть
Клетки Лица Края Вершины
57 Додекаэдрическая призма (наркотик)
{5,3}×{ }
т 0,3 {5,3,2}
2
5.5.5
12
4.4.5
14 30 {4}
24 {5}
80 40
58 Икосододекаэдральная призма (иддип)
г{5,3}×{ }
т 1,3 {5,3,2}
2
3.5.3.5
20
3.4.4
12
4.4.5
34 40 {3}
60 {4}
24 {5}
150 60
59 Икосаэдральная призма
(то же, что курносая тетраэдрическая призма ) (ipe)

{3,5}×{ }
т 2,3 {5,3,2}
2
3.3.3.3.3
20
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24
60 Усеченная додекаэдрическая призма (пичка)
т{5,3}×{ }
т 0,1,3 {5,3,2}
2
3.10.10
20
3.4.4
12
4.4.10
34 40 {3}
90 {4}
24 {10}
240 120
61 Ромбикосододекаэдральная призма (сриддип)
рр{5,3}×{ }
т 0,2,3 {5,3,2}
2
3.4.5.4
20
3.4.4
30
4.4.4
12
4.4.5
64 40 {3}
180 {4}
24 {5}
300 120
62 Усеченная икосаэдрическая призма (острие)
т{3,5}×{ }
т 1,2,3 {5,3,2}
2
5.6.6
12
4.4.5
20
4.4.6
34 90 {4}
24 {5}
40 {6}
240 120
63 Усеченная икосододекаэдральная призма (сетка)
tr{5,3}×{ }
т 0,1,2,3 {5,3,2}
2
4.6.10
30
4.4.4
20
4.4.6
12
4.4.10
64 240 {4}
40 {6}
24 {10}
480 240
64 Курносая додекаэдральная призма (сниддип)
ср{5,3}×{ }
2
3.3.3.3.5
80
3.4.4
12
4.4.5
94 160 {3}
150 {4}
24 {5}
360 120
Неоднородный Омниснуб додекаэдрическая антипризма
Курносая додекаэдральная антипризма (сниддап)

2
3.3.3.3.5
30+120
3.3.3
20
3.3.3.3
12
3.3.3.5
184 20+240 {3}
24 {5}
220 120

Дуопризмы: [p] × [q]

[ редактировать ]
Самая простая из дуопризм, 3,3-дуопризма, на диаграмме Шлегеля , одна из 6 треугольной призмы . показанных ячеек

Второе — бесконечное семейство однородных дуопризм , произведений двух правильных многоугольников . дуопризмы Диаграмма Кокстера-Динкина : . Его вершинная фигура дисфеноидный тетраэдр , .

Это семейство пересекается с первым: когда один из двух «факторных» многоугольников является квадратом, произведение эквивалентно гиперпризме, основанием которой является трехмерная призма. Число симметрии дуопризмы, факторами которой являются p -угольник и q -угольник (« p,q -дуопризма»), равно 4 pq , если p q ; если оба фактора являются p -угольниками, число симметрии равно 8 p 2 . Тессеракт также можно считать 4,4-дуопризмой.

Расширенный f-вектор { p }×{ q } равен ( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q ).

  • Ячейки: pq - гональные призмы, qp - гональные призмы.
  • Грани: pq квадраты, p q -угольники, q p -угольники
  • Края: 2 шт.
  • Вершины: pq

Не существует единого четырехмерного аналога бесконечного семейства трехмерных антипризм .

Бесконечный набор дуопризм pq - - p q -угольные призмы, q p -угольные призмы:

Имя Граф Кокстера Клетки Изображения Сеть
3-3 дуопризма (триддип) 3+3 треугольные призмы
3-4 дуопризма (тисдип) 3 кубика
4 треугольные призмы
4-4 дуопризма (тес)
(то же, что и тессеракт)
4+4 кубика
3-5 дуопризма (трапедип) 3 пятиугольные призмы
5 треугольных призм
4-5 дуопризма (сквипдип) 4 пятиугольные призмы
5 кубиков
5-5 дуопризма (педип) 5+5 пятиугольных призм
3-6 дуопризма (третье дип) 3 шестиугольные призмы
6 треугольных призм
4-6 дуопризм (шидип) 4 шестиугольные призмы
6 кубиков
5-6 дуопризма (фиддип) 5 шестиугольных призм
6 пятиугольных призм
6-6 дуопризма (хиддип) 6+6 шестиугольных призм

3-3

3-4

3-5

3-6

3-7

3-8

4-3

4-4

4-5

4-6

4-7

4-8

5-3

5-4

5-5

5-6

5-7

5-8

6-3

6-4

6-5

6-6

6-7

6-8

7-3

7-4

7-5

7-6

7-7

7-8

8-3

8-4

8-5

8-6

8-7

8-8

Возможны чередования. = дает семейство дуоантипризм , но их вообще нельзя сделать однородными. p=q=2 — единственный выпуклый случай, который можно сделать однородным, получив правильные 16 ячеек. p=5, q=5/3 — единственный невыпуклый случай, который можно сделать однородным, давая так называемую большую дуоантипризму . дает p-2q-гональную призмантипризму (чередование краев дуопризмы 2p-4q), но ее ни в коем случае нельзя сделать однородной. [20]

Многоугольные призматические призмы: [p] × [ ] × [ ]

[ редактировать ]

Бесконечное множество однородных призматических призм перекрывается с 4-p дуопризмами: (p≥3) - - p кубов и 4 p -угольных призмы - (все такие же, как 4-p дуопризма ) Второй многогранник в серии представляет собой более низкую симметрию правильного тессеракта , {4}×{4}.


Выпуклые p -угольные призматические призмы
Имя {3}×{4} {4}×{4} {5}×{4} {6}×{4} {7}×{4} {8}×{4} {p}×{4}
Коксетер
диаграммы



Изображение




Клетки 3 {4}×{}
4 {3}×{}
4 {4}×{}
4 {4}×{}
5 {4}×{}
4 {5}×{}
6 {4}×{}
4 {6}×{}
7 {4}×{}
4 {7}×{}
8 {4}×{}
4 {8}×{}
п {4}×{}
4 {p}×{}
Сеть


Многоугольные антипризматические призмы: [p] × [ ] × [ ]

[ редактировать ]

Бесконечные множества однородных антипризматических призм построены из двух параллельных однородных антипризм ): (p≥2) - - 2 p -угольные антипризмы, соединенные 2 p -угольными призмами и 2p- треугольными призмами.

Выпуклые p -угольные антипризматические призмы
Имя с{2,2}×{} с{2,3}×{} с{2,4}×{} с{2,5}×{} с{2,6}×{} с{2,7}×{} с{2,8}×{} с{2,р}×{}
Коксетер
диаграмма








Изображение
Вертекс
фигура
Клетки 2 с{2,2}
(2) {2}×{}= {4}
4 {3}×{}
2 с{2,3}
2 {3}×{}
6 {3}×{}
2 с{2,4}
2 {4}×{}
8 {3}×{}
2 с{2,5}
2 {5}×{}
10 {3}×{}
2 с{2,6}
2 {6}×{}
12 {3}×{}
2 с{2,7}
2 {7}×{}
14 {3}×{}
2 с{2,8}
2 {8}×{}
16 {3}×{}
2 с{2,п}
2 {p}×{}
2 п {3}×{}
Сеть

P -угольная антипризматическая призма имеет треугольник 4p , квадрат 4p и грани 4 p-угольника. Он имеет ребра 10p и 4p вершины .

Неравномерные чередования

[ редактировать ]
Как трехмерный курносый куб , чередование формы удаляет половину вершин в двух киральных наборах вершин из кольцевой , однако единообразное решение требует, чтобы позиции вершин были отрегулированы на одинаковую длину. В четырех измерениях такая регулировка возможна только для двух чередующихся фигур, а остальные существуют только как неравносторонние чередующиеся фигуры.

кольцами Коксетер показал только два равномерных решения для групп Кокстера ранга 4 со всеми чередующимися (показаны пустыми узлами в виде кружков). Первое - это , с{2 1,1,1 } который представлял подгруппу индекса 24 ( симметрия [2,2,2] + , порядок 8) форма демитессеракта , , h{4,3,3} (симметрия [1 + ,4,3,3] = [3 1,1,1 ], приказ 192). Второй , с{3 1,1,1 }, которая является подгруппой индекса 6 (симметрия [3 1,1,1 ] + , порядок 96) форма курносая 24-клеточная , , s{3,4,3}, (симметрия [3 + ,4,3], порядок 576).

Другие варианты, например , как альтернатива всеусеченному тессеракту , не может быть сделан равномерным, поскольку решение для равных длин ребер, как правило, переопределено (есть шесть уравнений, но только четыре переменных). Такие неоднородные чередующиеся фигуры могут быть построены как вершинно-транзитивные 4-многогранники путем удаления одного из двух полумножеств вершин полнокольцевой фигуры, но они будут иметь неравную длину ребер. Как и равномерные чередования, они будут иметь половину симметрии однородной фигуры, например [4,3,3] + , порядок 192, представляет собой симметрию чередующегося всеусеченного тессеракта . [21]

Конструкции Витхоффа с чередованиями создают транзитивные по вершинам фигуры, которые можно сделать равносторонними, но не однородными, поскольку чередующиеся промежутки (вокруг удаленных вершин) создают ячейки, которые не являются регулярными или полуправильными. Предлагаемое название таких фигур — чешуйчатые многогранники . [22] Эта категория позволяет использовать подмножество тел Джонсона в виде ячеек, например треугольный купол .

Каждая конфигурация вершин внутри тела Джонсона должна существовать внутри фигуры вершин. Например, квадратная пирамида имеет две конфигурации вершин: 3.3.4 вокруг основания и 3.3.3.3 на вершине.

Ниже приведены сети и фигуры вершин четырех выпуклых равносторонних случаев, а также список ячеек вокруг каждой вершины.

Четыре выпуклых вершинно-транзитивных равносторонних 4-многогранника с неоднородными ячейками
Коксетер
диаграмма
с 3 {2,4,3}, с 3 {3,4,3}, Другие
Связь 24 из 48 вершин
ромбокубооктаэдрическая призма
288 из 576 вершин
усеченный, 24-клеточный
72 из 120 вершин
из 600 ячеек
600 из 720 вершин
ректифицированного 600-кл.
Проекция
Два кольца пирамид
Сеть
рунчик курносый кубический хосохорон [23] [24]

рунчик курносый, 24 ячейки [25] [26]
[27] [28] [29] [30] [31]
Клетки
Вертекс
фигура

(1) 3.4.3.4: треугольный купол
(2) 3.4.6: треугольный купол
(1) 3.3.3: тетраэдр
(1) 3.6.6: усеченный тетраэдр

(1) 3.4.3.4: треугольный купол
(2) 3.4.6: треугольный купол
(2) 3.4.4: треугольная призма
(1) 3.6.6: усеченный тетраэдр
(1) 3.3.3.3.3: икосаэдр

(2) 3.3.3.5: трехмерный икосаэдр
(4) 3.5.5: трехмерный икосаэдр

(1) 3.3.3.3: квадратная пирамида
(4) 3.3.4: квадратная пирамида
(2) 4.4.5: пятиугольная призма
(2) 3.3.3.5 пятиугольная антипризма

Геометрические выводы для 46 непризматических однородных полихор Витоффа

[ редактировать ]

46 витоффовых 4-многогранников включают шесть выпуклых правильных 4-многогранников . Остальные сорок могут быть получены из регулярной полихоры с помощью геометрических операций, которые сохраняют большую часть или все их симметрии , и, следовательно, могут быть классифицированы по группам симметрии , которые у них общие.


Сводная диаграмма операций усечения

Пример расположения калейдоскопической генераторной точки в фундаментальной области.

Геометрические операции, которые производят 40 однородных 4-многогранников из правильных 4-многогранников, являются усечения операциями . 4-многогранник может быть усечен по вершинам, ребрам или граням, что приводит к добавлению ячеек, соответствующих этим элементам, как показано в столбцах таблиц ниже.

На диаграмме Коксетера-Динкина четыре зеркала калейдоскопа Витоффа показаны как узлы, а края между узлами помечены целым числом, показывающим угол между зеркалами ( π / n радиан или 180/ n градусов). Узлы в кружке показывают, какие зеркала активны для каждой формы; зеркало активно по отношению к вершине, не лежащей на нем.

Операция Символ Шлефли Симметрия Диаграмма Кокстера Описание
Родитель т 0 {p,q,r} [п, д, р] Исходная правильная форма {p,q,r}
Исправление т 1 {p,q,r} Операция усечения применяется до тех пор, пока исходные ребра не выродятся в точки.
Биректификация
(выпрямленный двойной)
т 2 {p,q,r} Лицо полностью усечено до точек. То же, что выпрямленный двойной.
Триректификация
( двойной )
т 3 {p,q,r} Ячейки усекаются до точек. Обычный двойной {r,q,p}
Усечение т 0,1 {p,q,r} Каждая вершина обрезается так, чтобы осталась середина каждого исходного ребра. Там, где была вершина, появляется новая ячейка — фигура родительской вершины . Каждая исходная ячейка также усекается.
Биусечение т 1,2 {p,q,r} Усечение между исправленной формой и двойной исправленной формой.
Триусечение т 2,3 {p,q,r} Усеченный двойственный {r,q,p}.
Кантелляция т 0,2 {p,q,r} Усечение применяется к ребрам и вершинам и определяет переход между регулярной и двойственно выпрямленной формой.
Бикантелляция т 1,3 {p,q,r} Кантеллированный двойственный {r,q,p}.
Рансинация
(или расширение )
т 0,3 {p,q,r} Усечение, применяемое к ячейкам, граням и краям; определяет прогрессию между правильной формой и двойственной.
Усечение количества т 0,1,2 {p,q,r} Операции кантелляции усечения и применяются вместе .
Бикантитрункация т 1,2,3 {p,q,r} Кантиусеченный двойственный {r,q,p}.
Ранцитуркация т 0,1,3 {p,q,r} Операции прогонки усечения и применяются вместе .
Ранчикантелляция т 0,2,3 {p,q,r} Усеченный двойственный {r,q,p}.
Всеобрезание
(урезание)
т 0,1,2,3 {p,q,r} Применение всех трех операторов.
Половина ч{2p,3,q} [1 + ,2p,3,q]
=[(3,p,3),q]
Чередование , то же, что
Кантик ч 2 {2p,3,q} То же, что
Рунцич ч 3 {2p,3,q} То же, что
Рансикантический ч 2,3 {2p,3,q} То же, что
Четверть q{2p,3,2q} [1 + ,2p,3,2q,1 + ] То же, что
пренебрежительный с{p,2q,r} [п + ,2q,r] Попеременное усечение
Кантическое пренебрежение s 2 {p,2q,r} Свернутое попеременное усечение
Руничич пренебрежение р 3 {p,2q,r} Ранцинированное попеременное усечение
Рансикантическое пренебрежение с 2,3 {p,2q,r} Ранцикантеллированное попеременное усечение
Курносый исправлен ср{p,q,2r} [(p,q) + ,2р] Попеременное усеченное выпрямление
ht 0,3 {2p,q,2r} [(2p,q,2r,2 + )] Попеременный запуск
Биснуб 2s{2p,q,2r} [2p,q + ,2р] Попеременное усечение битов
Омниснуб ht 0,1,2,3 {p,q,r} [п, д, р] + Попеременное всеусечение

См. также выпуклые однородные соты , некоторые из которых иллюстрируют эти операции применительно к обычным кубическим сотам .

Если два многогранника являются двойственными друг другу (например, тессеракт и 16-ячеечный или 120-ячеечный и 600-ячеечный), то побитовое усечение , прогон или всеусечение либо дает ту же фигуру, что и та же операция для другого. Таким образом, если в таблице встречается только причастие, следует понимать, что оно применимо к любому из родителей.

Краткое изложение конструкций расширенной симметрии

[ редактировать ]

46 однородных полихор, построенных на основе симметрии A 4 , B 4 , F 4 , H 4, представлены в этой таблице в виде их полной расширенной симметрии и диаграмм Кокстера. Симметрия D 4 также включена, но она создает только дубликаты. Чередования сгруппированы по их киральной симметрии. Приведены все чередования, хотя курносая 24-клетка с тремя конструкциями из разных семейств является единственной однородной. В скобках указано либо повторение, либо неравномерность. Диаграммы Кокстера даны с индексами индексов от 1 до 46. Включено дуопризматическое семейство 3-3 и 4-4, второе по отношению к семейству B 4 .

Группа Коксетера Расширенный
симметрия
Полихора Хиральный
расширенный
симметрия
Чередование сот
[3,3,3]
[3,3,3]

(заказ 120)
6 (1) | (2) | (3)
(4) | (7) | (8)
[2 + [3,3,3]]

(заказ 240)
3 (5) | (6) | (9) [2 + [3,3,3]] +
(заказ 120)
(1) (−)
[3,3 1,1 ]
[3,3 1,1 ]

(заказ 192)
0 (никто)
[1[3,3 1,1 ]]=[4,3,3]
=
(заказ 384)
(4) (12) | (17) | (11) | (16)
[3[3 1,1,1 ]]=[3,4,3]
=
(заказ 1152)
(3) (22) | (23) | (24) [3[3,3 1,1 ]] +
=[3,4,3] +
(заказ 576)
(1) (31) (= )
(−)
[4,3,3]
[3[1 + ,4,3,3]]=[3,4,3]
=
(заказ 1152)
(3) (22) | (23) | (24)
[4,3,3]

(заказ 384)
12 (10) | (11) | (12) | (13) | (14)
(15) | (16) | (17) | (18) | (19)
(20) | (21)
[1 + ,4,3,3] +
(заказ 96)
(2) (12) (= )
(31)
(−)
[4,3,3] +
(заказ 192)
(1) (−)
[3,4,3]
[3,4,3]

(заказ 1152)
6 (22) | (23) | (24)
(25) | (28) | (29)
[2 + [3 + ,4,3 + ]]
(заказ 576)
1 (31)
[2 + [3,4,3]]

(заказ 2304)
3 (26) | (27) | (30) [2 + [3,4,3]] +
(заказ 1152)
(1) (−)
[5,3,3]
[5,3,3]

(заказ 14400)
15 (32) | (33) | (34) | (35) | (36)
(37) | (38) | (39) | (40) | (41)
(42) | (43) | (44) | (45) | (46)
[5,3,3] +
(заказ 7200)
(1) (−)
[3,2,3]
[3,2,3]

(заказ 36)
0 (никто) [3,2,3] +
(заказ 18)
0 (никто)
[2 + [3,2,3]]

(заказ 72)
0 [2 + [3,2,3]] +
(заказ 36)
0 (никто)
[[3],2,3]=[6,2,3]
=
(заказ 72)
1 [1[3,2,3]]=[[3],2,3] + =[6,2,3] +
(заказ 36)
(1)
[(2 + ,4)[3,2,3]]=[2 + [6,2,6]]
=
(заказ 288)
1 [(2 + ,4)[3,2,3]] + =[2 + [6,2,6]] +
(заказ 144)
(1)
[4,2,4]
[4,2,4]

(заказ 64)
0 (никто) [4,2,4] +
(заказ 32)
0 (никто)
[2 + [4,2,4]]

(заказ 128)
0 (никто) [2 + [(4,2 + ,4,2 + )]]
(заказ 64)
0 (никто)
[(3,3)[4,2*,4]]=[4,3,3]
=
(заказ 384)
(1) (10) [(3,3)[4,2*,4]] + =[4,3,3] +
(заказ 192)
(1) (12)
[[4],2,4]=[8,2,4]
=
(заказ 128)
(1) [1[4,2,4]]=[[4],2,4] + =[8,2,4] +
(заказ 64)
(1)
[(2 + ,4)[4,2,4]]=[2 + [8,2,8]]
=
(заказ 512)
(1) [(2 + ,4)[4,2,4]] + =[2 + [8,2,8]] +
(заказ 256)
(1)

Равномерная звездчатая полихора

[ редактировать ]

Помимо вышеупомянутых семейств бесконечных дуопризм и антипризм, которые имеют бесконечно много невыпуклых членов, было обнаружено множество однородных звездных полихор. В 1852 году Людвиг Шлефли открыл четыре правильных звездчатых полихоры: {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2} и {5/2,3,3. }. В 1883 году Эдмунд Гесс нашел остальные шесть: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2. }, {5,5/2,3} и {3,5/2,5}. Норман Джонсон описал три однородных звездных полихора, похожих на антипризмы, в своей докторской диссертации 1966 года: они основаны на трех дитригональных многогранниках, разделяющих ребра и вершины правильного додекаэдра. С тех пор другие исследователи, в том числе Джонатан Бауэрс и Джордж Ольшевский, обнаружили гораздо больше, в результате чего в настоящее время насчитывается 2127 известных однородных звездных полихор (не считая бесконечного набора дуопризм, основанных на звездных многоугольниках). В настоящее время нет доказательств полноты набора.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN   978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224
  2. ^ Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
  3. ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2009 г. Проверено 13 августа 2010 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
  4. ^ Эльте (1912)
  5. ^ Однородные многогранники в четырех измерениях , 6 декабря 1998 г., самый старый архив.
  6. ^ Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , Дэвид Дарлинг, (2004) ASIN: B00SB4TU58
  7. ^ Jump up to: а б с д и ж г час я дж к Джонсон (2015), глава 11, раздел 11.5 Сферические группы Кокстера, 11.5.5 полные полихорические группы
  8. ^ Однородные многогранники в четырех измерениях , Джордж Ольшевский.
  9. ^ Мёллер, Марко (2004). Viersizede Archimedische Polytope (PDF) (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Гамбурга.
  10. ^ Конвей (2008)
  11. ^ Многомерный глоссарий , Георгий Ольшевский.
  12. ^ https://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf Семинар по выпуклым и абстрактным многогранникам (2005), Н.Джонсон - аннотация «Равномерная полихора».
  13. ^ Jump up to: а б «Равномерная Полихора» . www.polytope.net . Проверено 20 февраля 2020 г.
  14. ^ «Равномерный многогранник» . Политоп Wiki . 6 ноября 2023 г. Проверено 11 ноября 2023 г.
  15. ^ Коксетер, Правильные многогранники, 7.7 Критерий Шлефли, уравнение 7.78, стр.135
  16. ^ «С3с3с3с» .
  17. ^ «С3с3с4с» .
  18. ^ «С3с4с3с» .
  19. ^ «С3с3с5с» .
  20. ^ sns2s2mx , Ричард Клитцинг
  21. ^ HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II, [Math. Зейт. 188 (1985) с. 582-588 2.7 Четырехмерные аналоги курносого куба
  22. ^ «Многогранник-дерево» .
  23. ^ «тута» .
  24. ^ Категория S1: Тутпап Simple Scaliforms
  25. ^ «Присси» .
  26. ^ Категория S3: Особые чешуйчатые присси
  27. ^ «бидекс» . Bendwavevy.org . Проверено 11 ноября 2023 г.
  28. ^ Категория S3: Специальный бидекс Scaliforms.
  29. ^ Би-икозитетрадиминишированный 600-ячеечный
  30. ^ «спидрокс» . Bendwavevy.org . Проверено 11 ноября 2023 г.
  31. ^ Категория S4: Чешуйчатые вихревые призмы spidrox
  • А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Трактаты о единице ширины Королевской академии наук Амстердам, Первый раздел 11,1, Амстердам, 1910 г.
  • Б. Грюнбаум «Выпуклые многогранники» , Нью-Йорк; Лондон: Спрингер, 2003 г. ISBN   0-387-00424-6 .
    Второе издание подготовили Фолькер Кайбель, Виктор Клее и Гюнтер М. Циглер.
  • Эльте, EL (1912), Полуправильные многогранники гиперпространств , Гронинген: Гронингенский университет, ISBN  1-4181-7968-Х Полуправильные многогранники гиперпространств. Полуправильные многогранники гиперпространств.
  • ХСМ Коксетер :
    • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society, London, 1954
    • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
  • Калейдоскопы: избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6
    • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
  • HSM Coxeter и WOJ Moser. Генераторы и отношения для дискретных групп. 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980 р. 92, с. 122.
  • Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (глава 26)
  • Джон Х. Конвей и Гай MJT : Четырехмерные архимедовы многогранники , Материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2015) Глава 11: Конечные группы симметрии
  • Ричард Клитцинг, Снабс, чередующиеся грани и диаграммы Стотта-Коксетера-Динкина , Симметрия: Культура и Наука, Vol. 21, №4, 329-344, (2010) [1]
  • Шуте, Питер Хендрик (1911), «Аналитическая обработка многогранников, регулярно полученных из правильных многогранников», Трактаты Королевской академии наук в Амстердаме , 11 (3): 87 стр. Googlebook, 370-381
[ редактировать ]
Семья н Б н И 2 (п) / Д н Е 6 / Е 7 / Е 8 / Ж 4 / Г 2 Ч н
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-гон Шестиугольник Пентагон
Однородный многогранник Тетраэдр Октаэдр Куб Демикуб Додекаэдр Икосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеек Тессеракт Демитессеракт 24-ячеечный 120 ячеек 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс 5-куб 5-демикуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс 6-куб 6-демикуб 1 22 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс 7-куб 7-демикуб 1 32 2 31 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс 8-куб 8-демикуб 1 42 2 41 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс 9-куб 9-демикуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс 10-куб 10-демикуб
Равномерный n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс n - куб n - демикуб 1 лиц 2 2 лиц 1 лиц 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников Правильный многогранник Список правильных многогранников и соединений.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 76a56b68d3efe6ca648ce6303384e8de__1721780160
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/76/de/76a56b68d3efe6ca648ce6303384e8de.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Uniform 4-polytope - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)